В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Таким образом, множество всех свободных векторов в пространстве с так определенными операциями сложения векторов и умножения их на числа представляет собой линейное пространство, которое мы будем обозначать символом Вз. Аналогичные множества векторов на плоскости и на прямой, также являющиеся линейными пространствами, мы будем обозначать соответственно символами Ва и Вн Пример 2. Рассмотрим множество (л) всех пол ожител ьн ых вещественных чисел. Определим сумму двух элементов ш и у этого множества как произведение вещественных чисел ш и у (понимаемое в обычном в теории вещественных чисел смысле).
Произведение элемента * множества (ш) на вещественное число Л определим как возведение положительного вещественного числа л в степень Л. Нулевым элементом множества (л) будет являться вещественное число 1, а противоположным (для данного элемента ш) элементом будет являться вещественное число 1/л. ') Разумеется, эти правила должны быть указаны так, чтобы были справедливы свойства 1'-8; перечисленные в данном выше определении в виде аксиом. ") См.
выпуск «Аналитическая геометрия», гл.2, б 1, п.2. (гл. 2 44 линеиные ппостглнствл Легко убедиться в справедливости всех аксиом 1' — 8'. В самом деле, справедливость аксиом 1' и 2' вытекает из переместаительного и сочетательного свойств произведения вещественных чисел; справедливость аксиом 3' и 4' вытекает из элементарных равенств х. 1 = х, х 1/х = 1 (для любого вещественного х > 0); аксиома 5' эквивалентна равенству х' = х; аксиомы 6' и 7' справедливы в силу того, что для любого х > 0 и любых вещественных Л и р имеют место соотношения (хн)» = х"", х«»+н! = х" .
х"; наконеп, справедливость аксиомы 8' следует из того, что для любых положительных х и у и для любого вещественного Л имеет место равенство (ху)» = х»у». Итак, мы убедились, что множество (х) с так определенными операциями сложения элементов и умножения их на числа является линейным пространством. Пример 3.
Важный пример линейного пространства дает множество А', элементами которого служат упорядоченные совокупности п произвольных вещественных чисел (хп хз,..., х„). Элементы этого множества мы будем обозначать одним символом х, т. е, будем писать х = (хы хз,..., х„), и при этом называть вещественные числа хн хз,..., х„координатами элемента х. В анализе множество А" обычно называют п-мерным координатным пространством ') . В алгебраической трактовке множество А" можно рассматривать как совокупность всевозможных строк, каждая из которых содержит п вещественных чисел (что мы уже и делали в 33 гл.
1). Операции сложения элементов множества А" и умножения этих элементов на вещественные числа определим правилами: (хи хз,..., х„) + (уи уз, ..., у„) = (х~ + уи ха+ уз, ..., х„+ у„), Л(хи хз, ° °, х ) = (Лхн Лхз, «, Лх ) ° Предоставляем читателю элементарную проверку справедливости всех аксиом 1' — 8' и того факта, что нулевым элементом рассматриваемого множества является элемент 0 = (О, 0,...,0), а противоположным для элемента (хи хз,..., х„) является элемент (-хи -хз,.,., -х„).
Пример 4. Рассмотрим далее множество С!а, 6) всех функций х = х(!), определенных и непрерывных на сегменте а < ! < 6. Операции сложения таких функций и умножения их на вещественные числа определим обычными правилами математического анализа. Элементарно проверяется справедливость аксиом 1'-8' з), позволяющая заключить, что множество С(а, 6| является линейным пространством. П ри мер 5. Следующим примером линейного пространства может служить множество (Р„(!)) всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа п, с операциями, определенными так же, как в предыдущем примере. Заметим, что множество (Р„(Ь)), ') См.
выпуск «Основы математического анализа», часть 1, гл. 14, й 1, п.4. ') В частности, нулевым элементом пространства С (и, Ь) является функция, тождественно равная нулю на сегменте а < ! < Ь. ПОНЯТИЕ ЛИНЕИНОГО ПРОСТРАНСТВА 45 если его рассматривать на сегменте а < 1 < Ь, является подмножеством линейного пространства С'1а, Ь1 рассмотренного в примере 4. 3 а м е ч а н и е 1.
Для разъяснения изучаемо1 о понятия линейного пространства укажем примеры множеств, по той или иной причине не являющихся линейными пространствами: а) множество всех векторов пространства с исключением векторов, коллинеарных некоторой прямой 1 (ибо в пределах этого множества нельзя складывать векторы, симметричные относительно указанной прямой 1); б) множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу п (сумма двух таких многочленов может оказаться многочленом степени ниже п); в) множество всех многочленов степени, не превышающей натурального и, все коэффициенты которых положительны (элементы такого множества нельзя умножить на отрицательные вещественные числа). 3 а м е ч а н и е 2. Отметим, что элементы произвольного линейного пространства принято называть векторами.
То обстоятельство, что часто термин «вектор> употребляется в более узком смысле, при этом не приводит к недоразумениям, а, напротив, взывая к сложившимся геометрическим представлениям, позволяет уяснить, а зачастую и предвидеть ряд результатов, справедливых для линейных пространств произвольной природы.
Замечание 3. В сформулированном нами определении линейного пространства числа Л, йи ... брались из множества вещественных чисел. Поэтому определенное нами пространство естественно назвать вешегтвгнным линейным пространством. При более широком подходе можно брать Л, йи ... из множества комплексных чисел. При этом мы придем к понятию комплексного линейного пространства.
2. Некоторые свойства произвольных линейных пространств. Из аксиом 1'-8' в качестве логических следствий можно получить ряд утверждений, справедливых для произвольных линейных пространств. В качестве примера установим два утверждения. Теорема 2.1. В произвольном линейном пространстве существует единственный нулевой элемент и для каждого элемента х существует единственный противоположный элемент. Доказательство. Существование хотя бы одного нулевого элемента утверждается в аксиоме 3'. Предположим, что существуют два нулевых элемента От и Оз.
Тогда, полагая в аксиоме 3' сначала х = От, О = Оз, а затем х = Оз, О = От, мы получим два равенства От + Оз = От, Оз + Од = Оз, левые части которых (в силу аксиомы 1') равны. Стало быть, в силу транзитивности знака э=» равны и правые части двух последних равенств, т.е. Оз = Оз, и единственность нулевого элемента установлена. Существование для каждого элемента х хотя бы одного противоположного элемента у утверждается в аксиоме 4'. Предположим, что для некоторого элемента х существует два противоположных элемента у1 и уш так что х+ у~ = О и х+ уз = О.
Но тогда, в силу аксиом (гл. 2 46 линейные пяостилнстВА 3; 2' и 1; у1 =у1+О=у|+(х+уз)=(у|+х)+уз=О+уз= = уз + 0 = уэ, т. е. у~ = уь и единственность для каждого элемента х противоположного элемента доказана. Теорема доказана. Теорема 2.2. В произвольном линейном пространстве !) нулевой элемент 0 равен произведению произвольного элемента х на вещественное число 0; 2) длл каждого элемента х противоположный элемент равен произведению этого элемента х на вещественное число — 1. Доказательство. !) Пусть х — произвольный элемент, а у— ему противоположный. Последовательно применяя аксиомы 3; 4', 2; 5; 1; 7' и снова 5' и 4; будем иметь х 0 = х.0+0 = х.О+ + (х + у) = (х 0+ х) + у = (х 0+ х 1) + у = х(0 + ! ) + у = х 1 + +у = х+у = О, т е.
х.О = О. 2) Пусть х — произвольный элемент, у = ( — 1) х. Используя аксиомы 5; 7; 1' и уже доказанное равенство х 0 = О, получим равенство х+ у = х+ ( — 1)х = 1 х+ ( — 1)х = [1+ ( — 1)]х = 0 х = = х 0 = О, которое и доказывает (в силу аксиомы 4'), что у — элемент противоположный х. Теорема доказана. Отметим в заключение, что аксиомы !' — 4' позволяют доказать существование и единственность разности любых двух элементов линейного пространства х и у, которая определяется как элемент и, удовлетворяющий условию в+ у = х ') . (Таковым элементом служит сумма я = х+ ( — 1)у.) ф 2.
Базис и размерность линейного пространства 1. Понятие линейной зависимости элементов линейного пространства. В курсе аналитической геометрии з) было введено понятие линейной зависимости векторов, а в п.! ф3 предыдущей главы понятие линейной зависимости строк (или, что то же самое, элементов пространства А", рассмотренного в примере 3 из и.
1 31 настоящей главы). Обобщением этих понятий является понятие линейной зависимости элементов совершенно произвольного линейного пространства, к выяснению которого мы и переходим. Рассмотрим произвольное вещественное линейное пространство Я с элементами х, у,..., я,... Линейнои комбинацией элементов х, у, ..., г пространствз и мы будем называть сумму произведений этих элементов на произвольные вещественные числа, т.е. выражение вида (2.1) ах+ Ву+ ... + ув, где а, 1»', ..., ч какие угодно вещественные числа. ) Достаточно дословно повторить доказательство, данное в теории вещественных чисел (см. выпуск «Основы математического анализа», часть 1, гл 2, ГЗ2.
и 3). ") См. выпуск «Аналитическая геометрия», гл. 2, й 1, п. 3. 52) БАзис и РАзмеРность линеиного НРостРАнствА 47 Определение 1. Элементы х, у, ..., к пространства Л называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа о, 11,..., т, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация элементов х, у,..., к с указанными числами является нулевым элементом пространства Л, т.е. имеет место равенство (2.2) ох+,Зу + ... + ух = О. Элементы х, у,..., к, не являющиеся линейно зависимыми, мы будем называть линейно независимь1ми.
Дадим другое определение линейно независимых векторов, построенное на логическом отрицании содержания определения 1. Определение 2. Элементы х, у,..., к пространства Л называются линеино независимыми, если линейная комбинация (2.1) является нулевым элементом пространства Л лишь при условии о = д = ... ... = т=о. Теорема 2.3. Для того чтобы элементы х, у,..., к пространства Л были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных элементов.
Доказательство. 1) Необходимость, Пусть элементы х, у,..., к линейно зависимы, т. е. справедливо равенство (2.2), в котором хотя бы одно из чисел а, д, ..., т отлично от нуля. Пусть, ради определенности, о у': О. Тогда, поделив (2.2) на о и введя обозначения Л = — —, ..., р = — —, мы можем переписать (2.2) в виде д х = Лу + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
