Диссертация (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 2

Решение краевой задачи записывается при этом какфункционал (линейный и ограниченный) от решения некоторого интегральногоуравнения второго рода.Процедуру построения несмещенных оценок для решения интегральныхуравнений принято называть схемой Неймана-Улама. Первоначально она разрабатывалась для уравнения переноса излучения [30], а затем была распространена на интегральные уравнения второго рода [11]. По своей сути, она является процедурой последовательного несмещенного оценивания интеграла винтегральном уравнении по квадратурной формуле с одним случайным узлом,распределение которого определяется плотностью вероятностей перехода цепиМаркова. Схема Неймана-Улама также тесно связана с вероятностной теориейпотенциала [31, 64], что позволяет эффективно использовать теорию мартингалов для исследования случайных блужданий и несмещенных оценок решенийкраевых задач на траекториях этих блужданий.Если интегральное уравнение получено из теоремы о среднем значении,то соответствующее блуждание происходит внутри области.

Первым и наиболее известным алгоритмом такого типа является алгоритм блуждания по сферам [72], решающий задачу Дирихле для уравнения Пуассона в ограниченнойобласти. Алгоритм прост в реализации и достаточно эффективен. Он основанна интегральном представлении решения уравнения Пуассона в центре шара спомощью функции Грина.8Если интегральное уравнение получается на основе уравнений теориипотенциала, то говорят об алгоритмах случайного блуждания по границе.

Повидимому, впервые такой алгоритм был применен для решения задачи Нейманав выпуклой области [48]. Несмещенные статистические оценки для решения задачи были построены на траекториях блуждания по границе области, каждаяследующая точка которого видна из предыдущей в случайном направлении,определяемом изотропным вектором в полупространстве. Плотность (по отношению к мере Лебега на поверхности) вероятности перехода за один шаг в таком блуждании является ядром Гаусса (для телесного угла), что естественнымобразом связывает процесс блуждания с уравнениями теории потенциала.Бессеточные алгоритмы построены для многих практически важныхкраевых задач [3, 12, 15, 17, 26, 33–37, 43, 44, 65].Основными целями данной диссертационной работы являются:– теоретические исследования случайных процессов и статистических оценок,используемых при построении и реализации беcсеточных методов решения краевых задач;– разработка новых алгоритмов статистического моделирования для решениязадачи Коши для параболического уравнения;– разработка новых алгоритмов статистического моделирования для решенияпервой краевой задачи для уравнений параболического и эллиптического типа;– исследование процесса блуждания по полусферам и его применение к решению краевых задач для уравнения Пуассона;– применение метода стохастической аппроксимации в схеме Неймана-Уламадля решения интегральных уравнений;– создание процедур моделирования распределений, необходимых для реализации алгоритмов.В первой главе рассматриваются вопросы, связанные с применением схемы Неймана-Улама к решению интегральных уравнений эквивалентных крае-9вым задачам.

Спектральный радиус оператора таких интегральных уравненийравен единице, поэтому традиционная процедура статистического моделирования для таких уравнений требует корректировки. Исследование статистическихоценок и марковских цепей, на которых оценки строятся, проводится методамитеории мартингалов. Необходимые сведения из этой теории содержит первыйпараграф. Во втором параграфе содержатся некоторые результаты из вероятностной теории потенциала. В третьем параграфе исследуются интегральныеуравнения с субстохастическим ядром.

Формулируются и доказываются теоремы о поведении траекторий однородной цепи Маркова, определяемой этимядром. В четвертом параграфе рассматриваются процедуры построения несмещенных оценок решений интегральных уравнений с субстохастическим ядром.Оценки строятся на траекториях цепи Маркова, определяемой этим ядром. Доказываются теоремы о конечности дисперсии таких оценок, исследуется трудоемкость алгоритмов. В пятом параграфе изучается последовательная процедура статистического оценивания решений интегральных уравнений с произвольным конечным ядром. Показано, что в случае ограниченного ядра, дляосновных статистических оценок суммы ряда Неймана она совпадает со схемойНеймана-Улама.

Доказаны теоремы об ограниченности дисперсии статистических оценок.Результаты главы 1 опубликованы в работах [12, 15, 56, 65, 74].Во второй главе рассматриваются алгоритмы статистического моделирования для решения задачи Коши и первой краевой задачи для параболическогоуравнения второго порядка, в основном, с переменными коэффициентами. Интегральные уравнения для решений краевых задач получаются методом замороженных коэффициентов. К этим уравнениям применяется либо стандартнаяпроцедура оценивания, либо процедура из параграфа 1.5 и ее аналоги. В параграфе 2.1 с помощью формул Грина получены не содержащие производныхинтегральные представления для решения параболического уравнения в ци-10линдре, шароиде (области, ограниченной поверхностью уровня фундаментального решения) и во всем пространстве.

С помощью полученных представлений решается задача Коши. Рассмотрена как прямая, так и сопряженная схемаНеймана-Улама. Доказаны теоремы об ограниченности дисперсии построенныхстатистических оценок. В параграфе 2.3 получены малосмещенные оценки сконечной дисперсией для первой краевой задачи внутри ограниченной области.На траекториях блуждания по цилиндрам оценки построены как для уравнений с постоянными коэффициентами, так и для уравнений с переменнымикоэффициентами.

На траекториях блуждания по шароидам оценки построеныдля уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения с переменным коэффициентом при неизвестной функции. Рассмотрен также метод построениястатистических оценок, основанный на сведении начально-краевой задачи к системе эллиптических краевых задач путём дискретизации времени. В параграфе 2.4 на траекториях ветвящегося блуждания по границе выпуклой областипостроены несмещенные статистические оценки решения уравнения теплопроводности с нелинейным граничным условием Стефана-Больцмана.Результаты главы 2 опубликованы в работах [12, 15, 52–55, 57, 65, 73].В третьей главе рассматриваются алгоритмы статистического моделирования для решения краевых задач для эллиптических уравнениний второго порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами в пространстве Rn , где n > 2. Для первой краевой задачи исследуются, в основном,блуждания внутри области, а для второй краевой задачи — блуждания по границе области.

Как и во второй главе, задачи рассматриваются в классическойпостановке, то есть граница области и функции, входящие в уравнение, предполагаются достаточно гладкими и ограниченными. В параграфе 3.1 с помощьюфункции Леви специального вида построено интегральное представление решения эллиптического уравнения в эллипсоиде. Интегральный оператор в этомпредставлении имеет субстохастическое ядро, что позволяет применить резуль-11таты главы 1 для построения статистических оценок решения первой краевойзадачи в ограниченной области. Соответствующая процедура реализована в параграфе 3.2. В параграфе 3.3 рассматриваются краевые задача для оператора Лапласа. Определяются различные варианты блуждания по полусферам натраекториях которого строятся несмещенные и малосмещенные статистическиеоценки решения уравнения Пуассона.

Исследованы: задача Дирихле в области,ограниченной многогранником; задача с граничным условием третьего рода,когда на выпуклой части границы задано условие Неймана, а на оставшейсячасти условие Дирихле; задача с разрывом нормальной производной решенияна плоской границе, разделяющей область на части. Здесь же рассмотриныалгоритмы блуждания по сферам и полусферам для решения внешней задачиДирихле. Постоенные процедуры применены к решению задачи о вычислениивзаимных электростатических емкостей проводников.

Заключительная частьпараграфа посвящена задачам в выпуклой области. Методом Монте-Карло решаются интегральные уравнения теории потенциала для неизвестной функциина границе области. Предложена и реализована процедура выделения главнойчасти интегрального оператора, аналогичная методу выделения главной частив методе Монте-Карло для вычисления интегралов. В параграфе 3.4 процедуравыделения главной части оператора реализуется для операторов Фредгольмаи Гильберта-Шмидта методом стохастической аппроксимации. Полученные результаты применяются для решения уравнений теории потенциала.Результаты главы 3 опубликованы в работах [12–15, 19, 47–51, 65].В приложение вынесены, в виду их важности, процедуры моделированиякак стандартных распределений, так и распределений, полученных при построении новых бессеточных алгоритмов решения краевых задач.Настоящая работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования«Вологодский государственный университет», г.Вологда (ФГБОУ ВПО «Во-12ГУ»).