Диссертация (1145371)
Текст из файла
Вологодский государственный университетНа правах рукописиСИПИН Александр СтепановичБЕССЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛОРЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ01.01.07 — Вычислительная математикаДИССЕРТАЦИЯна соискание учёной степени докторафизико-математических наукНаучный консультант: докторфизико-математических наукпрофессор Ермаков С. М.Вологда — 20152ОглавлениеВведение51 Применение схемы Неймана-Улама к решению краевых задач 131.1 Справочные сведения из теории мартингалов.
. . . . . . . . . .131.2 Элементы теории потенциала и ряд Неймана. . . . . . . . . . .161.3 Субстохастические ядра. Свойства траекторий цепи Маркова. .201.4 Схема Неймана-Улама для субстохастического ядра. . . . . . . . .281.5 Схема Неймана-Улама. Общий случай. . . . . . . . . . . . . . . .332 Статистическиеалгоритмырешениякраевыхзадачдляпараболических уравнений второго порядка402.1 Необходимые сведения о параболических уравнениях . . . . . . .402.1.1Фундаментальное решение параболического уравнения . .412.1.2Формально-сопряженный оператор и формулы Грина .
. .432.1.3Представление решения параболического уравнения вцилиндре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .482.1.4Интегральное представление решения задачи Коши . . . .522.1.5Представление решения параболического уравнения вшароиде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .542.2 Задача Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592.2.1Несмещенные оценки решения задачи Коши . . . . . . . .622.2.2Определение постоянных c и C . . . . . . . . . . . . . . . .6832.2.3Оценка функционалов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .2.2.4Задача Коши для уравнений с дифференцируемыми71коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .832.3 Первая краевая задача в ограниченной области . . . . . . . . . .902.3.1Блуждание по цилиндрам для уравнения c постояннымикоэффициентами . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.291Блуждание по сфероидам для уравнения с постояннымикоэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.398Блуждание по цилиндрам для уравнения с переменнымикоэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1042.3.4Блуждание по шароидам для уравнения с переменнымкоэффициентом при неизвестной функции . . . . . . . . . 1192.3.5Алгоритмы, связанные с дискретизацией времени . . . . . 1232.4 Одна нелинейная краевая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283 Статистическиеалгоритмырешениякраевыхзадачдляэллиптических уравнений второго порядка1363.1 Необходимые сведения об эллиптических уравнениях . . .
. . . . 1373.1.1ФундаментальноерешениеифункцииЛевидляэллиптического оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.2 Первая краевая задача для эллиптического оператора . . . . . . . 1423.2.1Блуждание по эллипсоидам . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.3 Краевые задачи для оператора Лапласа . . . . . . . . . .
. . . . . 1553.3.1Блуждания по полусферам . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.3.2Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа . . . . . 1703.3.3Вычисление электростатических емкостей . . . . . . . . . . 1753.3.4Задача Неймана для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . 18643.4 О сочетание схемы Неймана-Улама и метода стохастическойаппроксимации . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.4.1Выделение главной части оператора для уравнений теориипотенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200A Алгоритмы моделирования некоторых распределений203A.1 Моделирование изотропного вектора в Rn . . . . . . . . . . . . . . 203A.1.1 Изотропный вектор в пространстве . . . . . . . .
. . . . . . 203A.1.2 Изотропный вектор в полупространстве . . . . . . . . . . . 205A.1.3 Неравномерное распределение на эллипсоиде . . . . . . . . 205A.2 Гамма и бета распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205A.3 Краевые задачи для параболического уравнения . . . . . . . . . .
208A.3.1 Моделирование геометрического распределения . . . . . . 208A.4 Первая краевая задача для эллиптического уравнения . . . . . . 209A.4.1 Моделирование величины ρ в блуждании по сферам . . . . 209A.4.2 Моделирование блуждания по эллипсоидам . . . . . . . . . 210A.4.3 Моделирование величины Z1 для внешней задачи Дирихле 216Заключение218Литература2215ВведениеВ данной работе рассматриваются методы Монте-Карло (алгоритмы статистического моделирования) решения краевых задач для эллиптических и параболических уравнений в частных производных второго порядка, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Задачи рассматриваютсяв классической постановке. В отличие от разностных методов, алгоритмы статистического моделирования решений краевых задач удобны, когда требуетсяопределить решение в отдельно взятых точках его области определения илилинейный функционал от него.Обычно, методом Монте-Карло (в широком смысле) называется любаяпроцедура статистического моделирования, то есть процедура, реализация которой требует применения псевдослучайных чисел [9–11].
Первые практическиважные применения статистического моделирования связаны с Манхеттенскимпроектом [75]. Само название, по-видимому, дано Н.Митрополисом [71].Методом Монте-Карло (в узком смысле) называется хорошо известнаяпроцедура статистического оценивания некоторого вещественного параметра aвыборочным средним ξ = (ξ1 +ξ2 +. . .+ξn )/n по выборке объема n, состоящей изнезависимых реализаций ξ1 , ξ2 , . . .
, ξn некоторой случайной величины ξ, имеющей конечное математическое ожидание Eξ. Случайную величину ξ называютстатистической оценкой параметра или просто оценкой. Оценка ξ называетсянесмещеной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.В силу закона больших чисел выборочное среднее ξ стремится с вероятностью6единица к математическому ожиданию Eξ при стремлении объема выборки кбесконечности, что позволяет использовать ξ в качестве приближенного значения Eξ.Если случайная величина ξ имеет второй момент, то величина ξ являетсяасимптотически нормальной и можно построить доверительный интервал дляEξ.
При уровне доверия равном 0,997 асимптотический доверительный интер√√вал имеет вид (ξ − 3S/ n ; ξ + 3S/ n), а величина S 2 является выборочнойдисперсией. Таким образом, величина абсолютной погрешности ξ как приближенного значения параметра определяется суммой модуля смещения |ξ − Eξ|√и статистической погрешности 3S/ n. Величину смещения редко удается оценить сверху, поэтому желательно конструировать несмещенные оценки.Методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частныхпроизводных основаны на представлении этих решений в виде интегралов повероятностным мерам в функциональных пространствах. Одно из самых известных представлений связано с континуальными интегралами. Решение задачи представляется в виде математического ожидания функционала от траектории марковского случайного процесса [7]. Для получения статистическихоценок используются приближения случайного процесса, найденные путем решения стохастического дифференциального уравнения разностными методами.Наиболее развитый метод такого типа носит название многосеточный методМонте-Карло (Multilevel Monte Carlo Method, [67, 69]).
Получаемые при этомоценки являются смещенными. В настоящее время такие методы интенсивноразвиваются, так как позволяют решать краевые задачи для уравнений с переменными коэффициентами, встречающиеся в финансовой математике.Хорошо разработаны статистические методы, связанные с решением систем линейных уравнений, полученных в результате дискретизации дифференциального уравнения [68, 70]. Методом Монте-Карло в этом случае решаетсясистема линейных уравнений для сеточной функции, приближающей точное7решение в узлах сетки.
В случае параболического уравнения обычно используется неявная разностная схема, либо устойчивая явная схема. Статистическиеоценки строятся на траекториях блуждания по сетке. Они являются несмещенными для сеточной функции.Бессеточные методы связаны с построением статистических оценок натраекториях цепей Маркова с дискретным временем и непрерывным фазовымпространством, поэтому такие методы естественно также называть методамислучайных блужданий.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
