Диссертация (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 6

Тогда конкретное решение уравнения (1.5.1) однозначно представимо ввиде суммы потенциала GF (x) и инвариантной функции v(x) = K ∞ u(x), ко-34торая определяется дополнительными (обычно краевыми) условиями. Несмещенные статистические оценки решения уравнения (1.5.1) будем строить натраекториях цепи Маркова, с учетом того, что функция F (x), как правило,представлена в виде интеграла. Модель оценивания, которую мы рассматриваем, содержит стандартную схему Неймана-Улама как частный случай.Пусть P (x, A) – стохастическое ядро.

Несмещенные оценки решенияуравнения (1.5.1) будем строить на траекториях цепи Маркова xi (i = 0, 1, . . .)с переходной вероятностью P (x, A), стартующей из точки x0 = x. ПустьFi (i = 0, 1, . . .) фильтрация, такая что xi является Fi -измеримым вектором,а ζi и θi – Fi -измеримые случайные величины, такие чтоE(ζi+1 u(xi+1 ) + θi+1 |Fi ) = u(xi ).(1.5.2)Рассмотрим последовательность случайных величин, определяемую рекурсивно.1. ξ0 = u(x0 ).2. Оценка ξi+1 получается из оценки ξi заменой величины u(xi ) на ее несмещенную статистическую оценку ζi+1 u(xi+1 ) + θi+1 , в которой первое слагаемоеRнесмещенно оценивает интеграл u(y)k(xi , dy), а второе – F (xi ).QНетрудно записать и явное выражение для оценки ξi :ξi = θ1 + ζ1 θ2 + ζ1 ζ2 θ3 + · · · + (i−1Yj=1ζj )θi + (iYζj )u(xi ).(1.5.3)j=1Очевидно, что ξi (i = 0, 1, .

. .) – мартингал относительно выбраннойфильтрации. Если он равномерно интегрируемый, то по теореме 1.1.3 с вероятностью единица существует предел ξ∞ = lim ξi и по теореме 1.1.4 для любогомомента остановки τ случайная величина ξτ является несмещенной оценкой дляu(x).35Выбранную модель оценивания u(x) будем называть линейной модельюоценивания.Выберем такое стохастическое ядро P (x, A), относительно которого ядроk(x, A), а значит и ядро |k|(x, A) абсолютно непрерывны.

Соответствующиепроизводные обозначим kp (x, y) и k p (x, y). Случайную величину ζi+1 при этомзапишем в виде ζi+1 = γi+1 kp (xi , xi+1 ).Опишем линейную модель оценивания, соответствующую классическойсхеме Неймана-Улама. Пусть g(x) – измеримая функция, удовлетворяющая привсех x ∈ Q неравенству 0 < g(x) < 1.

Пусть αi (i = 1, 2, . . .) – последовательность случайных величин равномерно распределенных на отрезке [0, 1], независимых в совокупности и от цепи xi (i = 1, 2, . . .). Определим γi равенствомγi = χi /(1 − g(xi−1 )), где χi – индикатор события {αi > g(xi−1 )}. Пусть кроме того F0 = {∅, Ω}, а при i > 0 σ-алгебра Fi порождена цепью x0 , x1 , . . . , xi ислучайной величиной αi . Наконец, определив марковский момент τ , как моментпервого обращения в ноль индикатора χi , получим несмещенную оценку ξτ дляпотенциала GF (x). При θi+1 = F (xi ) получим оценку по столкновениям, а приθi+1 = F (xi )(1 − χi+1 )/g(xi ) – оценку по поглощениям.Функцию g(x) можно интерпретировать как вероятность обрыва цепипри переходе из точки x. Тогда τ становится моментом перехода цепи в поглощающее состояние.Если γi = 1 при всех i, то последовательность (1.5.3) является стандартной последовательностью весовых оценок на необрывающейся цепи Маркова.При выполнении условия E(γi |Fi−1 , xi ) = 1, также получается линейнаямодель оценивания u(x).Статистические оценки суммы ряда Неймана будем строить в предположении сходимости ряда Неймана для мажорантного уравненияZu(x) = u(y)|k|(x, dy) + H(x), x ∈ Q,Q(1.5.4)36где H(x) – измеримая функция, удовлетворяющая неравенству |F (x)| 6 H(x)при всех x ∈ Q.

Сходимость ряда Неймана для (1.5.1) следует из неравенстваii|K i F | 6 K |F | 6 K H. Здесь, как и ранее, K – интегральный оператор с ядром|k| равным полной вариации заряда k.Теорема 1.5.1 Пусть ряд Неймана для мажорантного уравнения (1.5.4) сходится. Если в линейной модели оценивания (1.5.3) для u = GF при всех i > 0случайная величина ζi+1 = γi+1 kp (xi , xi+1 ), где γi+1 > 0, выполнено неравенствоE(|θi+1 ||Fi ) 6 H(xi ) и условие E(γi+1 |Fi , xi+1 ) = 1, то несмещенные оценки(1.5.3) образуют равномерно интегрируемый мартингал.Доказательство.

Потенциал GH(x) является неотрицательным решением u(x) мажорантного уравнения (1.5.4). Пусть ζ i+1 = γi+1 k p (xi , xi+1 ), тогдаE(ζ i+1 u(xi+1 )|Fi ) = E(E(γi+1 k p (xi , xi+1 )u(xi+1 )|Fi , xi+1 )|Fi ) =E(E(γi+1 |Fi , xi+1 )k p (xi , xi+1 )u(xi+1 )|Fi ) =ZE(k p (xi , xi+1 )u(xi+1 )|Fi ) = u(y)|k|(xi , dy).QПусть θi+1 = H(xi ), тогда оценки вида (1.5.3)ξ i = θ1 + ζ 1θ2 + ζ 1ζ 2θ3 + · · · + (i−1Yζ j )θi + (j=1iYζ j )u(xi ),(1.5.5)j=1образуют неотрицательный мартингал. По теореме (1.1.2) существует и интегрируема случайная величина ξ ∞ = lim ξ i иEξ ∞ 6 u(x).Тогда lim E(ξ ∞ −Pm Qi−1i=1 ( j=1 ζ j )θ i ) 6 u(x) − GH(x) = 0.

По теореме (1.1.2),мартингал {ξ i }∞i=1 равномерно интегрируемый иξ∞∞ Yi−1X=( ζ j )θii=1 j=1(1.5.6)37с вероятностью единица. Отметим, чтоQij=1 ζ j u(xi )→ 0 с вероятностью еди-ница. Мартингал оценок (1.5.3) для u = GF сходится с вероятностью единица,так как sup E|ξi | 6 u(x). Действительно, E(|θi+1 ||Fi ) 6 H(xi ) и k p (xi , xi+1 ) =Q|kp (xi , xi+1 )|, поэтому E|ξi | 6 Eξ i = u(x). Кроме того, ij=1 ζj u(xi ) → 0 с веQQроятностью единица, в силу неравенства | ij=1 ζj u(xi )| 6 ij=1 ζ j u(xi ).

Тогда,ξ∞∞ Yi−1X=( ζj )θi(1.5.7)i=1 j=1с вероятностью единица. Полученные ранее оценки, показывают, что∞ Yi−1∞i−1∞XXYXiE|( ζj )θi | 6E( ζj )|θi | 6K H(x),i=m j=1i=mj=1i=mряд (1.5.7) сходится в L1 (Ω, P ) и Eξ∞ = u(x). То есть мартингал {ξi }∞i=0 –равномерно интегрируемый.Замечание 1. Ряд Неймана для мажорантного уравнения (1.5.4) сходится, если оператор K ограничен и имеет спектральный радиус ρ(K) < 1.Для неограниченного оператора вместо спектрального радиуса следует использовать перронов корень [62] оператора K.Замечание 2.

Для инвариантной функции u(x) мартингал{ξi =iYζj u(xi )}∞i=0j=1может не обладать свойством равномерной интегрируемости. Это верно, например, для стандартной схемы Неймана-Улама при постоянной вероятностиобрыва g > 0 для стохастического ядра и u(x) = 1, так как ξi → 0 c вероятностью единица.Для существования и ограниченности вторых моментов линейных оценок нужны дополнительные условия, аналогичные тем, которые используютсяв стандартной схеме Неймана-Улама. Один из возможных вариантов достаточных для этого условий содержит следующая теорема.38Теорема 1.5.2 Пусть выполнены условия теоремы 1.5.1, справедливы нера2венства E(θi+1|Fi ) 6 H1 (xi ) и H 2 (xi ) 6 H1 (xi ), а также сходится ряд∞Xi−1YE( ζ j )2 H1 (xi ) < +∞.i=1(1.5.8)j=1Тогда,21.

Eξ ∞ < +∞22. Eξ∞< +∞3. Для любого марковского момента τ оценка ξτ имеет конечную дисперсию.Доказательство.2= H 2 (xi ) 6 H1 (xi ) влечет сходимость ряда1. Неравенство θi+1∞Xi−1Y2E( ζ j )2 θi .i=1j=1Очевидно, что2Eξ ∞=∞Xi−1∞i−1∞ Yl−1YXYX2 2E( ζ j ) θi + 2E( ζ j )θi( ζ j )θl .i=1j=1i=1j=1l=i+1 j=1Оценим второе слагаемое:∞Xi−1∞ Yl−1YXE( ζ j )θi( ζ j )θl =i=1∞Xi=1j=1l=i+1 j=1∞i−1l−1XYY2 2(ζ j )θl |Fi ) =E( ζ j ) θi E(j=1∞Xi=1l=i+1 j=i+1i−1Y2E( ζ j )2 θi u(xi ) < +∞,j=1если функция u(x) – ограничена.3922. Из условия E(θi+1|Fi ) 6 H1 (xi ) и сходимости ряда (1.5.8) получаем сходи-мость ряда∞Xi=1i−1YE( ζj )2 θi2 .j=1Действуя по аналогии с доказательством первого пункта теоремы, получаемнеравенства:2Eξ∞6∞Xi=1∞Xi=1l−1i−1∞i−1∞ YYXYX2 2( ζj )|θl | 6E( ζj ) θi + 2E( ζj )|θi |j=1i=1j=1l=i+1 j=1i−1∞i−1YXY2 2E( ζj ) θi + 2E( ζj )2 θi2 u(xi ) < +∞.j=1i=1j=13. Из неравенства Йенсена для любого марковского момента τ с вероятностьюединица верно неравенство2ξτ2 = (E(ξ∞ |Fτ ))2 6 E(ξ∞|Fτ ).Поэтому,2Eξτ2 6 Eξ∞< +∞.Замечание.

Для стандартной схемы Неймана-Улама H(x) = |F (x)| иH1 (x) = F 2 (x)/g(x). Условие (1.5.8) совпадает с условием конечности потенци2ала от функции H1 (x) для ядра k p (x, y)P (x, dy)/(1 − g(x)).40Глава 2Статистические алгоритмы решениякраевых задач для параболическихуравнений второго порядка2.1Необходимые сведения о параболических уравненияхВ качестве основного источника сведений о параболических уравненияхмы используем монографию [28], поэтому стараемся придерживаться используемых в ней обозначений и терминологии.ФормулаnnX∂ X∂2∂∂ ∂= −aij (x, t)+ai (x, t)+a0 (x, t) (2.1.1)L = L x, t, ,∂x ∂t∂t i,j=1∂xi ∂xj i=1∂xi(T )определяет парболический оператор в области Dn+1 = Rn × (0, T ), либо в области QT = D × (0, T ), где D — ограниченная область в пространстве Rn сграницей Γ ∈ H 1+β , (0 6 β < 1).

Коэффициенты оператора принадлежат класα(T )су функций H α, 2 (Dn+1 ), (0 6 α < 1). Матрица коэффициентов при старшихпроизводных предполагается симметричной, а ее собственные числа лежат в41фиксированном отрезке [ν, µ] и ν > 0. Нас интересуют решения уравнения∂ ∂u(x, t) = f (x, t)(2.1.2)L x, t, ,∂x ∂tили функционалы от них.2.1.1Фундаментальное решение параболического уравненияПри сделанных предположениях существует фундаментальное решениеZ(x, y, t, τ ), удовлетворяющее уравнению∂ ∂L x, t, ,u = δ(x − y)δ(t − τ ),∂x ∂t(2.1.3)ограниченное при |x| → ∞.Фундаментальное решение Z(x, y, t, τ ) может быть представлено в виде функционала от решения интегрального уравнения Вольтерра.

Фиксируемточку (y, τ ). Пусть A(y, τ ) — матрица, составленная из старших коэффициентов aij (y, τ ) оператора L, A(i,j) (y, τ ) — элементы обратной матрицы A−1 (y, τ ).Рассмотрим функцию Z0 , которая при t > τ определяется равенствомZ0 (x − y, y, t, τ ) =1n1 ×[4π(t − τ )] 2 (det A(y, τ )) 2!nX1× exp −A(i,j) (y, τ )(xi − yi )(xj − yj ) (2.1.4)4(t − τ ) i,j=1При t < τ функция Z0 (x − y, y, t, τ ) = 0.Функция Z0 удовлетворяет неравенствуZ0 (x − y, y, t, τ ) 6 µ n2νZ1 (x − y, t − τ ),где|x − y|2Z1 (x − y, t − τ ) =−.n exp4µ(t − τ )[4πµ(t − τ )] 21(2.1.5)42Фундаментальное решение Z можно представить в видеZtZ(x, y, t, τ ) = Z0 (x − y, y, t, τ ) +ZdλZ0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )dz, (2.1.6)Rnτгде функция Q является решением уравнения ВольтерраZtQ(x, y, t, τ ) +ZdλK(x, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )dz + K(x, y, t, τ ) = 0,(2.1.7)Rnτа функция K определена равенствомnX∂ 2 Z0 (x − z, z, t, λ)+K(x, z, t, λ) =[ai,j (z, λ) − ai,j (x, t)]∂x∂xiji,j=1+nXai (x, t)i=1∂Z0 (x − z, z, t, λ)+ a0 (x, t)Z0 (x − z, z, t, λ).

(2.1.8)∂xiСуществуют положительные постоянные C и c, такие что при 0 6 τ < t2n+2−α|x−y||K(x, y, t, τ )| 6 c(t − τ )− 2 exp −C.(2.1.9)t−τПусть K1 (x, y, t, τ ) = K(x, y, t, τ ). Для повторных ядерZtKm (x, y, t, τ ) =ZdλτK(x, z, t, λ)Km−1 (z, y, λ, τ )dz, m = 2, 3, . . .(2.1.10)Rnпри 0 6 τ < t по индукции доказывается оценка π n(m−1)m α2Γ−n−2+mα|x−y|22|Km (x, y, t, τ )| 6 cm(t−τ ) 2exp −C, (2.1.11)mαCt−τΓ 2где Γ(α) обозначает гамма-функцию.Из оценки (2.1.11) следует, что ряд Неймана для уравнения (2.1.7) сходится равномерно при t − τ > 0,Q(x, y, t, τ ) =∞X(−1)m Km (x, y, t, τ ),m=1(2.1.12)43и справедливо неравенство− n+2−α2|Q(x, y, t, τ )| 6 c1 (t − τ )|x − y|2exp −Ct−τ.(2.1.13)Для уравнений с постоянными коэффициентами фундаментальное решение имеет вид1Z(x − y, y, t, τ ) =n212×[4π(t − τ )] (det A)nX1A(i,j) xi − yi − ai (t − τ ) xj − yj − aj (t − τ ) −× exp −4(t − τ ) i,j=1− a0 (t − τ ) (2.1.14)При t < τ функция Z(x − y, y, t, τ ) = 0.2.1.2Формально-сопряженный оператор и формулы ГринаПредположим дополнительно, что коэффициенты aij имеют вторые част(T )ные производные по переменным x, непрерывные в QT или в Dn+1 и ai имеют(T )частные производные по переменным x, также непрерывные в QT или в Dn+1 .Тогда в соответствующей области определен оператор M , формально сопряженный с оператором L.nnX∂u X ∂ 2∂Mu = −(aij (x, t)u) −(ai (x, t)u) + a0 (x, t)u.