В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 8
Текст из файла (страница 8)
") де! Е = ! в силу примера 2 нз п.б этого параграфа. (гл. ! 38 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ н соответствующих алгебраических дополнений одной строки (одного столбца) равна определителю. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Квадратную матрицу А, определитель дст А которой отличен от нуля, принято называть невырожденной. 3 а м е ч а н и е 2. Впредь мы можем опускать термины «левая» и «правая» и говорить просто о матрице В, обратной по отношению к неве»рожденной матрице А и определяемой соотношениями АВ = = ВА = В. Очевидно также, что свойство быть обратной матрицей взаимно в том смысле, что если В является обратной для А, то А является обратной для В.
Матрицу, обратную к матрице А, впредь мы будем обозначать символом А ф 3. Теорема о базисном миноре матрицы 1. Понятие линейной зависимости строк. Выше мы уже договорились называть строку ') А = (аи аю..., а„) линейной комбинацией строк В = (Ьи Ью ..., Ь„),..., С = (сп сю,,., с„), если для некоторых вещественных чисел Л,..., р справедливы равенства а =ЛЬ +...+рс (у=!,2,...,п). (! .42) Указанные и равенств (!.42) удобно записать в виде одного равенства (1.43) А=ЛВ+...+рС. Всякий раз, когда будет встречаться равенство (!.43), мы будем понимать его в смысле п равенств (1.42).
Введем теперь понятие линейной зависимости строк. Определение. Строки А = (аи аа,..., а„), В = (Ьи 6з, ..., 6„), ... ..., С = (сп сю ..., с„) назовем линейно зависимыми, если найдутся такие числа о, ф, ..., т, не все равные нулю, что справедливы равенства гьа.+ВЬ;+...+ "гс =0 О = 1, 2,..., и).
(144) Указанные п равенств (!.44) удобно записать в виде одного равенства оА+ВВ+...+ТС=О, (1.45) в котором О = (О, О, ..., 0) обозначает нулевую строку. Строки, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимь»ми. Можно дать и «самостоятельное» определение линейной независимости строк: строки А, В,..., С называются линейно независимыми, если равенство (1.45) возможно лишь в случае, когда все числа о, В,..., у равны нулю.
Докажем следующее простое, но важное утверждение. ') Каждую строку можно рассматривать как матрицу. Поэтому естественно использовать для обозначения строк большие латинские буквы. 39 ткоккмл о клзисном минюк млткицы Теорема 1.5. Для того чтобы строки А, В,..., С были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк являлась линейной комбинаг(ией осталыч!ях строк. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть строки А, В, ..., С линейно зависимы, т.е. справедливо равенство (1.45), в котором хотя бы одно из чисел о, д,..., у отлично от нуля. Ради определенности допустим, что о ф О.
Тогда, поделив (1.45) на о и введя обозначения Л = — Яо, ..., р = — 7/о, мы можем переписать (1.45) в виде (1.46) А = ЛВ+ ...+ РС, а это и означает, что строка А является линейной комбинацией строк В,..., С. 2) Достаточность. Пусть одна из строк (например, А) является линейной комбинацией остальных строк. Тогда найдутся числа Л,..., р такие, что справедливо равенство (1.46). Но это последнее равенство можно переписать в виде ') ( — 1)А + ЛВ+ ... + РС = О. Так как из чисел — 1, Л, ..., р, одно отлично от нуля, то последнее равенство устанавливает линейную зависимость строк А, В,..., С. Теорема доказана.
Конечно, во всех проведенных выше рассуждениях термин лстрокиь можно заменить термином «столбцыь. 2. Теорема о базисном миноре. Рассмотрим произвольную (не обязательно квадратную) матрицу он ам ... аш ам азз .. аз„ (1.47) а ~ а, з .. а Минором к-го порядка матрицы А будем называть определитель й-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых й строк и любых я столбцов матрицы А. (Конечно, й пе превосходит наименьшее из чисел т и и,.) Предположим, что хотя бы один из элементов а„матрицы А отличен от нуля. !огда найдется такое целое положительное число г, что будут выполнены следующие два условия: 1) у матрицы А имеется минор г-го порядка, отличный от нуля, 2) всякий минор (г+ 1)-го и более высокого порядка (если таковые существуют) равен нулю.
Число г, удовлетворяющее требованиям 1) и 2), назовем рангом матрицы А ) . Тот минор г-го порядка, который отличен от нуля, назовем базисным минором (конечно, у матрицы А может быть несколько ') Здесь О = (О, О,..., 0) — нулевая строка. ") Ранг матрицы А, все элементы которой — нули, по определению равен нулю. (гл. ! 4О МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ миноров г-го порядка, отличных от нуля). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, назовем соответственно базисными строками и базисными столбцами. Докажем следующую основную теорему.
Теорема 1.6 (теорема о базисном миноре). Базисные строки (базисные столбцы) линеино независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов). Доказательство. Все рассуждения проведем для строк. Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна из этих строк являлась бы линейной комбинацией других базисных строк, и мы могли бы, не изменяя величины базисного минора, вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить строку, целиком состоящую из нулей, а это противоречило бы тому, что базисный минор отличен от нуля.
Итак, базисные строки линейно независимы. Докажем теперь, что любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк. Так как при произвольных переменах строк (или столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, то мы, не ограничивая общности, можем считать, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы (1.47), т.е.
расположен на первых г строках и первых т столбцах. Пусть у — любое число от 1 до п, а !с — любое число от ! до т. Убедимся в том, что определитель (г + 1)-го порядка а~~ аы ... а|„а~ аз~ ааз .. аы аз (1.48) а1 аз ... а„„а„ аь! аяз ... аы, аь равен нулю. Если у < г или к < т, то указанный определитель будет равен нулю в силу того, что у него будет два одинаковых столбца или две одинаковые строки.
Если же оба числа т' и к превосходят т, то (1.48) является минором матрицы А порядка (г + 1), а всякий такой минор равен нулю (по определению базисного минора). Итак, определитель (1.48) равен нулю при всех у от ! до н и всех к от ! до т. Но тогда, разложив этот определитель по последнему столбцу и обозначив не зависящие от номера у алгебраические дополнения элементов этого столбца символами А1 = сп Агу = св, ..., А„ = с„, Аь, = с„эп мы получим, что с1а1у+ сзаз + ... + с„а, + с э1аь = О (для всех у = 1, 2, ..., П).
Учитывая, что в последних равенствах алгебраическое дополнение с„е1 = Аь, совпадает с заведомо отличным от нуля базисным минором, мы можем поделить каждое из этих равенств ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ МАТРИЦЫ 4! на ссэы Но тогда, вводя обозначения Л,= — "', Л,= — ", ..., Л„= ", С Р1 с,э~ с,т~' мы полУчим, что аьу = Л~а|1+ Лааз + ... + Л„а„(дла всех У' = = 1, 2,..., п), а это и означает, что и-я строка является линейной комбинацией первых т (базисных) строк. Теорема доказана. 3. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определители. Теорема 1.7.
Для того чтобы определитель и-го порядка Ь бьял равен нулю, необходимо и достаточно, чтобьч его строки (столбцы) были линейно зависимье Доказательство. 1) Необходимость. Если определитель и-го порядка с) равен нулю, то базисный минор его матрицы имеет порядок г, заведомо меньший и.
Но тогда хотя бы одна из строк является не базисной. По теореме 1.6 эта строка является линейной комбинацией базисных строк. В эту линейную комбинацию мы можем включить и все оставшиеся строки, поставив перед ними нули. Итак, одна строка является линейной комбинацией остальных. Но тогда по теореме 1.5 строки определителя линейно зависимы. 2) Достаточность. Если строки Ь линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна строка А; является линейной комбинацией остальных строк. Вычитая из строки А, указанную линейную комбинацию, мы, не изменив величины ль, получим одну строку, целиком состоящую из нулей. Но тогда определитель Ь равен нулю (в силу следствия 3 из п.4 ф 2).
Теорема доказана. Глава 2 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Из курса аналитической геометрии читатель знаком с операцией сложения свободных векторов и с операцией умножения вектора на вещественное число, а также со свойствами этих операций. В настоящей главе изучаются множества объектов любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем, безразлично каким) определены операция сложения элементов и операция умножения элемента на вещественное число, причем указанные операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над геоллетрическими векторами. Такие множества, называемые линейными пространствами, обладают целым рядом общих свойств, которые и будут установлены в настоящей главе. ф 1. Понятие линейного пространства 1.
Определение линейного пространства. Множество й элементов х, у, к, ... любой природы называется линейным (или аффинным) пространством, если выполнены следующие три требования. 1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам х и у множества Л ставится в соответствие третий элемент к этого множества, называемый суммой элементов х и у и обозначаемый символом к = х+ у 11. Имеется правило, посредством которого любому элементу х множества гт и любому вещественному числу Л ставится в соответствие элемент и этого множества, назьгваемый произведением элемента х на число Л и обозначаемый символом и = Лх или и = хЛ.
1!1. Указанные двя правила подчинены следующим восьми аксиомам: !' х + у = у + х (переместительное свойство суммы); 2' (х+ у) + к = х+ (у + к) (сочетательное свойство суммы); 3' существует нулевой элемент О такой, что х+ О = х для любого элемента х (особая роль нулевого элемента); 4' для каждого элемента х существует противоположный элемент х' такой, что х+ х' = О; 5' ! . х = х для любого элемента х (особая роль числового множителя 1); 6' Л(рх) = (Лр)х (сочетательное относительно числового множителя свойство); ПОНЯТИЕ ЛИНЕИНОГО ПРОСТРАНСТВА 7' (Л+ п)х = Лх+ )тх (распределительное относительно суммы числовых множителей свойство); 8' Л(х+ у) = Лх+ Лу (распределительное относительно суммы элементов свойство). Подчеркнем, что при введении понятия линейного пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов и произведения элемента на число (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам, сформулированным в данном выше определении).
Если же природа изучаемых объектов и вид правил образования суммы элементов и произведения элемента на число указаны '), то мы будем называть линейное пространство канкпетным. Приведем примеры конкретных линейных пространств. П р им е р 1. Рассмотрим множество всех свободных векторов в трехмерном пространстве. Операции сложения указанных векторов и умножения этих векторов на числа определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (сложение векторов определим по правилу «параллелограмма»; при умножении вектора на вещественное число Л длина этого вектора умножается на 1Л~, а направление при Л > О остается неизменным, а при Л < Π— изменяется на противоположное). Элементарно проверяется справедливость всех аксиом 1'-8' (справедливость всех аксиом, за исключением аксиомы 5; установлена в курсе аналитической геометрии з), справедливость аксиомы 5' не вызывает сомнений).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
