В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра, страница 5

— некоторые подлежащие определению коэффициенты. Для вычисления д;,. заметим, что минор М,',! получается при разложении по первому столбцу только одного из миноров (и — 1)-го порядка, отвечающих первой строке ), — минора М . Запишем в разложении 1! 1 — 1 у' минора М,.

(при у > 2) по первому столбцу только то слагаемое, которое содержит минор М," ,(остальные не интересующие нас слагаемые обозначим многоточием). Учитывая, что элемент а!! минора М,' (при т > 2) стоит на пересечении (! — 1)-й строки и первого столбца этого минора, мы получим, что при у' > 2 Я1 ( 1)!! — 11-~-1 ЯИ + 2 а11 (1.24) Вставляя (1.24) в правую часть (1.12) (из которой исключено первое слагаемое) и собирая коэффициент при М,', мы получим, что коэффициент д!у в формуле (1.23) имеет вид дю — ( — 1)' ~ ацап. (1.25) Остается доказать, что и правая часть (1.22) равна сумме, стоящей в правой части (1.23) с теми же самыми значениями (1.25) для д;, .

Для этого в правой части (1.22) выделим первое слагаемое а11М,', а в каждом из остальных слагаемых разложим минор (и — 1)-го порядка М,' по первой строке. В результате П1завая часть (1.22) представится в виде суммы первого слагаемого ацЯ! и линейной комбинации с некоторыми коэффициен- ') При этом минор М,! предполагается исключенным.

нбо если формула (1.22) будет установлена, то для доказательства формулы (1.21) для любого у = 2, 3,..., и достаточно, поменяв ролями строки и столбцы, дословно повторить схему рассуждений теоремы 1.1. Формулу (1.22) установим по индукции. При и = 2 эта формула проверяется элементарно (так как при и = 2 миноры элементов первого столбца имеют вид М, = а22, М! — — аш, то 1 2 при и = 2 правая часть (1.22) совпадает с правой частью (1.10)). Предположим, что формула разложения по первому столбцу (1.22) верна для определителя порядка и — 1 и, опираясь на это, убедимся в справедливости этой формулы для определителя порядка и. С этой целью выделим в правой части фог1мулы (1.12) для определителя и-го порядка 22 первое слагаемое а11М,, а в каждом из остальных слагаемых разложим минор (и — 1)-го порядка Я! по первому столбцу.

В результате формула (1.12) будет иметь вид ОПРЕДЕЛИТЕЛИ тами д„ миноров (и — 2)-го порядка М,', т.е. в виде и аи М«~ + 2 ' 2 ' д«уМ««', «=22=2 (1.26) М«« — — ( — 1) эб 1а«уМ«'+ ... 0 (1.27) Вставляя (1.27) в правую часть (1.22), из которой исключено первое слагаемое, и собирая коэффициент при М,",, мы получим, что д;,~ в сумме (1.26) определяется той же самой формулой (!.25), что и в равенстве (1.23). Теорема 1.2 доказана. 2. Выражение определителя непосредственно через его элементы. Установим формулу, выражающую определитель и-го порядка непосредственно через его элементы (минуя миноры). Пусть каждое из чисел оп о2,..., о„ принимает одно из значений 1, 2,...,и, причем среди этих чисел нет совпадающих (в таком случае говорят, что числа «««, ««2,..., о„ являются некоторой переса«ановкой чисел 1, 2,..., и).

Образуем из чисел оы о2, ...,о„все возможные пары о«о и будем говорить, что пара а«о образует беспорядок, если о« > о, при !. < 25 Общее число беспорядков, образованных всеми парами, которые можно составить из чисел оп о2,..., ««„, обозначим символом ««'(««и а2,, о ). С помощью метода индукции установим для определителя и-го порядка (1.11) следующую формулу: «х = «)ет А = 2 ' ( — 1) ~« ' -""" "«а 0 а,2 ...

аа „(1 28) аь аь,.,, а (суммирование в этой формуле идет по всем возможным перестановкам аы а2,..., аа ЧИСЕЛ 1, 2,..., И; ЧИСЛО ЭТИХ ПЕрЕСтаНОВОК, ОЧЕВИДНО, равно и1). В случае и = 2 формула (1.28) элементарно проверяется (в этом случае возможны только две перестановки 1, 2 и 2, 1, и, поскольку «У(1, 2) = О, %(2, 1) = 1, формула (1.28) переходит в равенство (1.10)).

С целью проведения индукции предположим, что формула (1.28) при и > 2 справедлива для определителя порядка (и — 1). и нам остается вычислить множители д«и убедиться в справедливости для них формулы (1.25). Для этого заметим, что минор М,~' получается в результате разложения по первой строке только одного из миноров и — 1-го порядка, отвечающих первому столбцу, — минора М,'. Запишем в разложении минора М,'(при 2 > 2) по первой строке только то слагаемое, которое содержит минор М«1,' (остальные не интересующие нас слагаемые обозначим многоточием). Учитывая, что элемент ам, минора М,«стоит на пересечении первой строки и (д — !)-го столбца этого минора, мы получим, что при « > 2 (гл. ! 26 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Тогда, записав разложение определителя п-го порядка (1.11) по первому столбцу '): Ь = г)еь А = 2 ' ( — 1) '+~а„, ! Я~ ', (1.29) а~=! мы можем, в силу предположения индукции, представить каждый минор (и — 1)-го порядка М, ' в виде Я, ' = 2 ( — !) (аь-'а"!аа,2 .., а„„„(1.ЗО) аь, а„ ') Индекс, по которому производится суммирование, на этот раз нам удобно обозначить буквой аО ')П С.Лаплас — выдающийся французский астроном, математик н физик (1749-!827).

(СУММИРОВаНИЕ ИДЕТ ПО ВСЕМ ВОЗМОЖНЫМ ПЕРЕСтаНОВКаМ Стз, ..., Оа (и — 1) чисел, в качестве которых берутся все натуральные числа от 1 до п, за исключением числа ст!). Так как из чисел ст(, ст2,..., гх„, кроме пар, образованных из чисел стз,..., Оа можно образовать еще только следующие пары Ст!СЕ2, Ст!Стэ, ..., Ст!Ст„, И ПОСКОЛЬКУ СРЕДИ ЧИСЕЛ Оз,..., аа НайДЕтСЯ ровно (ст! — 1) чисел, меньших числа ст(, то Х(ст!, О2,..., ст„) = = %(стз, ..., се„) + ст! — 1.

Отсюда вытекает, что ( 1)Ю(аь,..а„!( !)аге! ( !)Х(аьаь...,а ! и, вставляя (1.30) в (1.29), мы в точности получим формулу (1.28). Тем самым вывод формулы (1.28) завершен. В заключение заметим, что в большинстве курсов линейной алгебры формула (1.28) положена в основу понятия определителя и-го порядка. 3. Теорема Лапласа 2). В этом пункте мы установим замечательную формулу. обобщающую формулу разложения определителя и-го порядка по какой-либо его строке. С этой целью введем в рассмотрение миноры матрицы п-го порядка (1.8) д в у х т и п о в. Пусть !с — любой номер, меньший а, а 1(, (ю, (ь и,т!,,72, ..., уь — произвольные номера, удовлетворяющие условиям 1 < з'! < <12«...(ь<п,1<у!<72«...уь<п.

Миноры первого типа М"""'." являются определителями поряд!Из- Уь ка и, соответствующими той матрице, которую образуют элементы матрицы (1.8), стоящие на пересечении к строк с номерами 1!, 12,.,. ..., (ь и и столбцов с номерами 7!, уд,..., уь. Миноры второго типа ЛХ,",',""",„"являются определителями порядка и — Й, соответствующими тои матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания (с строк с номерами 1!, 22,..., (ь и м столбцов с номерами у!, уз,..., уь.

э2) ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Миноры второго типа естественно назвать дополнительными по отношению к минорам первого типа. Теорема 1.3 (теорема Лапласа). При любом номере и, меньшем и, и при любгях фиксированных номерах строк йп йз,..., йь таких, что 1 < й1 < йя « ... йь < п„для определителя п-го порядка (1.11) справедлива формула йй = де!А = Е ( — !)н+д егйнт"' У" М""."л" М"""'", (131) Луй-Ой Лпг Лй' л.уй - уй называемая разложением этого определителя по и строкам йп йз, ..., йь. Суммирование в этой формуле идет по всем возможным значениям индексов ги зз,..., уь, удовлетворяюи!ил условиям 1<2~ < тз < ...

<да <и. Доказательство. Прежде всего заметим, что формула (1.31) является обобщением уже доказанной нами формулы разложения определителя и-го порядка по одной его строке с номером йп в которую она переходит при и = 1 (при этом минор М" совпадает с элеменл том а„„, а минор М,", — это введенный выше минор элемента а;„.,). Таким образом, при (г = 1 формула (1.3!) доказана. Доказательство этой формулы для любого !г, удовлетворяющего неравенствам 1 < й < < и, проведем по индукции, т.е. предположим, что формула (1.31) справедлива для (к — 1) строк, и, опираясь на это, убедимся в справедливости формулы (!.31) для Й строк. Итак, пусть 1 < к < и и фиксированы какие угодно й строк матрицы (!.8) с номерами йп йз, ..., йю удовлетворяющими условию 1 < < й1 < йз « ...

1ь < п. Тогда, по предположению, для (и — 1) строк с номерами йп йз,,,., йь ~ справедлива формула ( — 1)" й "+'"-' "+"+Уй-'Мт'й"'.й 'М"""" ' (1.32) Умй» зй-~ Лм»эй-~ .7~ зь. Зй — 1 (суммирование идет по всем возможным значениям индексов Эи ... 1 удовлетворяющим условиям 1 < у! < 1з <.Е.<уь 1 < и). Разложим в формуле (1.32) каждый минор М,","'," ' по строке, имеющей в матрице (!.8) номер йь. В результате весь определитель йй будет представлен в виде некоторой линейной комбинации миноров М,","',"„",,"„ с коэффициентами, которые мы обозначим через д...„, т.е.

для й."й будет справедливо равенство ') г.'й .= 2 ' б ь ,„ М,""",„', д,,зй и нам остается вычислить коэффициенты д, „и убедиться в том, что они равны д .. ( !)Иэ--йй~у -Р--РзйМйь (1.33) Д-ай Я-зй' ') Суммирование в этом равенстве, как и выше, идет по всем возможным значениям индексов Л, ..,, дй, удовлетворяющим условию ! < гй <д « ...

< гй < а (гл. ! МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ С этой целью заметим, что минор (и — Й)-го порядка М*,',-',."„получается в результате разложения по строке с номером (ь только следующих й миноров (и — Й+ 1)-го порядка '): (1.34) ибо каждый из остальных содержащих строку у, миноров (п — к+ 4 1)-го порядка не содержит всех строк и всех столбцов минора М"""".

3!-.3х' В разложении каждого минора (1.34) по строке матрицы (1.8) с номером 3а выпишем только то слагаемое, которое содержит минор М,","" ,(остальные не интересующие нас слагаемые обозначим многоточием). Учитывая при этом, что в каждом миноре (1.34) элемент а3„,, стоит на пересечении [(ь — (Й вЂ” 1))-й строки и [у, — (з — 1))-го столбца этого минора 3), мы получим Я31.