Диссертация (Структура решений теории гравитации, основанной на изометрических вложениях)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиУДК 514.822ШЕЙКИН АНТОН АНДРЕЕВИЧСТРУКТУРА РЕШЕНИЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ,ОСНОВАННОЙ НА ИЗОМЕТРИЧЕСКИХВЛОЖЕНИЯХСпециальность 01.04.02 —«Теоретическая физика»Диссертация на соискание учëной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:к.ф.-м.н., доцентПастон С.

А.Санкт-Петербург — 2015ОглавлениеВведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Явные вложения римановых метрик . . . . . . . . . . . . . .1.1 Мотивация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Симметрийный анализ возможности вложения статическихчерных дыр .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Метод построения вложений симметричных метрик1.2.2 Построение представлений группы (3) × 1 . . .1.3 Возможные вложения метрики Шварцшильда . . . . . . .1.4 Вложения метрики Шварцшильда . . . . . . . . . . . . . .1.4.1 Эллиптическое вложение . . . . . . . . . . . . .

. .1.4.2 Параболическое вложение . . . . . . . . . . . . . . .1.4.3 Гиперболическое вложение . . . . . . . . . . . . . .1.4.4 Экспоненциальное вложение . . . . . . . . . . . . .1.4.5 Спиральное вложение . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.6 Кубическое вложение . . . .

. . . . . . . . . . . . .1.5 Вложение метрики Коттлера . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Вложения метрики Райсснера-Нордстрема . . . . . . . . .1.6.1 Общие соображения . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.2 Классификация известных вложений метрикиРайсснера-Нордстрема . . . . . .

. . . . . . . . . . .1.6.3 Новые глобальные минимальные вложения метрикиРайсснера-Нордстрема . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.4 Спиральное вложение . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.5 Экспоненциальное вложение . . . . . . . . . . . . .1.6.6 Кубическое по времени вложение .

. . . . . . . . .1.7 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24. 13. 13..............1616182228313233353739404444. 45.....48495253542 Теория гравитации на базе вложений и поле точечной массы2.1 Уравнения Редже-Тейтельбойма . . . .

. . . . . . . . . . . .2.1.1 Канонический формализм . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2 Степени свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3 Линеаризация уравнений Редже-Тейтельбойма . . . .2.1.4 Бескоординатная формулировка . . . . . . . . . . . .2.1.5 Неэнштейновская динамика . .

. . . . . . . . . . . . .2.2 «Лишние решения» уравнений Редже-Тейтельбойма . . . . .2.3 Уравнения Редже-Тейтельбойма со статическим сферически симметричным источником . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Уравнения Редже-Тейтельбойма во фридмановском приближении . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Мотивация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Уравнения Редже-Тейтельбойма во фридмановском приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Динамика лишних решений в эпоху лямбда-члена . . . . .3.4 Динамика лишних решений после инфляции .

. . . . . . .565659606163656769. 75. 75. 79. 86. 92Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013ВведениеАктуальность темыНа протяжении многих десятилетий задача о квантовании гравитацииостается камнем преткновения для теоретической физики. Общая теорияотносительности Эйнштейна, которая на сегодняшний день, бесспорно,является лучше всего изученной теорией гравитационного взаимодействия, дает очень хорошее согласие с экспериментом и позволяет объяснить огромное множество физических явлений при очень небольшомколичестве исходных предположений.

Однако при попытках ее квантования неизбежно возникновение крайне серьезных технических и методологических трудностей (детальное обсуждение проблем квантования гравитации и различных подходов к их решению можно найти в обзоре [1]).Многие из них возникают в первую очередь потому, что общая теория относительности является динамической теорией пространства-времени, ипо самому ее построению в ней отсутствуют необходимые для квантования объекты, в частности, выделенная ось времени, необходимая для построения гамильтонова формализма. С отсутствием выделенной оси времени связана также проблема энергии гравитационного поля — гамильтониан сводится к связям, а ненулевой вклад дают только поверхностныечлены. Отсутствует также фиксированная фоновая метрика, необходимаядля записи канонических коммутационных соотношений.

С ее отсутствием связана проблемы причинности в квантовой гравитации: мы не можемопределить, связаны ли причинно две области пространства-времени, потому что в определение квадрата интервала входит метрика, которая самаявляется квантовым оператором.По этим причинам представляется интересным изучение альтернативных формулировок теории гравитации, свободных от вышеперечислен4ных трудностей. В качестве основного объекта изучения предполагаетсярассмотреть теорию Редже-Тейтельбойма — теорию гравитации, основанную на изометрических вложениях.Эта теория также достойна внимания в связи с экспериментально обнаруженными отклонениями астрофизических и космологических данных от предсказаний ОТО Эйнштейна.

Напомним, что в современнойкосмологии существуют две главных проблемы: объяснение скрытой массы во вселенной и кривых вращения галактик — т.н. проблема темнойматерии, и объяснение ускоренного расширения вселенной и параметровэтого ускорения — проблема темной энергии [2]. В рамках теории Эйнштейна эти явления не находят удовлетворительного описания, и в силуэтого разумно искать объяснения в расширенных теориях. Структура решений уравнений Редже-Тейтельбойма такова, что допускает расширениеэйнштейновской динамики; это позволяет искать объяснение вышеупомянутым феноменам в рамках соответствующей теории.Разработанность темыСвойства поверхностей, вложенных в некоторое объемлющее пространство, начали изучаться достаточно давно, начиная с пионерских работ Гаусса и Римана.

Вложения быстро нашли себе применение в различных аспектах геометрии. Сразу после опубликования трудов Римана геометр Л. Шлефли, изучавший возможность вложения римановыхпространств, предположил, что локальное изометрическое вложение мерного пространство возможно в риманово пространство размерности( + 1)/2. Доказательство этой теоремы для двумерных аналитическихметрик было получено М. Жане [3] в 1926, а для произвольных -мерныхметрик Э.

Картаном [4] в 1927 году. Фридман [5] обобщил эту теоремуна случай псевдоримановых пространств:Теорема Фридмана. Произвольное n-мерное (псевдо)риманово пространство может быть локально изометрически вложено в произвольное объемлющее (псевдо)риманово пространство размерности≥( + 1)25(1)и подобающей сигнатуры.Существуют также теоремы, обеспечивающие существование глобального изометрического вложения при ≥ (3 + 11)/2 для компактных многообразий и при ≥ ( + 1)(3 + 11)/2 для некомпактных,см. [6], и гипотеза, согласно которой произвольное ∞ риманово многообразие с ∞ метрикой может быть глобально изометрически вложено впсевдоевклидово пространство с = (4 + 5).

Интересно отметить,что это предположение приводит к = 26 для двумерного многообразия— результат, свидетельствующий о выделенности этого числа измеренийдля квантованной бозонной струны, которая, как известно, свободна отаномалий только в 26-мерном пространстве.При вложении риманова многообразия метрика становится индуцированной и выражается формулой () = () ()¯ ,(2)где , = 0 . . . , ¯ — метрика объемлющего пространства размерности , так что , = 0 . .

. − 1. Глядя на эту формулу, можно легко понятьтеорему Фридмана: в самом деле, метрика произвольного многообразия— симметричный тензор × , имеющий ( + 1)/2 независимых компонент, следовательно, в общем случае вектор () должен иметь какминимум ( + 1)/2 компонент.Помимо чисто математических задач, вложение со временем началостановиться рабочим инструментом и для физиков.

Открытие геометрической структуры пространства-времени сделало возможным свестиизучение динамики тел в терминах некоторого мирового многообразия,вложенного в объемлющее пространство-время. Для частицы это одномерная кривая — мировая линия, для одномерного объекта — двумерныйлист и т.д. Формализм Арновитта-Дезера-Мизнера, построенный в началешестидесятых годов [7], позволил трактовать гравитацию как динамикутрехмерной поверхности, вложенной в (3+1)-мерное пространство-время.Дальнейшее развитие идеи АДМ получили в геометродинамике Уилера [8]: расширении ОТО, в основе которого лежало предположение о том,что не кривизна пространства порождается массивными источниками, амасса — кривизной.6Еще один шаг в этом направлении был сделан Редже и Тейтельбоймом в 1975 году.

Их подход изначально строился в рамках каноническогоформализма, с которым они к тому времени уже привыкли иметь дело— можно вспомнить вышедшую несколькими годами ранее статью [9],где исследовалась роль поверхностных интегралов в канонической формулировке ОТО. Стоит также отметить обзор [10], в котором описан канонический формализм для различных систем со связями, в том числе иОТО.В начале своей статьи [11] авторы обращают внимание на трудности,возникающие при каноническом квантовании общей теории относительности, как то:ˆ Корректная параметризация пространства-времени координатамизатрудняется калибровочной инвариантностью.ˆ Гамильтониан представляет собой сложную нелинейную конструк-цию, что влечет непреодолимые проблемы, связанные с упорядочением операторов.ˆ При выборе калибровочного условия «maximal slicing» = 0, обес-печивающего наиболее приемлемое 3+1-расщепление, не удаетсяинтерпретировать скобки Пуассона исходных переменных как коммутаторы, поскольку в их правую часть нетривиальным образомвходят -числа.Авторы также отмечают, что эти трудности не являются некоей частнойпроблемой ОТО, а присутствуют во многих теориях с репараметризационной инвариантностью времени.

Следовательно, разумно было бы изучить формализм аналогичных теорий, чтобы понять, каким образом в нихудается этих трудностей избежать.Незадолго до этого, в конце шестидесятых — начале семидесятых годов была разработана теория бозонной струны: теория двумерной поверхности, вложенной в многомерное объемлющее пространство-время Минковского. В этой теории успешно устраняются некоторые проблемы, аналогичные вышеуказанным, поэтому Редже и Тейтельбойм предположили,что описание гравитации в тех же терминах — терминах поверхности,7вложенной в объемлющее пространство-время — может иметь некоторыепреимущества над стандартным.Достигается это за счет того, что в качестве объемлющегопространства-времени может быть выбрано плоское пространство-времяМинковского, в полном соответствии с теорией бозонной струны.

Стоитотметить, что трактовка этого пространства для двух теорий различна. Втеории струн это физическое пространство-время, на фоне которого происходят наблюдаемые нами события, а в подходе Редже и Тейтельбойма — вспомогательная математическая конструкция, так что известнойпроблемы струнной теории — проблемы выбора бэкграунда — в подходеРедже-Тейтельбойма не возникает.Уравнения Редже-Тейтельбойма, как и обычные уравнения Эйнштейна, легче всего поддаются решению при наличии достаточной группысимметрии (достаточной для того, чтобы ДУЧП превратились в ОДУ).Среди решений с высокой симметрией наибольший физический интереспредставляют, разумеется, статические сферически-симметричные решения и модель Фридмана. Уравнения Редже-Тейтельбойма анализировались прежде всего в рамках симметрии таких типов.