Диссертация (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 8

Поскольку, v(y, τ ) 6 v0 (y, τ ) и v(y, τ ) → v0 (y, τ ) при R → ∞, аZv0 (y, τ )dy = 1,RnтоZZu(y, 0)v(y, 0)dy →DRu(y, 0)v0 (y, 0)dyRn53иZt ZZt Zv(y, τ )Lu(y, τ )dydτ →v0 (y, τ )Lu(y, τ )dydτ.0 Rn0 DRИз равенстваM v(y, τ ) =2!1R∂+ d0 )−=n1 exp∂τ4(t−τ)22[4π(t − τ )] (det A(x, t))R2n1= M v0 (y, τ ) +−−d0n1 ×2(t − τ ) 4(t − τ )22[4π(t − τ )] (det A(x, t)) 2R2× exp −4(t − τ )= M v0 (y, τ ) − (−несложными преобразованиями получаем оценкуZt Z|u(y, τ )M v(y, τ ) − u(y, τ )M v0 (y, τ )| dydτ 60 DRZt nR2Rn6 const ·kuk++ kd0 kn ×22(t − τ ) 4(t − τ )2Γ( n+1)[4(t−τ)]20R2× exp −dτ 64(t − τ )Z∞n2tkd0 k12 −1 · exp (−s) ds +6 const ·kuk1+snnΓ 2R24t+Z∞1Γn+12!n2s · exp (−s) ds ,R24tкоторая показывает, чтоZt ZZt Zu(y, τ )M v(y, τ )dydτ →0 DRu(y, τ )M v0 (y, τ )dydτ.0 RnВыполнив в (2.1.29) предельный переход при R → ∞, получим интегральноепредставление для решения задачи Коши54Zt Z[v0 (y, τ )Lu(y, τ ) − u(y, τ )M v0 (y, τ )] dydτ +u(x, t) =0 RnZu(y, 0)v0 (y, 0)dy.

(2.1.35)Rn2.1.5Представление решения параболического уравнения вшароидеПоверхность уровня фундаментального решения параболического урав-нения будем называть сфероидом, а ограниченную сфероидом область — шароидом. Получим интегральное представление для решения параболическогоуравнения в шароиде QR , определяемом с помощью функции 2σ (y, x, t)10−,Z (y − x, t, τ ) =n1 · exp4(t − τ )[4π(t − τ )] 2 (det A(x, t)) 2являющейся фундаментальным решением для главной части параболическогооператора с коэффициентами, замороженными в точке (x, t). Шароид QR определим неравенствомQR = QR (x, t) =no02−n/2−1/2= (y, τ )|Z (y − x, t, τ ) − (2πR /n)(det A(x, t))> 0, τ < t .На сфероиде выполняется равенство2Rσ 2 (y, x, t) = 2n(t − τ ) ln,2n(t − τ )(2.1.36)поэтомуR2> 1.2n(t − τ )Правую часть равенства (2.1.36) будем обозначать ρ2 (τ ).Из этих формул следует, что t−R2 /(2n) 6 τ 6 t, причем гиперплоскостиτ = t и τ = t − R2 /(2n) имеют пересечение со сфероидом в единственной55точке, пространственные координаты которой равны x, а сечением сфероидагиперплоскостью τ = c является эллипсоид, максимальный размер которого√R/ e.Проверим условие (2.1.22) для шароида:Zlim Z 0 (y − x, t, t − ε)dy = 1,ε→0D̃εгде область интегрирования D̃ε определяется неравенствомσ 2 (y, x, t) 6 2nε ln R2 /(2nε) .Выполняя в интеграле линейную замену переменной y − x =ZZ0Z (y − x, t, t − ε)dy = p(z)dz,D̃ε√εz, получимTεгде Tε — область, ограниченная эллипсоидом z 0 A−1 (x, t)z = 2n ln R2 /(2nε) , аp(z) — плотность нормального распределения со средним 0 и матрицей ковариаций 2A(x, t).

Полученный интеграл стремится к 1 при ε → 0, так как областьинтегрирования расширяется до всего пространства. В качестве функции v(y, τ )выберемZ 0 (y − x, t, τ ) − (2πR2 /n)−n/2 (det A(x, t))−1/2 ,тогда условия (2.1.23), очевидно выполнены (первое условие выполнено, таккак шароид — ограниченное множество). Поскольку, v(y, τ ) = 0 на сфероиде исправедливы равенства∂∂ 01v(y, τ ) =Z (y − x, t, τ ) = −(A−1 (x, t)(y − x))i Z 0 (y − x, t, τ ),∂yi∂yi2(t − τ )cos(ν, yi ) = p(2A−1 (x, t)(y − x))ik2A−1 (x, t)(y − x)k2 + (∂ρ2 /∂τ )2,56при ε → 0 из формулы (2.1.24) получимZ[v(y, τ )Lu(y, τ ) − u(y, τ )M v(y, τ )] dydτ +u(x, t) =QRZ+ limε→0∂QR \Dε[(y − x)T A−1 (x, t)A(y, τ )A−1 (x, t)(y − x)] 0pZ (y − x, t, τ ) ×(t − τ ) k2A−1 (x, t)(y − x)k2 + (∂ρ2 /∂τ )2× u(y, τ )d(y,τ ) S.

(2.1.37)Выбирая u(y, τ ) ≡ 1, из (2.1.37) получимZ[(y − x)T A−1 (x, t)A(y, τ )A−1 (x, t)(y − x)] 0pZ (y − x, t, τ )d(y,τ ) S < ∞.(t − τ ) k2A−1 (x, t)(y − x)k2 + (∂ρ2 /∂τ )2∂QRЗначит, для ограниченного решения параболического уравнения справедливоинтегральное представлениеZ[v(y, τ )Lu(y, τ ) − u(y, τ )M v(y, τ )] dydτ +u(x, t) =QRZ+[(y − x)T A−1 (x, t)A(y, τ )A−1 (x, t)(y − x)] 0pZ (y − x, t, τ ) ×(t − τ ) k2A−1 (x, t)(y − x)k2 + (∂ρ2 /∂τ )2∂QR× u(y, τ )d(y,τ ) S. (2.1.38)Для упрощения поверхностного интеграла в этой формуле воспользуемсяочевидной леммой.Лемма 2.1.1 Пусть поверхность S в пространстве Rn+1 задана уравнениемвида g(y) = h(τ ), где y ∈ Rn , а τ ∈ [t1 , t2 ] ⊂ R1 . Тогда для непрерывной функцииf (y, τ ) и гладких функций g(y) и h(τ ) справедлива формулаZf (y, τ )pd(y,τ ) S =k grad g(y)k2 + (∂h(τ )/∂τ )2SZt2Zdτt1где S(τ ) — проекция сечения поверхности S на Rn .S(τ )f (y, τ )dy S,k grad g(y)k57Воспользовавшись леммой и подставляя значение Z 0 (y − x, t, τ ) на сфероиде, получимZ[v(y, τ )Lu(y, τ ) − u(y, τ )M v(y, τ )] dydτ +u(x, t) =QRZt+2t− R2n n n2Zdτ2[(y − x)T A−1 (x, t)A(y, τ )A−1 (x, t)(y − x)]×2(t − τ )(πR2 )n/2 (det A(x, t))1/2 kA−1 (x, t)(y − x)k∂Dρ(τ )× u(y, τ )dy S, (2.1.39)где, как и ранее, Dρ = {y|σ(y, x, t) 6 ρ} — область ограниченная эллипсоидом.Сформулируем еще одну полезную лемму о вычислении интегралов.Лемма 2.1.2 Пусть область DR является объединением эллипсоидовSr (x, t) = {y|σ(y, x, t) = r}, 0 6 r 6 R.Тогда для любой интегрируемой функции g(y) справедливы равенствaZRZg(y)dy =DRZg(y)dy S  dr =k grady σ(y, x, t)kSr (x,t)ZRZg(y)rdS=  dr =ykA−1 (x, t)(y − x)k0Sr (x,t)RZZg(x + rω) n−1dS=  r dr =ωkA−1 (x, t)ωk00S10 (x,t)= σn (det A(x, t))12ZREg(x + rΩ)rn−1 dr, (2.1.40)0гдеS10 (x, t) = ω ∈ Rn |ω T A−1 (x, t)ω = 1 — эллипсоид с центром в нуле,58σn = 2π n/2 Γ(n/2) — площадь поверхности сферы радиуса 1 в Rn .Случайный вектор Ω распределен на S10 (x, t) с плотностьюp(x, t, ω) =1σn (det A(x, t))12kA−1 (x, t)ωk.(2.1.41)Его можно моделировать по формуле [12]1Ω = (A(x, t)) 2 Ω1 ,(2.1.42)1где (A(x, t)) 2 — треугольная матрица квадратного корня из матрицы A(x, t),Ω1 — изотропный единичный вектор в пространстве.Применяя лемму к формуле (2.1.39), находимZu(x, t) = [v(y, τ )Lu(y, τ ) − u(y, τ )M v(y, τ )] dydτ +QRZt+dτ E n n22[Ω0 A−1 (x, t)A(y, τ )A−1 (x, t)Ω]ρ (τ )u(x + ρ(τ )Ω, τ ), (2.1.43)Γ(n/2)(t − τ )Rnn2t− R2nгде y = x + ρ(τ )Ω.

Аналогичная формулаZZu(x, t) =[v(y, τ )Lu(y, τ ) − u(y, τ )M v(y, τ )] dydτ +v(y, δ)u(y, δ)dy +QR,δZt+dτ ED̃R,δ n n22[Ω0 A−1 (x, t)A(y, τ )A−1 (x, t)Ω]ρ (τ )u(x + ρ(τ )Ω, τ ) (2.1.44)Γ(n/2)(t − τ )Rnnδсправедлива при t − R2 /(2n) < δ < t для усеченного шароидаQR,δ = QR,δ (x, t) =no02−n/2−1/2= (y, τ )|Z (y − x, t, τ ) − (2πR /n)(det A(x, t))> 0, δ < τ < tс нижней границейDR,δno02−n/2−1/2= DR,δ (x, t) = (y, δ)|Z (y − x, t, δ) − (2πR /n)(det A(x, t))>0 ,59имеющей проекцию D̃R,δ на координатное пространство. Отметим, что вместофункции Z 0 для построения шароидов можно использовать другие фундаментальные решения, например, решение вида (2.1.14), в котором в качестве параметров берутся все коэффициенты параболического уравнения, замороженныев точке (x, t).2.2Задача КошиРассмотрим задачу Коши∂ ∂L x, t, ,u(x, t) = f (x, t),∂x ∂t(2.2.1)u(x, 0) = ϕ(x).Известно [28], что если функция f удовлетворяет условию Гёльдера по всем2своим аргументам, ϕ непрерывна, а f и ϕ растут при |x| → ∞ не быстрее ea|x| ,то решение задачи Коши может быть записано в виде суммы потенциаловZtu(x, t) =Zdτ0ZZ(x, y, t, τ )f (y, τ )dy +RnZ(x, y, t, 0)ϕ(y)dy.(2.2.2)RnКонстанта a зависит от T и коэффициентов уравнения.Обсудим кратко известные методы решения задачи Коши.

Из представления (2.2.2) следует, что при a0 (x) ≡ 0 фундаментальное решение являетсяплотностью распределения по переменной y, поэтому при известном фундаментальном решении интегралы в (2.2.2) легко вычислить методом Монте-Карло.Для уравнений с постоянными коэффициентами для этого, в силу (2.1.14)и (2.2.2), достаточно уметь моделировать нормально распределеный случайный0вектор в Rn со средним x1 − a1 (t − τ ), . . . , xn − an (t − τ ) и ковариационнойматрицей 2(t − τ )A, а также равномерное распределение на отрезке [0, t]. Пустьγ — случайная величина, имеющая гамма распределение с параметром n2 , а ω —60изотропный случайный вектор в Rn . Если γ и ω независимы, то случайныйвекторp√Y (x, t, τ ) = x − (t − τ )ā + 4(t − τ )γ Aω(2.2.3)√имеет требуемое распределение.

Здесь A — треугольная матрица квадратного√ √корня из матрицы A, то есть A = A( A)0 . Вектор ā составлен из коэффициентов ai . Пусть случайная величина θ имеет равномерное распределение наотрезке [0, 1], а γ, θ и ω независимы в совокупности, тогда случайная величинаξ0 (x, t) = t · e−a0 t(1−θ) · f (Y (x, t, tθ), tθ) + e−a0 t · ϕ(Y (x, t, 0), 0)(2.2.4)является несмещенной оценкой решения u(x, t).Если коэффициенты уравнения (2.2.1) и его правая часть не зависят отвремени, то существует однородный диффузионный процесс Xs , стартующийиз точки x, на траекториях которого справедливо вероятностное представлениефункции u(x, t)ZtZsexp −u(x, t) = Ex0a0 (Xτ )dτ  f (Xs )ds +0Zt+ Ex exp −a0 (Xs )ds ϕ(Xt ), (2.2.5)0в котором символ Ex означает математическое ожидание следующей за нимслучайной величины.

Представление (2.2.5) явно указывает вид несмещенныхстатистических оценок для u(x, t) на траекториях процесса Xs . Отметим, чтореализация этих оценок связана с моделированием траекторий случайного процесса. Для этого требуется решать систему стохастических дифференциальныхуравнений численно, что приводит к смещенным оценкам для u(x, t) и затрудняет вычисление погрешности.

В работах [76,78] W.Wagner предложил и исследовал метод домножения оценки на весовой множитель с целью сохранения ее61несмещенности. А именно, для диффузионного процесса расматривается задачаоценивания функционала Eg(Xt ). Стохастическое дифференциальное уравнение для процесса решается методом Эйлера. Пусть 0 = t0 < t1 < . . .