В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра, страница 6

3х — ~ ! !!!тх — (ь — !))-!-13,— (8 — !)! др|...33 3!-33(г. 3.! а! Ы3. Теперь нам остается учесть, что в формуле (1.32) каждый минор (1.34) умножается на множитель !)(3гь .~-Ы !), (3!<-.ле3„) — 3,МИ 3.м 3Ь 33!' 3.! и после этого суммируется по всем а от 1 до й. Имея также в виду, что ( — 1) " ' = 1, мы получим, что з ( !)! э е3!ч3~-ь--ьзц [ ~ ( !)А4-зМИ-ы-~ 3п-3Ц ! Л 3п..3цн,3 )!' 8=! Замечая, что сумма в квадратных скобках представляет собой разложение минора М".""' по его последней Й-й строке, мы окончательно 3з-3~ получим для дзч 33 формулу (1.33).

Теорема Лапласа доказана. Замечание. В полной аналогии с формулой (1.32) записывается и выводится формула разложения определителя по каким-либо и его столбцам. 4. Свойства определителей. Ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель п-го порядка.

1 . Свойство равноправности строк и столбцов. Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранени- ')Символом МИРМ „' обозначается минор, отвечающий пересечению 31 3кп" 3 ! строк с номерами й, ..,, 33 ! и всех столбцов с номерами 3!,..., 3ю за исключением столбца с номером з„а символом (1.34) — дополнительный к нему минор 3) Это вытекает из того, что строке с номером !ь предшествует (Š— !) строк, а столбцу с номером 3, предшествует (а — 1) столбцов минора М '"' ",',, к которому минор (!.34) является дополнительным.

3,,3х(3, 3„!' ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ем порядка их следования. В результате транспонирования матрипы А получается матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице А и обозначаемая символом А'. В дальнейшем мы договоримся символами ~А~,!В~,~А'~... обозначать определители квадратных матриц А, В, А' ... соответственно. Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. ~А'~ = ~А~. Это свойство непосредственно вытекает из теоремы 1.2 (достаточно лишь заметить, что разложение определителя ~А~ по первому столбцу тождественно совпадает с разложением определителя ~А'~ по первой строке).

Доказанное свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства устанавливать лишь для строк и быть уверенными в справедливости их и для столбцов. 2'. Свойство а нтиси м метрии при перестановке двух строк (или двух столбцов). При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Для определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно (из правила (1.!0) сразу вытекает, что определители и " "( отличаются лишь знаком). ам ага а~1 ам Считая, что и > 2, рассмотрим теперь определитель и-го порядка (1.11) и предположим, что в этом определителе меняются местами две строки с номерами 11 и Ьз, Записывая формулу Лапласа разложения по этим двум строкам, будем иметь Д ~ ( 1)п-Рц-~-и-~-Я Мцц Мцц (1.35) муь уыр уьуь При перестановке местами строк с номерами 11 и Ьз каждый определитель второго порядка М"." в силу доказанного выше меняет знак лм на противоположный, а все остальные величины, стоящие под знаком суммы в (1.35), совсем не зависят от элементов строк с номерами 11 и )з и сохраняют свое значение, Тем самым свойство 2' доказано.

3'. Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка (а,,аа,...,а„) является линейнои комбинацией строк (6и Ьа, ..., 6„), (си сы..., с„),..., (йи йв,..., дь) с коэффициентами Л, р,..., и, если а. = ЛЬ + рс + ... + ий для всех =1,2,..., п. Линейное свойство определителя можно сформулировать так: если в определителе п-го порядка Ь некоторая ь'-я строка (аи, аы,,,. ..., а|ь) является линейной комбинацией двух строк (Ьы Ьз,..., Ь„) и (си са,..., с„) с коэффициентами Л и р, то хх = ЛЬ| + рсха, где д ~ — определитель, у которого ю,'-я строка равна (Ьи Ьш ..., 6„), а все остальные строки те же, что и у сь, а счз — определитель, у которого!-я строка равна (си са, ..., с„), а все остальные строки теже, чтоиуЬ. (гл.

1 30 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Для доказательства разложим каждый из трех определителей Ь, Ь1 и сьа по 1-й строке и заметим, что у всех трех определителей все миноры Я,' элементов 1-й строки одинаковы. Но отсюда следует, что формула йг = ЛЬ! +рЬЕ сразу вытекает из равенств и;, = ЛЬ, + усу (у' = 1, 2,..., п). Конечно, линейное свойство справедливо и для случая, ко~да 1-я строка является линейной комбинацией не двух, а нескольких строк.

Кроме того, линейное свойство справедливо и для столбцов определителя. Доказанные три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств. Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю. В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель Ь не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2' изменит знак на противоположный. Таким образом, Ь = — йг, т.

е. 2Ь = 0 или Ь = О. Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число Л равносильно умножению определителя на это число Л. Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя,кожно вынести за знак этого определителя. (Это свойство вытекает из свойства 3' при р = 0.) Следствие 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

(Это свойство вытекает из предыдущего при Л = 0.) Следствие 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональньц то определитель равен нулю. (В самом деле, в силу следствия 2, множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно следствию 1). Следствие 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элемеюпчл другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель Л, то величина определителя не изменится. В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно, в силу свойства 3; разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю, в силу пропорциональности двух строк (или столбцов) и следствия 4. Замечание.

Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую мы приведем для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементьь строки, являющейся линейной комбинацией й2) ОПРЕДЕЛИТЕЛИ нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами), то величина определителя не изменится. Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей (соответствующие примеры будут приведены в следующем пункте).

Прежде чем сформулировать еще одно свойство определителя, введем полезное понятие алгебраического дополнения данного элемента определителя. Алгебраическим дополнением данного элемента а!. определителя п-го порядка (1.1 1) назовем число, равное ( — 1)ьч УМ' и обозначаемое символом Л;, Таким образом, алгебраическое дополнение данного элемента может отличаться от минора этого элемента только знаком.

С помощью понятия алгебраического дополнения теоремы 1.1 и 1.2 можно переформулировать так: сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) определителя на соответствуюгцие алгебраические дополнения этой строки (этого столбиа) равна этому определителю. Соответствующие формулы разложения определителя по 1-й строке и по йцму столбцу можно переписать так; И сь = 2 а,, А!у (для любого ( = 1, 2, ..., и,), (1.13') э=! (1.

21') гх = 2 ачуАчу (длЯ любого У' = 1, 2, ..., и). г=! Теперь мы можем сформулировать последнее свойство определителя. 4'. Свойство алгебраических дополнений соседних строк (или столбцов). Сумма произведений элементов какой- либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствуюицие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (любого другого столбца) равна нулю.

Доказательство проведем для строк (для столбцов оно проводится аналогично). Записывая подробно формулу (1.13') ап а!г ... а!„ аз! ам .. аз„ = Ана;! + Аьа ага + ... + Аг„аь„, (1.36) а„! а„з ... а„„ заметим, что поскольку алгебраические дополнения Ап, Л!ш..., Л,„ не зависят от элементов 1-й строки а;!, а,м ..., аг„, то равенство (1.36) является тождеством относительно а,!, аью .,., а„, и сохраняется при замене чисел аь!, ам,, .., а,„любыми другими и числами. Заменив аь!, аьз, ..., а,„соответствующими элементами любой (отличной от 1-й) гс-й строки аь!, аьм ..., аь„, мы получим слева в (1.36) опре- (гл. 1 32 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ делитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю согласно след- ствию 1.

Таким образом, Аг! аы + А!зава + ... + Аг„аь„= 0 (для любых несовпадающих 4 и к). 5. Примеры вычисления определителей. При конкретном вычислении определителей широко используются формулы разложения по строке или столбцу и следствие 5, позволяю!нее, не изменяя величины определителя, прибавлять к любой его строке (или столбцу) произвольную линейную комбинацию других его строк (или столбцов).

Особенно удобно использовать формулу разложения по тем строкам (или столбцам), многие элементы которых равны нулю. В частности, если в данной строке отличен от нуля только один элемент, то разложение по этой строке содержит только одно слагаемое и сразу сводит вопрос о вычислении определителя порядка и к вопросу о вычислении определителя порядка (и — 1) (минора, стоящего в указанном слагаемом). Если в данной строке отличны от нуля несколько элементов, отвечающих пересечению этой строки с несколькими столбцами, то, применяя к указанным столбцам следствие 5, мы можем, не изменив определителя, обратить в нуль все элементы данной строки, за исключением одного. Перейдем к конкретным примерам.

П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить следующий определитель четвертого порядка: 4 99 83 1 0 8 16 0 60 17 134 20 15 43 106 5 Вычитая из первого столбца утроенный последний столбец, будем иметь 1 99 83 ! 0 8 16 0 0 17 134 20 0 43 106 5 Далее естественно разложить определитель по первому столбцу, В результате получим 8 16 0 Ь = ! .