В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра, страница 4

1. Понятие определителя. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка пц (гл. ! 20 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ аи аы ал азз а!„ аз Ь=деСА= (!.11) а! аз ... а„ Итак, по определению ап а!! ... а! аз! азг ... аз„ п ( — 1)'ьза!1М!. (!.12) Ь = г1еС А = а„! а„з ... а„ Формула (1.12) представляет собой правило составления определителя порядка и по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам Мз элементов первой строки, являющимся определите— ! лями порядка и — 1. Заметим, что при п = 2 правило (1.12) в точности совпадает с правилом (1.10), ибо в этом случае миноры элементов первой строки имеют вид; М! — — азз, Мз — — аз!.

†! †! Естественно возникает вопрос, нельзя ли использовать для получения величины определителя (1.11) элементы и отвечающие им миноры ) Напомним, что главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая нз левого верхнего в правый нижний угол (т.е в случае матрицы (1.9) — а!!азз), а побочной — диагональ, идущая из левого нижнего в правый верхний угол (т. е.

в случае матрицы (1.9) — ое!а!С), элементов, стоящих на главной диагонали этой мат!!Ицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали ). В дальнейшем изложении мы будем говорить об элементах, строках нли столбпах определителя, подразумевая под этими терминами соответственно элементы, строки или столбцы отвечающей этому определителю матрицы. Перейдем теперь к выяснению понятия определителя любого порядка и, где и > 2. Понятие такого определителя мы введем индуктивно, считая, что нами уже введено понятие определителя порядка п — 1, соответствующего произвольной квадратной матрице порядка п — 1. Договоримся назь!вать минором любого элемента а;.

матрицы и-го порядка (1.8) определитель порядка п — 1, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вьтеркивания 1-й строки и у'-го столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент аС1). Минор элемента а;, будем обозначать символом М,'. В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний номер столбца, а черта над М означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются. Определителем порядка пи соответствующим матриие (1.8), назовем число, равное 2 ( — 1)!+уа! М ! и обозначаемое символом у=! ОПРЕДЕЛИТЕЛИ сл = с1е! А = 2 ( — 1)ыьдаиЯ', у=! (1.13) называемая разложением этого определителя по 1-й строке. 3 а м е ч а н и е. Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число ( — 1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент ам.

Доказательство теоремы 1.1. Формулу (1.13) нужно доказать лишь для номеров !. = 2, 3,..., п 2) . При и = 2 (т. е. для определителя второго порядка) эту формулу нужно доказать лишь для номера 1 = 2, т.е. при п = 2 нужно доказать лишь формулу 2 йс = с1ес А = 2 ( — ! ) ~та21Я; = — а2! М ! + а22М2. 1=! Справедливость этой последней формулы сразу вытекает из выражений для миноров матрицы (1.9) М, = а!2, Мг = а!!, в силу которых правая часть этой формулы совпадает с правой частью (!.10). Итак, при и = 2 теорема доказана. Доказательство формулы (1.13) для произвольного п > 2 проведем по индукции, т.е. предположим, что для определителя порядка п — 1 справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке, и, опираясь на это, убедимся в справедливости формулы (1.13) для определителя порядка п.

При доказательстве нам понадобится понятие миноров матрицы (1.8) порядка п — 2. Определитель порядка и — 2, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания двух строк с номерами 1! и 12 и двух столбцов с номерами у! и 22 называется минором (и — 2)-го порядка и обозначается символом М,",". Определитель и-го порядка сл вводится формулой (1.12), причем в этой формуле каждый минор М! является определителем порядка п — 1, для которого, по предположению, справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке.

Фиксировав любой номер 1 (1 = 2, 3,..., п), разложим в формуле (1.12) каждый минор М' по 1-й строке основного определителя (1.11) (в самом миноре М, эта строка будет (1 — 1)-й), ') По смыслу теоремы и > 2. 2) Ибо при 1 = 1 правая часть (1.13) по определению равна с!ет А. не первой, а произвольной 1-й строки матрицы (1.8). Ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема.

Теорема 1.1. Каков бы ни был номер строки ! (1 = 1, 2,..., и), для определителя п-го порядка (1.11) справедлива формула ') (гл. 1 22 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ В результате весь определитель Ь окажется представленным в виде некоторой линейной комбинации ') миноров (и — 2)-го порядка М1' с несовпадающими номерами у и к, т.е. в виде ) (1.14) Для вычисления множителей дуя заметим, что минор М'„' получается в результате разложения по (1 — 1)-й строке з) только следующих двух миноров (и — !)-го порядка, отвечающих элементам первой строки матриг)ы (1.8): минора М,.' и минора М', (нбо только эти два минора элементов первой строкй содержат все столбцы минора М,)„1).

В разложениях миноров М,,' и М) по указанной (1 — 1)-й строке выпишем только слагаемые, содержащие минор М „' (остальные не ы интересующие нас слагаемые обозначим многоточием). Учитывая при этом, что элемент агь минора М,) стоит на пересечении (1 — 1)-й строки и (к — 1)-го столбца этого минора ч), а элемент агу минора М1 стоит на пересечении (1 — 1)-й строки и уцго столбца этого минора ), мы получим М1 ( !)(1 — 1)э!й — 1) М и + (1.15) (1.!б) Вставляя (1.15) и (1.1б) в правую часть (1.12) и собирая коэффициент при М,.", мы получим, что множитель д,ь в равенстве (1.14) имеет вид д ь = ( — 1) '~1эд~ [а1уогь — а1ьа1у).

(1. 17) Для завершения доказательства теоремы покажем, что и правая часть (!.13) равна сумме, стоящей в правой части (1.14), с теми же самыми значениями (1.17) для дэю Для этого в правой части (1.13) разложим каждый минор (п, — 1)-го порядка М,' по первой строке. В результате вся правая часть (1.13) представйтся в виде линейной комбинации с некоторыми ') Напомним, что линейной комбинацией каких-либо величин называется сумма произведений этих величин на некоторые вещественные числа ) Так как минор М,'„ совпадает с М„',, то мы переберем все миноры 11 (и — 2)-го порядка с данйыми номерами строк 1 и й изменяя д от 1 до п и для каждого У беря все возможные й < 12 '1) В матрице (1 8) эта строка будет Е-и.

) Ибо в миноре М,1 отсутствует первая строка и У-й столбец матрицы (! 8) и)<й. з) Ибо в миноре М„' отсутствует первая строка матрицы (1.8), а единственный отсутствующий в этом миноре столбец матрицы (1.8) имеет номер й > д. й2) ОПРЕДЕЛИТЕЛИ коэффициентами дуя тех же самых миноров М,'„' ~' '> д,,М,',*'., з=гй<у (1.18) Мг ( 1)1.;!й — 0 Мы + з агя ' ,ь Мь —— ( — 1) ~йаы. М ~+ ... (1.19) (1.20) Вставляя (1.19) и (1.20) в правую часть (1.13) и собирая коэффициент при М,'„', мы получим, что дуй в сумме (1.18) определяется той же самой формулой (1.17), что и в равенстве (1.14). Теорема 1.! доказана. Теорема 1.1 установила возможность разложения определителя и-го порядка по любой его строке.

Естественно возникает вопрос о возможности разложения определителя п-го порядка по любому его стол б ц у. Положительный ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема. Теорема 1.2. Каков бы ни бгял номер столбца у' (у = 1, 2,..., и), для определителя п-го порядка (1.11) справедлива формула 21г = с1ей А = '1 ( — 1)ььэа,ВМ,', г=! (1.21) называемая разложением этого определителя по у'-му столбцу.

Доказательство. Достаточно доказать теорему для у = 1, т.е. установить формулу разложения по первому столбцу и Ь = 2 '( — 1)'+ анМ|', г=! (1.22) ') Ибо У < й н в миноре М ' отсутствует У-й столбец матрицы (1.8). ") Ибо У < й, а у минора Мь' отсутствует лишь й-й столбец матрицы (1.8). и нам остается вычислить множители дуя и убедиться в справедливости для них формулы (1.17). Для этого заметим, что минор М'„' получается в результате разложения по первой строке только следующих двух миноров (и — 1)-го порядка, отвечающих элементам 1-й строки матрицы (1.8): минора М' и минора Я', (ибо только эти два минора элементов 1-и строки содержат все столбцы минора М,!'й).

В разложениях миноров М' и М„' по первой строке выпишем только слагаемые, содержащие минор М,'ь. (остальные не интересующие нас слагаемые обозначим многоточием). Учитывая при этом, что элемент а|я минора М,' стоит на пересечении первой строки и (й — !)-го столбца ') этого минора, а элемент а11 минора М„' стоит на пересечении первой строки и уцго столбца а) этого минора, мы получим (гл. ! 24 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Ь = а!!Я!' + т 2' ~ д! Я!', (1.23) 2=21=2 где д!.