Диссертация (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных)

Вологодский государственный университетНа правах рукописиСИПИН Александр СтепановичБЕССЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛОРЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ01.01.07 — Вычислительная математикаДИССЕРТАЦИЯна соискание учёной степени докторафизико-математических наукНаучный консультант: докторфизико-математических наукпрофессор Ермаков С. М.Вологда — 20152ОглавлениеВведение51 Применение схемы Неймана-Улама к решению краевых задач 131.1 Справочные сведения из теории мартингалов.

. . . . . . . . . .131.2 Элементы теории потенциала и ряд Неймана. . . . . . . . . . .161.3 Субстохастические ядра. Свойства траекторий цепи Маркова. .201.4 Схема Неймана-Улама для субстохастического ядра. . . . . . . . .281.5 Схема Неймана-Улама. Общий случай. . . . . . . . . . . . . . . .332 Статистическиеалгоритмырешениякраевыхзадачдляпараболических уравнений второго порядка402.1 Необходимые сведения о параболических уравнениях . . . . . . .402.1.1Фундаментальное решение параболического уравнения . .412.1.2Формально-сопряженный оператор и формулы Грина .

. .432.1.3Представление решения параболического уравнения вцилиндре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .482.1.4Интегральное представление решения задачи Коши . . . .522.1.5Представление решения параболического уравнения вшароиде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .542.2 Задача Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592.2.1Несмещенные оценки решения задачи Коши . . . . . . . .622.2.2Определение постоянных c и C . . . . . . . . . . . . . . . .6832.2.3Оценка функционалов . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .2.2.4Задача Коши для уравнений с дифференцируемыми71коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .832.3 Первая краевая задача в ограниченной области . . . . . . . . . .902.3.1Блуждание по цилиндрам для уравнения c постояннымикоэффициентами . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.291Блуждание по сфероидам для уравнения с постояннымикоэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.398Блуждание по цилиндрам для уравнения с переменнымикоэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 1042.3.4Блуждание по шароидам для уравнения с переменнымкоэффициентом при неизвестной функции . . . . . . . . . 1192.3.5Алгоритмы, связанные с дискретизацией времени . . . . . 1232.4 Одна нелинейная краевая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283 Статистическиеалгоритмырешениякраевыхзадачдляэллиптических уравнений второго порядка1363.1 Необходимые сведения об эллиптических уравнениях . . .

. . . . 1373.1.1ФундаментальноерешениеифункцииЛевидляэллиптического оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.2 Первая краевая задача для эллиптического оператора . . . . . . . 1423.2.1Блуждание по эллипсоидам . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.3 Краевые задачи для оператора Лапласа . . . . . . . . . .

. . . . . 1553.3.1Блуждания по полусферам . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.3.2Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа . . . . . 1703.3.3Вычисление электростатических емкостей . . . . . . . . . . 1753.3.4Задача Неймана для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . 18643.4 О сочетание схемы Неймана-Улама и метода стохастическойаппроксимации . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.4.1Выделение главной части оператора для уравнений теориипотенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200A Алгоритмы моделирования некоторых распределений203A.1 Моделирование изотропного вектора в Rn . . . . . . . . . . . . . . 203A.1.1 Изотропный вектор в пространстве . . . . . . . .

. . . . . . 203A.1.2 Изотропный вектор в полупространстве . . . . . . . . . . . 205A.1.3 Неравномерное распределение на эллипсоиде . . . . . . . . 205A.2 Гамма и бета распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205A.3 Краевые задачи для параболического уравнения . . . . . . . . . .

208A.3.1 Моделирование геометрического распределения . . . . . . 208A.4 Первая краевая задача для эллиптического уравнения . . . . . . 209A.4.1 Моделирование величины ρ в блуждании по сферам . . . . 209A.4.2 Моделирование блуждания по эллипсоидам . . . . . . . . . 210A.4.3 Моделирование величины Z1 для внешней задачи Дирихле 216Заключение218Литература2215ВведениеВ данной работе рассматриваются методы Монте-Карло (алгоритмы статистического моделирования) решения краевых задач для эллиптических и параболических уравнений в частных производных второго порядка, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Задачи рассматриваютсяв классической постановке. В отличие от разностных методов, алгоритмы статистического моделирования решений краевых задач удобны, когда требуетсяопределить решение в отдельно взятых точках его области определения илилинейный функционал от него.Обычно, методом Монте-Карло (в широком смысле) называется любаяпроцедура статистического моделирования, то есть процедура, реализация которой требует применения псевдослучайных чисел [9–11].

Первые практическиважные применения статистического моделирования связаны с Манхеттенскимпроектом [75]. Само название, по-видимому, дано Н.Митрополисом [71].Методом Монте-Карло (в узком смысле) называется хорошо известнаяпроцедура статистического оценивания некоторого вещественного параметра aвыборочным средним ξ = (ξ1 +ξ2 +. . .+ξn )/n по выборке объема n, состоящей изнезависимых реализаций ξ1 , ξ2 , . . .

, ξn некоторой случайной величины ξ, имеющей конечное математическое ожидание Eξ. Случайную величину ξ называютстатистической оценкой параметра или просто оценкой. Оценка ξ называетсянесмещеной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.В силу закона больших чисел выборочное среднее ξ стремится с вероятностью6единица к математическому ожиданию Eξ при стремлении объема выборки кбесконечности, что позволяет использовать ξ в качестве приближенного значения Eξ.Если случайная величина ξ имеет второй момент, то величина ξ являетсяасимптотически нормальной и можно построить доверительный интервал дляEξ.

При уровне доверия равном 0,997 асимптотический доверительный интер√√вал имеет вид (ξ − 3S/ n ; ξ + 3S/ n), а величина S 2 является выборочнойдисперсией. Таким образом, величина абсолютной погрешности ξ как приближенного значения параметра определяется суммой модуля смещения |ξ − Eξ|√и статистической погрешности 3S/ n. Величину смещения редко удается оценить сверху, поэтому желательно конструировать несмещенные оценки.Методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частныхпроизводных основаны на представлении этих решений в виде интегралов повероятностным мерам в функциональных пространствах. Одно из самых известных представлений связано с континуальными интегралами. Решение задачи представляется в виде математического ожидания функционала от траектории марковского случайного процесса [7]. Для получения статистическихоценок используются приближения случайного процесса, найденные путем решения стохастического дифференциального уравнения разностными методами.Наиболее развитый метод такого типа носит название многосеточный методМонте-Карло (Multilevel Monte Carlo Method, [67, 69]).

Получаемые при этомоценки являются смещенными. В настоящее время такие методы интенсивноразвиваются, так как позволяют решать краевые задачи для уравнений с переменными коэффициентами, встречающиеся в финансовой математике.Хорошо разработаны статистические методы, связанные с решением систем линейных уравнений, полученных в результате дискретизации дифференциального уравнения [68, 70]. Методом Монте-Карло в этом случае решаетсясистема линейных уравнений для сеточной функции, приближающей точное7решение в узлах сетки.

В случае параболического уравнения обычно используется неявная разностная схема, либо устойчивая явная схема. Статистическиеоценки строятся на траекториях блуждания по сетке. Они являются несмещенными для сеточной функции.Бессеточные методы связаны с построением статистических оценок натраекториях цепей Маркова с дискретным временем и непрерывным фазовымпространством, поэтому такие методы естественно также называть методамислучайных блужданий.