В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра, страница 13

+ Льеь — элемент Йн а хз — — р|д1 + ... + Лищ— элемент Йв. Остается доказать, что представление (2.19) является единственным. Предположим, что, кроме (2.19), справедливо и еще одно представление х=х', +х~, (2.24) где х', — элемент Йн а х~ — элемент Йз. Вычитая (2.24) из (2.19), получим, что 0 = х| — х1 + хв — х~~, или х| — х~1 —— х!~ — хз. Так как в левой части последнего равенства стоит элемент Й~, а в правой— элемент Йз и поскольку пересечение Й| и Йз содержит лишь нулевой элемент, то из этого равенства следует, что х~ — х', = О, х.' — хв = О, т.е.х1 — — хн хз = х',. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е.

В случае, когда пространство Й представляет собой не прямую, а обычную сумму подпространств Й~ и Йв, представление 1гл. 2 60 линеиные простглнствл (2.19) любого элемента х пространства й также справедливо, но не является, вообще говоря, единственным. Пусть, например, В представляет собой трехмерное пространство всех свободных векторов, В1 подпространство всех векторов, параллельных плоскости Олу, а В2 — надпространство всех векторов, параллельных плоскости Оиг. В предыдущем пункте мы выяснили, что и представляет собой сумму (но, конечно, не прямую сумму) подпространств В1 и 02. Обозначим через 1, 1 и 1с базисные векторы, параллельные осям Ол, Оу и Оз соответственно, и разложим произвольный элемент х пространства й по базису 1, т, 1с. Найдутся вещественные числа о, д и Т такие, что х = о1+ В2+ Т)с, так что, с одной стороны, х = х1 + х2, где х~ = о)+ Я вЂ” элемент Йы а х2 = Т)с— элемент Й2, с другой стороны, х = х', + х', где х~ — — Я вЂ” элемент Яы а хг — — о1+ у)с — элемент Я2.

ф4. Преобразование координат при преобразовании базиса и-мерного линейного пространства 1. Прямое и обратное преобразование базисов. Пусть еы ег,... ..., е„и е',, е2, ..., е'„— два произвольных базиса и-мерного линейного пространства В. Как всякий элемент пространства В, каждый элемент е1, е', ..., е'„ может быть разложен по базису еп ег,..., е„. ПРеДположим, что элементы еы е', ..., е'„выРажаютсЯ чеРез еы ег,... ..., е„с помощью формул е', = а11е1+ агяе2 + ... + аще„, е2 = аз~е1 + а22е2 + ° ° + аз~оп (2.25) е,'„= аще~ + а„зег+...

+ а„„е„. Это означает, что переход от первого базиса еп ег,..., е„ ко второму базису еы е',, ..., е'„ задается матрицей ап ам ... ат ам а22 ... аз„ А= (2.26) аги а„з ... а Подчеркнем, что определитель сх матрицы (2.26) заведомо отличен от нуля '), ибо в противном случае в силу теоремы 1.7 строки этой матрицы (а стало быть, и базисные элементы еп е', ..., е'„) оказались бы линейно зависимыми. Убедимся в том, что обратный переход от второго базиса еы е~„..., е'„к пеРвомУ базисУ еп ег,..., е„осУЩествлЯетсЯ с помощью матрицы В, обратной к матрице А. ') Такую матрицу в и. 7 й 2 гл.

1 мы договорились называть невырожденной. 6! ПРЕОВРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ Напомним, что матрица В, обратная к матрице А, введена в и. 7 з 2 гл. 1 и имеет вид Аз| ~Х Аз з Ан ~Ъ Ам Ъ А ~ Ь Агн Ь !2.27) А~ Аг А Ь Ь Ь где через гз обозначен определитель матрицы А, а через А,ь алгебраическое дополнение элемента аеь этого определителя. Умно- жим уравнения !2.25) соответственно на алгебраические дополнения А1, Аз,..., А„элементов у-го столбца определителя тз и после это- го сложим эти уравнения.

В результате получим (для любого номера у, равного 1, 2, ..., и) е~!А!у +ез~Аз + ... +е'„Аьу = 2 е(а!,А!у+ аз Ав + ... + а„,А„'). а=1 Учитывая, что сумма произведений элементов 1-го столбца на соответ- ствующие алгебраические дополнения элементов ~-го столбца равна нулю при 4 ф у и равна определителю гз при 4 = у '), получим из последнего равенства е',А!, +е~зАзу А~~, А~ — е +...+ е„, Ам г 4з — ез+ ° ° + еь, !2.28) е„= — -е,+- — -е +...+ е„. А~„, Аэ„, А„„ Формулы 12.28) и устанавливают, что обратный переход от базиса еы е', ..., е'„к базисУ е!, ез,..., е„осУЩествлЯетсЯ с помоЩью матрицы (2.27), обратной к матрице А.

Эту обратную к А матрицу мы кратко будем обозначать символом А 2. Связь между преобразованием базисов н преобразованием соответствующих координат. Пусть, как и выше, базис е!, ез, ... ..., е„преобразуется в базис ен е', ..., е'„с помощью невырожденной матрицы !2.26), так что обратное преобразование базисов задается матрицей !2.27). Пусть далее х произвольный элемент рассматриваемого линейного пространства Л, (х!, хм ...,х„) — его координаты относи- ') См.

свойство 4' нз п.4 42 гл.,!. Ам, Ан откуда е = — е, + — ез + Ь Ь дробнее А1~ е! = — е, + Ан ев = — е, + ~Х + ... + е'„А„, = е, Ь, .. + 'е'„О = 1, 2,..., и) или по- (гл. 2 62 ЛИНЕИН1МЕ ПРОСТРАНСТВА тельно первого базиса еы ез,..., е„, (х'ы х!,..., х'„) — его координаты относительно второго базиса еы е', ..., е'„, так что г г ! ! ! ! х = х~е~ + хзез + ... + х„е„= тпе|+ тзез + ... + х„еи. Подставив в это равенство вместо элементов ен ев,..., е„их выраже- ния, определяемые формулами (2.28), получим х = х1е|+ хает+ ...

+ х'„е„= х~ ( — ие|+ — лез+ ... + " е'„) + + х2 ( е1 + ез + + е ) + /Ап, Азз ~ А з р~ д и ''' и и) 7Ащ, Аз„, А ° +хи( — — е1+ — ез+ ° ° + — — е ) "( й Ь ' "' йг ") Из последнего равенства (в силу единственности разложения по ба- зису еы е.', ..., е'„) сразу же вытекают формулы перехода от координат (хы хз,..., х„) относительно первого базиса к координатам (хы х',... ..., х'„) относительно второго базиса: Аи Ам А1„ х( = — х! + =хз + ... ж хи, Ь ст Ь Ам Аз2 Аз„ хз = =х1+ =хз Ч- ...

-~- хи, Ь (2,29) А„~ А„з А„ х„= х~ Ч- хеЧ-...Ч- х„. Формулы (2.29) показывают ..., т„) к координатам (т,'ы х,', матрицы что переход от координат (хы хю ... , х'„) осуществляется с помощью Аи Ь Ал А~з Ащ Ь ',Ь Ам Аз„ А„~ А„з Аии сг Ь йг транспонированной к обратной матрице (2.27).

Мы приходим к следующему выводу: если переход от первого базиса ко второму осуществляется с помощью невырожденной матрицы А, то переход от координат произвольного элемента относительно первого базиса к координатам этого элемента относительно второго базиса осуществляется с помощью матрицгя (А ')', транспонированной к обратной матрице А Глава 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Из элементарного курса и из курса аналитической геометрии читатель знаком с системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными и с системами двух и трех линейных уравнений с тремя неизвестными ').

Целью настоящей главы является изучение системы произвольного числа т линейных уравнений с произвольным числом и неизвестных. Мы сначала установим необходимое и достаточное условие существования хотя бы одного решения (или, как говорят, совместности) такой системы, а затем займемся отысканием всей совокупности ее решений. В э4 гл.4 будет рассмотрен важный для приложений случай приближенного задания всех коэффициентов системы и ее свободных членов.

Для этого случая будет изложен метод регуляризаг)ии А. Н. Тихонова, позволяющий найти так называемое нормальное (т.е. наиболее близкое к началу координат) решение указанной системы с точностью, соответствующей точности задания коэффициентов и свободных членов, В гл.6 будет дано представление о численных (итерационных) методах решения систем линейных уравнений. ф 1. Условие совместности линейной системы 1. Понятие системы линейных уравнений и ее решения. В общем случае система га линейных уравнений с и неизвестными (или, кратко, линейная система) имеет следующий вид: аых1+ аыхе + ...

+ а1„х„= Ьн аз1х~ + аззхз + ... + аз„х«« = Ьз, (3.!) а |х|+ а««,эха+ ... + а „х„= Ь,„. При этом через хы хш ..., х„обозначены неизвестные, подлежащие определению (число их п не предполагается обязательно равным числу уравнений т); величины а|н аш, ...,а „, называемые коэффициентами системы, и величины Ьы Ьв, ..., Ь, называемые свободнглми членами, предполагаются известными.

Каждый коэффициент системы ') См. выпуск «Аналитическая геометрия», дополнение к гл. К (гл. 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ б4 а;у имеет два индекса, первый из которых г указывает номер уравнения, а второй у номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Система (3.1) называется однородной, если все ее свободные члены Ьн 6ш ..., 6„, равны нулю. Если хотя бы один из свободных членов Ьн Ьш..., Ь отличен от нуля, то система (3.1) называется неоднороднои'. Система (3.1) называется квадратной, если число т составляющих ее уравнений равно числу неизвестных и. Решением системы (3.!) называется такая совокупность п, чисел сн сз, ..., с„, которая при подстановке в систему (3.!) на место неизвестных хн лш..., л„обращает все уравнения этой системы в тождества.

Не всякая система вида (3.1) имеет решения. Так, система линейных уравнений л1+лз = 1, т| + хз = 2 аш аз„ ан ам аз~ аы А= (3.2) а ~ а, ... а содержащую тп строк и п столбцов и составленную из коэффициентов при неизвестных (такую матрицу мы в дальнейшем будем называть заведомо не имеет ни одного решения (ибо если бы существовало решение этой системы, то при подстановке этого решения в левых частях обоих уравнений стояли бы одинаковые числа и мы получили бы, что 1 = 2).

Система уравнений вида (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения. Совместная система вида (3.1) может иметь или одно решение, или несколько решений. Два решения совместной системы вида (3.1) с~, сз, ..., с~~ и с1, сз, ..., с~ называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств с| — — с|, с =с Совместная система вида (3.1) называется определенной, если она имеет единственное решение. Совместная система вида (3.!) называется неопределенной, если у нее существуют по крайней мере два различных решения. Весьма удобно записывать линейную систему (3.!) в матричной форме. Для этого используем введенное в и.

2 3! гл. ! понятие произведения двух матриц (таких, что число столбцов первой из этих матриц равно числу строк второй из матриц). В качестве перемножаемых матриц возьмем две матрицы:матрицу 65 УСЛОВИЕ СОВМЕСТНОСТИ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ основной матра!)ей системы (3.1)), и матрицу Х, содержащую и строк и 1 столбец, т.