В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 2
Текст из файла (страница 2)
2. Группа линейных преобразований (257). 3. Сходимость элементов в группе СЦп) (258). 4. Группа ортогональных преобразований (259). 5. Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортогональной группы (261). 6. Группа Лоренца (263). 7. Унитарные группы (266). 9 3. Представления групп 266 1. Линейные представления групп. Терминология (267).
2. Матрицы линейных представлений. Эквивалентные представления (267). 3. Приводимые и неприводимые представления (268). 4. Характеры (269) 5. Примеры представлений групп (271) Предисловие Эта книга возникла в результате переработки курса лекций, читавшихся авторами в МГУ. Отметим некоторые особенности изложения. Изложение начинается с изучения матриц и определителей, причем определитель п-го порядка вводится по индукции через определитель (п — 1)-го порядка с помощью формулы разложения по первой строке.
При этом легко доказывается теорема о разложении по любой строке и по любому столбцу (схема доказательства этой теоремы оказывается совершенно аналогичной схеме доказательства теоремы Лапласа). Традиционное определение детерминанта (определителя) непосредственно через его элементы является простым следствием данного в этой книге определения. Изучению линейных систем предшествует теория линейных пространств и преобразований базисов и координат векторов в таких пространствах.
При изучении линейных систем мы сразу же знакомим читателя не только с обычной, но и с матричной формой записи системы и вывода формул Крамера. Изучение вещественных и комплексных евклидовых пространств завершается доказательством теоремы А. Н. Тихонова об отыскании нормального решения линейной системы, При изучении линейных операторов излагаются все основные аспекты спектральной теории в конечномерных евклидовых пространствах.
Теорема о приведении матрицы к жордановой форме доказывается с помощью предложенного А.Ф. Филипповым короткого метода, основанного на индукции. Книга содержит специальную главу, посвященную итерационным методам, в которой с единой точки зрения рассматриваются важнейшие итерационные методы решения линейных систем (явный и неявный методы простой итерации, метод Зейделя, метод верхней релаксации) и устанавливаются условия сходимости этих методов. Для общего неявного метода простой итерации выясняются установленные А.А. Самарским условия получения наиболее быстрой сходимости. Приводится доказательство сходимости метода вращений для решения полной проблемы собственных значений. Изложение теории билинейных и квадратичных форм завершается приведением к каноническому виду уравнений гиперповерхностей второго порядка в и-мерном пространстве. При изучении тензоров, наряду с традиционным материалом, излагается важная для приложений тензорная форма записи основных операций векторной алгебры.
Здесь же даются понятия псевдоевклидова пространства, галилеевых координат и преобразований Лоренца. пРедислОВие Книга завершается изложением элементов теории групп и их представлений. Следует отметить, что данная книга примыкает к выпуску «Аналитическая геометрия», хотя и может читаться независимо от него.
Авторы приносят глубокую благодарность А.Н. Тихонову и А.Г. Свешникову за большое количество ценных замечаний, Ш. А. Алимову, вклад которого в эту книгу далеко вышел за рамки обычного редактирования, Л.Д. Кудрявцеву, С.А. Ломову и особенно А.А. Самарскому за весьма полезные критические замечания и ценные советы, Е.С. Николаеву, Д.Д. Соколову и Е.В. Шикину за большую помощь при написании некоторых разделов этой книги. В.Ильин, Э. Позняк 30 января 19?4 г. Введение В этой книге мы будем иметь дело с внешне различными объектами: 1) с матрицами (или прямоугольными таблицами из чисел), 2) с алгебраическими формами, включающими в себя так называемые линейные, билинейные и квадратичные формы, 3) с так называемыми линейными 1и, в частности, евклидовыми) пространствами и с линейными преобразованиями в таких пространствах.
Элементарные представления об этих объектах читатель имеет из курса аналитической геометрии. В самом деле, в курсе аналитической геометрии изучались квадратные матрицы второго и третьего порядков и отвечающие этим матрицам определители. Линейная и квадратичная формы представляют собой соответственно однородную линейную и однородную квадратичную функции нескольких независимых переменных (например, координат вектора). Примером линейного пространства может служить совокупность всех геометрических векторов на плоскости (или в пространстве) с заданными операциями сложения этих векторов или умножения их на числа. Если для совокупности таких векторов задано еще и скалярное произведение, то мы придем к понятию евклидова пространства.
Примером линейного преобразования в таком пространстве может служить переход от одного декартова прямоугольного базиса к другому. Несмотря на внешнее различие, перечисленные совокупности объектов тесно связаны между собой: большинство утверждений допускают равносильную формулировку для каждой из этих совокупностей. Наиболее отчетливо эта связь выявляется при изучении произвольных линейных и евклидовых пространств (и линейных преобразований в таких пространствах). Однако более конкретная, матричная трактовка результатов непосредственно связана с фактическими вычислениями (и, в частности, с решением линейных систем уравнений).
Именно поэтому мы начинаем наше рассмотрснис с изучения матриц и неоднократно возвращаем ся впоследствии к матричной трактовке результатов. Глава 1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ В этой главе изучаются таблицы из чисел, называемые матрицами и играющие в дальнейшем важнейшую роль. Здесь вводятся основные операции над матрицами и детально изучаются свойства так называемых определителей, являющихся основной числовой характеристикой квадратных матриц. ф 1. Матрицы < ан аы ... а1 или ал ам ..
аз„ ан ам ... аш ал ам ... аз а ~ а,„з ... а Впрочем, для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, А), либо символ ~~а,у~~, а иногда и с разъяснением: А = ~(ац ~( = (а;,) (1 = 1, 2, ..., т; 1=1,2,..., п). Числа аеб входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи а, первый индекс 1 означает номер строки, а второй индекс д — номер столбца. В случае квадратной матрицы а~~ аы ...
а| а„1 азз ... аз (!.1) аю а з ... а. вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ ач~аэз...а„„, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ а„~а1„1)з ... аш, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. 1. Понятие матрицы. Магприцей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество т строк и некоторое количество а столбцов.
Числа т и и, называются порядками матрицы. В случае, если т = = п,матрица называется квадратной, а число т = и ее порядком. В дальнейшем для записи матрицы будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки: (гл. ! !4 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2. Основные операции иад матрицами и их свойства. Прежде всего договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.
Перейдем к определению основных операций над матрицами. а) Сложение матриц, Суммой двух матриц А = ~~а,з~~ (4=1,2,...,т; у = 1,2,...,п) и В = ((6|1)( (1 = 1,2,...,т; т = 1, 2,..., и) одних и тех же порядков т и и называется матрица С = ~~с,, ~~ (! = 1, 2, ..., т; у = 1, 2,..., п) тех же порядков т и п, элементы с| которой равны ем=а, +6, (4=1,2,...,тп;у=1,2,...,п). (12) Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению Ь|| Ь|з ..
6| Ь Ь» ... Ь„ а|| а|з аз| азз а| аз„ а | а з .. а Ь ! Ь 3 ... Ь (а| | -1- Ь||) (а| -~- 6И) ... (а|„-Р Ь| ) (аз| + Ьз|) (а| + Ьзз) ... (аз„+ Ьз ) (а |+Ь |) (а зя-Ь з) ... (а „-РЬ ) с; = Ла| (1 = 1, 2,..., т; у = 1, 2,..., п). (1.3) Для обозначения произведения матрицы на число используется запись С = ЛА или С = АЛ. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число. Непосредственно из формулы (!.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами: 1) сочетательным свойством относительно числового множителя: (Лр)А = Л(рА); Из определения суммы матриц, а точнее, из формулы (1.2), непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что н операция сложения вещественных чисел, а именно: !) переместительным свойством: А + В = В + А; 2) сочетательным свойством: (А + В) + С = А + (В + С).
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц. б) Умножение матрицы на число. Произведениел| матрицы А = яа,,)( (т = 1, 2, ..., т; у = 1, 2,..., п) на вещественное число Л называется матрица С = яс,.)( (т = 1, 2,..., т; у = 1, 2,... ...,и), элементы с|у которой равны 15 МАТРИЦЫ 2) распределительным свойством относительно суммы матриц: Л(А+ В) = ЛА+ ЛВ; 3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (Л+ р)А = ЛА+ рА. 3 а м е ч а н и е. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и и естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей В дает матрицу А. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = А — В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
