В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра, страница 3

Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С = А + ( — 1) В. в) Перемножение матриц. Произведением матрицы А = = ~~ачг~~ (г = 1, 2,..., пи у = 1, 2, ..., п), имеющей порядки, соответстэенио равные ьп и п, на матрицу В = 56гг'5 (г = 1, 2,..., и; г' = =- 1, 2,..., р), имеющую порядки, соответственно равные и и р, называется матрица С = 5с, )! (г = 1, 2,..., гп; у' = 1, 2,..., р), имеющая порядки, соответственно равные гп и р, и элементы сио определяемые формулой с|г= 2 а|ЬЬь (|',=1,2...,т; У=!,2,..., р).

(1.4) ь=г Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись С = А В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вьтекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

В частности, оба произведения А В и В А можно определить лишь в том случае, когда число столбцов А совпадает с числом строк В, а число строк А совпадает с числом столбцов В. При этом обе матрицы А В и В А будут квадратными, но порядки их будут, вообще говоря, различными. Для того чтобы оба произведения А . В и В А не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы А и В были квадратными матрицами одного и того же порядка. Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В.

Это правило можно сформулировать и словесно: элемент сип стоящий на пересечении г-й строки и г'-го столбца матрицы С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов г'-и' строки матрицы А и йцго столбца матрицы В. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка а|| а|г Ьп Ь|г (а|| ЬИ -Р а|гЬ||) (апЬ!| Ч-а|гЬгг) аг| а|г 6|| Ьгг (аз| ЬЦ ц аг Ьг|) (а||ЬЫ Ч-аггьм) )!" МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (гл. 1 Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матрицу В: 1) сочетательное свойство: (АВ)С = А(ВС); 2) распределительное относительно суммы матриц свойство: (А+ В)С = АС+ ВС или А(В+ С) = АВ+ АС. Распределительное свойство сразу вытекает из формул (!.4) и (1.2), а для доказательства сочетательного свойства достаточно заметить, что если А= ~~ац)! (!=1, 2,..., ми»с =1, 2,..., и), В=)(6 ь)) (» =1, 2,...

..., и; 6 = 1, 2,..., р), С = ф~сыЦ (6 = 1, 2,.... р; 1 = 1, 2,..., г), то элемент ди матрицы (АВ)С в силу (1.4) равен д,! = 2'(~ ац6гь сы, ь=! '»=! и У Р а элемент д',, матРицы А(ВС) Равен д',! = 2' ац1 '1 6,ьсы, но тогда »=! ь=! равенство ди = д', вытекает из возможности изменения порядка суммирования относительно» и й. Вопрос о перестановочном свойстве произведения матрицы А на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц А и В одинакового порядка (ибо, как указывалось выше, только для таких матриц А и В оба произведения АВ и ВА определены и являются матрицами одинаковых порядков).

Элементарные примеры показывают, что произведение двух квадратных натрий одинакового порядка не обладает, вообще говоря, пересгпановочнь!м свойством. В самом деле, если положит А О О ~~ ' В О ~~ ' то АВ О О 1 О О О 11 ! О 11 О О Здесь мы укажем, однако, важные частные случаи, в которь!х справедливо перестановочное свойство '). Среди квадратных матрип выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.

Каждая диагональная матрица порядка п имеет вид д! О ... О Одз...о (1.5) О О ... сХ„ где Ы!, дз, ..., д„— какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т.е. д! = дз = ... = д„= д, то для любой квадратной матрицы А порядка и справедливо равенство АР = РА. В самом деле, обозначим символами сц и с'„элементы, стоящие на пересечении 1-й строки и »-го столбца матриц АР и РА соответственно. Тогда из равенства (1.4) и из вида матрицы Р получим, что сц = амит» = ацй, с! = д!а!» = дац, (1.6) ! т.

е. с!» = с! . ') Две матрицы, для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято называть коммутирую!Ними. 17 МАТРИЦЫ Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами 4(! = 4(з = ... = 4(а особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при 4( = 1, называется единичной матриьей п-го порядка и обозначается символом Е. Вторая матрица получается при 4( = О, называется нулевой матриг(ей и-го порядка и обозначается символом О. Таким образом, ! О ... О О ! ... О О О ... О О О .. О О О ... ! О О ... О В силу доказанного выше АЕ = ЕА и АО = ОА. Более того, из формул (1.6) очевидно, что АЕ=ЕА=А, АО=ОА=О.

(1. 7) аи ам а|4 а~4 . ам ам а ~ ац аз4 аз4 ам ам ам ам азз а44 ам ам ам а44 а44 ам: асв а44 ам аз азз аз4 . азз азз ') Это равенство является прямым следствием формулы (1.2). Первая из формул (1.7) характеризует особою роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1,7), но и элементарно проверяемое равенство ') А + О = О + А = А.

В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадратных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равны нулю). 3. Блочные матрицы. Предположим, что некоторая матрица А = =- !!а4,~~ при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой блочной) матрицы А = !!А З)~, элементами А„з которой служат указанные блоки.

Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочнойэ строки, а второй— номер яблочногоэ столбца. Например, матрицу (гл. ! 18 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ можно рассматривать как блочную матрицу А = ~~ А А ', элеменА~~ А~з 21 зз тами которой служат следующие блоки: ап а1 а~з а~4 ( ам а~з ~~ а ~ азз азз азз ' ~а азз азь аз~ азз азз азз азз азз АШ = а4~ азз азз ам, Аая = а44 азь ам азз азз ам Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.

В самом деле, элементарно проверяется, что если матрица А = = ~~азз.'8 является блочной и имеет блочные элементы А д, то при том же разбиении на блоки матрице ЛА = 8Лазз.'8 отвечают блочные элементы ЛА в '). Столь же элементарно проверяется, что если матрицы А и В имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме матриц А и В отвечает блочная матрица с элементами С„д = А д + + В зз (здесь Аав и В„д — блочные элементы матРиц А и В). Пусть, наконец, А и  — две блочные матрицы такие, что число столбцов каждого блока А„д равно числу строк блока Вз (так что при любых 4х, 48 и т определено произведение матриц А ДВД ).

Тогда произведение С = АВ представляет собой матрицу с элементами С определяемыми формулой Сс,т —— ~ АавВзт в Для доказательства этой формулы достаточно расписать левую и правую ее части в терминах обычных (числовых) элементов матриц А и В (предоставляем это сделать читателю). В качестве примера применения блочных матриц остановимся на понятии так называемой прямой суммы квадратных матриц. Лряззой суммой двух квадратных матриц А и В порядков т и п соответственно называется квадратная блочная матрица С порядка А О т+ и, равная С = Т В . Для обозначения прямой суммы матриц А и В используется запись С = А бз В.

Из определения прямой суммы матриц А и В очевидно, что эта сумма, вообще говоря, не обладает перестановочным свойством. Однако элементарно проверяется справедливость сочетательного свойства: (А цз В) Ер С = А цз (В гр С). С помощью свойств операций над блочными матрицами легко проверяются следующие формулы, устанавливающие связь между опера- ') При этом блочные элементы ЛА а сами вычисляются по правилу умножения матрицы А в на число Л. 921 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ цией прямого суммирования и операциями обычного сложения н пере- множения матриц: (А г1гА„)+(В гВВ„) =(А + В )!13(А„+В„), (А,„!9 А„)(В г1г В„) = А В гВА„В„ (в этих формулах А и В„, — произвольные квадратные матрицы порядка тп, а А„ и В„ — произвольные квадратные матрицы порядка и).

Проверку этих формул мы предоставляем читателю. ф 2. Определители оп агг ва! пгг Я! аз (1.8) а! аг ., а С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице. Если порядок п матрицы (1.8) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента аг! и определителем перво~о порядка, соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента. Если далее порядок и матрицы (1.8) равен двум, т.е.

если эта матрица имеет вид ап аы ~~ (1.9) то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное а!!пег — о!гав! и обозначаемое одним из символов ') гь = с1еТА = ~" "'-'~. Итак, по определению ам агз Ь = г)есА = " 'г ~ = а!ганг — а!газ!. аз! агг (1.10) Формула (1.!О) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.9), равен разности произведения ') В отличие от матрицы для обозначения определителя употребляют не сдвоенные, а одинарные черточки.

Целью настоящего параграфа является построение теории определителей любого порядка а. Хотя читатель (из курса аналитической геометрии) уже знаком с определителями второго и третьего порядков, мы будем вести изложение так, чтобы избежать каких-либо ссылок. Знакомство с определителями второго и третьего порядков разве лишь облегчит восприятие излагаемого ниже материала.