В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра

УДК 012 8 ББК 22.142 И 16 Учебник удостоен Государственной премии СССР ча 1980 год Ильин В, Л.. Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учсбз Для вузов. — 6-е изд.. стер. — У1з ФИНЛ!ЛТ 1ИТ, 200о. 280 с. - )Курс высшей математики и ьшгематической фг«знк!«Г — !ВВХ 04)221-0481-0. Одни ич выпусков «Курса высшей математики н математической физики» под редакцией Л. Н. Тихоново. В. Л. Ильина. Л. Г. Свешникова. Учебник создан на базе лекций, читовшихся авторами в точеине многих лет на физическом факультете 31осковского государственного универанетв.

Содержание книги составляют теория матриц я определителей, конечиомериых линейных я евклидовых пространств и линейных операторов в этих пространствах, билинейных н квадратичных форм, гепзоров, вопросы кппссифвкапия поверхностей втором» порядка я теория представления групп.

Третье издание — дополненное, 1984. Для студентов высших учебных юведепий, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика». Учебное издание ИЛЬИН Владе мир Алсгнондроепч НОВНЯК Эдупрд Гекрпхоеич ЛИНКЙНАЯ АЛГКБРА Сория: «Курс высшей математики и математической физики» Редактор Д.

А.,14в!т!оеа Оригинал-макет: В. В. Худяков Офюрмление осблаккгс А. А. Вогукоо »1Р № 071930 от 06.0?.09. Подписало в печать ) 4,01.05. Фо)>«п1т бих90('П) 1» 1ага офсствая. Печать офсствая. Уел. поч. л. ) 7.5. Уч.-кэз. л. 19,46. Заказ № Издательская фиРма «Фвзяко-математическая латсрагура» 18ВК Ф922)-043 -О )ИАИК «Наука Иотсрпериодпка» 117997 5!осква„ПРофсоюзка»ь 90 !с 1паи нк~оа),Н|па1)слгк Ы1)ку«г«гк.йп!.гц Отпечатано с готовых дяапозитввов в ПФ «Поляграфяст» !6000), г.

Вологда. ул, г)ол~осквнцсв, 3 Тело !6172) 72-55-31, 72-61-75. факс. )3172) 72-60-72 9 785922 104814 ' шш1: !ог|п.р!рико!с).гп 1п)Р;,, и»»кто!ои«1а р)рч 1ВВХ 0-9221-0481-0 ® ФИЗМХР,'!Г90 2004, 2005 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение 10 12 Глава 1. Матрицы и определители.

13 3 1. Матрицы 1. Понятие матрицы (13). 2. Основные операции над матрицами и их свойства (13) 3. Блочные матрицы (17). 3 2. Определители 1. Понятие определителя (19) 2. Выражение определителя непосредственно через его элементы (25). 3. Теорема Лапласа (26). 4. Свойства определителей (28). 5. Примеры вычисления определителей (32). 6. Определитель суммы и произведения матриц (35). 7.

Понятие обратной матрицы (36). 3 3. Теорема о базисном миноре матрицы. 1. Понятие линейной зависимости строк (38). 2 Теорема о базисном миноре (39). 3. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя (41). 13 19 38 46 Г л а в а 2. Линейные пространства . 42 9 1. Понятие линейного пространства . 1.

Определение линейного пространства (42) 2. Некоторые свойства линейных пространств. (45). 9 2. Базис и размерность линейного пространства ...... 1. Понятие линейной зависимости элементов линейного пространства (46) 2 Базис и координаты (48) 3. Размерность линейного пространства (50), 4. Понятие изоморфизма линейных пространств (51). 3 3. Подпростраиства линейных пространств .... ............

53 1. Понятие подпространства и линейной оболочки (53). 2 Новое определение ранга матрицы (55). 3. Сумма н пересечение подпространств (56). 4. Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств (58). О1'ЛАВЛВНИВ 9 4. Преобразованне координат прн преобразовании базиса и-мерного лннейного пространства 60 1. Прямое н обратное преобразование базисов (60). 2. Связь между преобразованием базисов н преобразованием соответствующих координат (61). ! лава 3. Системы линейных уравнений $ 1. Условие совместности линейной системы .................. 1.

Понятие системы линейных уравнений н ее решення (63). 2. Нетривиальная совместность однородной системы (65). 3. Условие совместности общей линейной системы (66). 9 2. Отыскание решений линейной системы ................... 1. Квадратная система линейных уравнений с определителем основной матрицы, отличным от нуля (68). 2. Отыскание всех решений обшей линейной системы (71) 3. Свойства совокупности решений однородной снстеь~ы (73). 4. Заключительные замечания о решении линейных систем (78) 63 80 Глава 4. Евклидовы пространства 3!. Вещественное евклндово пространство н его простейшие свойства 1.

Определение вещественного евклидова пространства (80). 2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства (83). 3 2. Ортонормнрованный базис конечномерного евклидова пространства 1. Понятие ортонормнрованного базиса н его существование (87). 2. Свойства ортонормнрованного базиса (89) 3 Разложение и-мерного евклидова пространства на прямую сумму подпространства н его ортогонального дополнения (91).

4. Изоморфнзм п-мерных евклндовых пространств (92). 9 3. Комплексное евклндово пространство .................... 1. Определение комплексного евклидова пространства (93). 2. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие нормы (95). 3. Ортонормнрованный базис н его свойства (96). 9 4.Метод регулярнзацнн для отыскания нормального решения линейной системы 80 87 93 97 Глава 5. Линейные операторы. ф1. Понятие линейного оператора.

Основные свойства............ !04 1. Определение линейного оператора (104). 3 2.Матричная запись линейных операторов . . .. . ...... !1! 1. Матрицы линейных операторов в заданном базисе линейного пространства Ъ' (111). 2. Преобразование матрицы линейного оператора прн переходе к новому базису (!13). 3. Характеристический многочлен линейного оператора (1!5) ОГЛАВЛЕНИЕ 9 3. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов 116 94. Линейные и полуторалинейные формы в евклидовом пространстве 118 1. Специальное представление линейной формы в евклидовом пространстве (118).

2. Полуторалинейные формы в евклидовом пространстве. Специальное представление таких форм (119) 9 5. Линейные самосопряженные операторы в евклидовом пространстве 122 1. Понятие сопряженного оператора (!22). 2. Самосопряженные операторы. Основные свойства (123). 3. Норма линейного оператора (125). 4. Дальнейшие свойства самосопряженных операторов (126). 5. Спектральное разложение самосопряженных операторов.

Теорема Гамильтона †Кэ (132). 6. Положительные операторы. Корни т-й степени из оператора (133). 9 6. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов .......... 9 7. Унитарные н нормальные операторы ..................... 137 9 8. Канонический вид линейных операторов .................. 8 9. Линейные операторы в вещественном евклидавом пространстве.. 1. Общие замечания (145).

2. Ортогональные операторы (150). !41 !45 81. Итерационные методы решения линейных систем ......... 155 !. Метод простой итерации (метод Якоби) (155) 2. Общий неявный метод простой итерации (158). 3. Модифицированный метод простой итерации (164). 4 Метод Зейделя (!66) 5. Метод верхней релаксации (167) 6. Случай несимметричной матрицы А (168). 7. Итерационный метод П.Л. Чебышева (168).

92. Решение полной проблемы собственных значений методом вращений 172 Глава 7 Билинейные и квадратичные формы. !78 3 1. Билинейные формы !78 1. Понятие билинейной формы (178). 2. Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве (179). 3. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису.

Ранг билинейной формы (180). 92. Квадратичные формы . 93. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов 1. Метод Лагранжа (184). 2 Метод Якоби (186). 94. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм 189 1. Закон инерции квадратичных форм (189). 2. Классификация квадратичных форм (191). 3. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы (192).

Г л а в а 6. Итерационные методы решения линейных систем и задач на собственные значения . 154 01'ЛАВЛпнип 95. Полилинейные формы. 194 Глава 8 Тензоры 217 3 1. Преобразование базисов и координат. 1. Определители Грама (217). 2. Взаимные базисы. Ковариантные и контравариантные координаты векторов (2!8) 3 Преобразования базиса и координат (221) 9 2. Понятие тензора.

Основные операции над тензорами 1. Понятие тензора (223). 2. Примеры тензоров (224). 3. Основные операции над тензорами (227). 3 3. Метрический тензор. Основные операции векторной алгебры в тензорных обозначениях 231 1. Понятие метрического тецзора в евклидовом пространстве (231) 2. Операция поднятия и опускания индексов с помощью метрического тензора (232). 3. Ортонормированные базисы в Е" (234). 4. Дискриминантный тензор (236). 5. Ориентированный объем (237). 6. Векторное произведение (238).

3 4. Метрический тензор псевдоевклидова пространства .......... 1. Понятие псевдоевклидова пространства и метрического тензора псевдоевклидова пространства (239). 2. Галилеевы координаты. Преобразования Лоренца (241). 3. Преобразования Лоренца пространства Езы з! (242). 217 223 239 9 5. Тензор момента инерции . 244 96. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве . 195 1.

Предварительные замечания (!96). 2 Приведение квадратичной формы к сумме квадратов в ортогональном базисе (196). 3. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов в линейном пространстве (197). 4 Экстремальные свойства квадратичной формы (198). $ 7. Гиперповерхности второ~о порядка. 201 1. Понятие гиперповерхности второго порядка (201).

2. Параллельные переносы в евклидовом пространстве. Преобразования ортонормированных базисов в ортонормированные (202). 3. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при параллельном переносе (204). 4. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированному (206). 5.

Инварианты общего уравнения гиперповерхности второго порядка (207) 6. 1!ентр гиперповерхности второго порядка (209). 7. Стандартное упрощение любого уравнения гиперповерхности второго порядка путем преобразования ортонормированного базиса (210). 8. Упрощение уравнения центральной гиперповерхности второго порядка. Классификация центральных гиперповерхностей (211). 9. Упрощение уравнения нецентральной гиперповерхности второго порядка. Классификация нецентральных гиперповерхностей (213). ОГлАВление 246 246 274 Предметный указатель Глава 9.

Элементы теории групп . 3 !. Понятие группы. Основные свойства групп 1. Законы композиции (246). 2. Понятие группы. Некоторые свойства групп (246). 3. Изоморфизм групп. Подгруппы (250) 4. Смежные классы. Нормальные делители (251). 5. Гомоморфизмы. Фактор-группы (252). 9 2. Группы преобразований 256 1. Невырожденные линейные преобразования (256).