Диссертация (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 4

Свойства траекторий цепиМарковаВ данном параграфе, следуя работе [74], изучаются алгоритмы ме-тода Монте-Карло для интегральных уравнений с субстохастическим ядромP (x, dy). Уравнение (1.2.2)рассматривается в пространстве M (Q) ограниченных борелевских функций на некотором компакте Q в евклидовом пространствеRn и имеет видZu(y)P (x, dy) + F (x), x ∈ Q.u(x) =(1.3.1)QНесмещенные оценки решения уравнения (1.3.1) обычно строят на траекториях цепи Маркова {xi }∞i=0 , определяемой переходной вероятностью P (x, dy).Процесс обрывается в некоторый случайный марковский момент τ1 при переходе в поглощающее состояние ∆, лежащее вне Q (при этом u(∆) = 0).Изучим некоторые свойства последовательности {xi }∞i=0 , стартующей източки x0 = x. Определим момент обрыва цепи τ1 как момент первого попадания цепи в состояние ∆, то есть τ1 = inf{n|xn = ∆}.

Пусть {A}∞i=0 — последовательность σ-алгебр, порожденная цепью до момента времени i, χi — индикаторсобытия {τ1 > i}. Пусть u(x) — ограниченная эксцессивная функция, удовлетворяющая уравнению (1.3.1). Определим стандартную последовательностьнесмещенных оценокηi =i−1Xj=0F (xj )χj + χi u(xi ),(1.3.2)21которая, очевидно, является мартингалом относительно потока {Ai }∞i=0 .

Справедливы следующие утверждения.Теорема 1.3.1 (О свойствах стандартной последовательности оценок)1. Стандартная последовательность несмещенных оценок, построенная поограниченному эксцессивному решению уравнения (1.3.1) с субстохастическим ядром является равномерно интегрируемым мартингалом.2.

Для любого момента остановки τ случайная величина ητ – несмещеннаяоценка для u(x).Доказательство. Заметим, что kK i uk 6 kuk, поэтому последовательность K i u(x) ограничена снизу . По лемме 1.2.2 ряд Неймана для F (x) схоPдится и kGF k 6 2kuk. По теореме Б.Леви ряд ∞j=0 F (xj )χj сходится почтиPнаверное и E( ∞j=0 F (xj )χj ) = GF (x). Из очевидного неравенства E|ηi | 6kGF k + kuk,i = 0, 1, . . . и теоремы 1.1.2 следует, что существует η∞ = lim ηiPx почти наверное.

Неравенство|ηi | 6∞XF (xj )χj + kuk(1.3.3)j=0позволяет выполнить предельный переход в условном математическом ожидании E(ηi |An ) = ηn , поэтому E(η∞ |An ) = ηn почти наверное. Ссылка на теорему 1.1.3 завершает доказательство первого пункта.Второе утверждение теоремы является очевидным следствием теоремы 1.1.4.Свойства траекторий цепи Маркова, определяемой переходной вероятностью P (x, dy) тесно связаны со свойствами решений интегрального уравнения (1.3.1).

Примером такой взаимосвязи является следующая теорема.Теорема 1.3.2 Пусть субстохастическое ядро интегрального уравнения (1.3.1)является переходной вероятностью цепи Маркова и τ1 – момент её обрыва,тогда справедливы следующие утверждения.221. Если для всех x ∈ Q вероятность Px (τ1 < ∞) = 1, то всякая ограниченнаяэксцессивная функция является потенциалом.2. Если функция u(x) ≡ 1 является потенциалом, то для всех x ∈ Q вероятность Px (τ1 < ∞) = 1.3. Если существует строго положительная инвариантная функция, то привсех x справедливо неравенство Px (τ1 = ∞) > 0.4. Пусть Γ — множество нулей неотрицательной непрерывной на Q функции F (x), потенциал которой всюду конечен.

Пусть Px (τ1 = ∞) > 0 иρ(x, Γ) — расстояние от x до Γ, тогдаPx (lim ρ(xi , Γ) = 0|τ1 = ∞) = 1.5. Пусть Γ1 и Γ2 — множества нулей неотрицательных непрерывных наQ функций F1 (x) и F2 (x), потенциалы которых всюду конечны. ПустьPx (τ1 = ∞) > 0, тогдаPx lim ρ(xi , Γ1 ∩ Γ2 ) = 0 | τ1 = ∞ = 1.6. Пусть v(x) — непрерывная инвариантная функция, для которой Kv 2 (x)является непрерывной функцией. Пусть Px (τ1 = ∞) > 0 иΓ = {x ∈ Q|v 2 (x) = Kv 2 (x)} , тогдаPx (lim ρ(xi , Γ) = 0|τ = ∞) = 1.7. Пусть v(x) > 0 и −v(x) — непрерывная эксцессивная функция (v(x) 6 0и v(x) — непрерывная эксцессивная функция), и Kv 2 (x) является непрерывной функцией.

Пусть Px (τ1 = ∞) > 0 и Γ = {x ∈ Q|v 2 (x) = Kv 2 (x)},тогдаPx (lim ρ(xi , Γ) = 0|τ = ∞) = 1.8. В случаях 6 и 7 для x ∈ Γ функция v(y) = const = v(x) Px почти наверноеи, если v(x) 6= 0, то P (x, Q) = 1.23Доказательство.1. Функция u1 (x) ≡ 1 является эксцессивной, поэтомуK ∞ u1 (x) = Ex lim χi = Px (τ1 = ∞) = 0.Далее, для ограниченной эксцессивной функции u(x)|K ∞ u(x)| 6 lim sup K i |u(x)| 6 kukK ∞ u1 (x) = 0.2.

Пусть единичная функция является потенциалом функции g(x), тогдаg(x) = P (x, ∆),иPx (τ1 < ∞) =∞XK i−1 g(x) = Px (τ1 = i)Px (τ1 = i) =i=1∞XK i g(x) = 1.i=03. Пусть χ∞ индикатор события {τ1 = ∞}, v(x) — строго положительнаяинвариантная функция, тогда0 < v(x) = K ∞ v(x) = Ex lim χi v(xi ) 6 Ex χ∞ sup v(x) = Px (τ1 = ∞) sup v(x).Значит, Px (τ1 = ∞) > 0.4. Поскольку, Px почти наверное lim F (xi )χi = 0 и χi = 1 для всех i на множестве {τ1 = ∞}, то Px почти наверное lim F (xi ) = 0 на этом множестве.Пусть {ρ(xik , Γ)}∞k=0 сходящаяся подпоследовательность.

Используя компактность множества состояний Q, из последовательности {xik }∞k=0 можновыделить сходящуюся подпоследовательность. Не умаляя общности, можносчитать, что последовательность {xik }∞k=0 сама сходится к некоторой точкеxe. Тогда из непрерывности функции F (x) следует, что 0 = lim F (xik ) =F (ex).

Значит, точка xe ∈ Γ и ρ(ex, Γ) = 0. Из непрерывности расстоянияот точки до замкнутого множества следует, что lim ρ(xik , Γ) = ρ(ex, Γ) = 0.Таким образом, последовательность расстояний имеет не более одной предельной точки. Хотя бы одна предельная точка у нее имеется, так как онаограничена. Значит, lim ρ(xi , Γ) = 0.245. Функция F (x) = F1 (x) + F2 (x) имеет конечный потенциал и Γ = Γ1 ∩ Γ2 ,поэтому утверждение 4 влечет утверждение 5.6. Для функции v(x) справедливо неравенство F (x) = Kv 2 (x) − v 2 (x) > 0.Следовательно, функция −v 2 (x) является эксцессивной и утверждение 6вытекает из утверждения 4.7.

Действительно,F (x) = Kv 2 (x) − v 2 (x) =Zv 2 (y)P (x, dy) − v 2 (x) >Q> 2v(x)Kv(x)−2v 2 (x)P (x, Q)+v 2 (x)P (x, Q)−v 2 (x) > v 2 (x)(1−P (x, Q)) > 0.Значит, функция −v 2 (x) является эксцессивной и утверждение 7 вытекаетиз утверждения 4.8. Это утверждение очевидно.Проиллюстрируем применение теорем 1.2.1 и 1.3.2 примерами. Ограничимся здесь лишь краткими комментариями.

Подробное описание уравнений вида (1.3.1) и соответствующих им процессов блуждания для примеров1.3.1,1.3.2,1.3.3 можно найти в [12] и в [55] — для примера 1.3.4.Пример 1.3.1. Блуждание по сферамФункцияZF (x) =G(x, y)f (y)dy,DR(x)если решение u(x) обращается в ноль на границе области ∂Q. Здесь R(x) == ρ(x, ∂Q) — расстояние от точки x до границы области, G(x, y) — функцияГрина для шара, f (y) — правая часть уравнения Пуассона. Полагая f (x) ≡ 1,находим F (x) = R2 (x)/2n. Ядро P (x, dy) сосредоточено на сфере. Если частьсферы является участком границы компакта Q, то значения решения в этихточках известны и переход в них означает переход в поглощающее состояние, то25есть известное граничное условие учитывается в правой части уравнения (1.3.1).Таким образом, блуждание по сферам почти наверное сходится к границе области, либо попадает на нее за конечное число шагов.Пример 1.3.2.

Блуждание по эллипсоидамФункцияZL(y, x)f (y)dy,F (x) =T (x)где T (x) — эллипсоид с центром точке x , L(y, x) — функция Леви, обращающаяся в ноль на границе эллипсоида вместе с первыми призводными, f (y) — праваячасть эллиптического уравнения. Полагая f (x) ≡ 1, находим F (x) = R12 (x)/2n,где R1 (x) > 0 для внутренних точек компакта Q. Таким образом, необрывающиеся внутри области траектории блуждания по эллипсоидам почти наверноесходится к границе области или попадают на нее за конечное число шагов.Пример 1.3.3. Блуждание по сфероидамПри решении первой краевой задачи для параболического оператораL =∂∂t− ∆, ядро интегрального уравнения (1.3.1) сосредоточено на сферо-иде — поверхности уровня фундаментального решения и является стохастическим.

Функцию F (x, t) можно взять равной2r n (x, t)F (x, t) =n ,4(1 + n2 )(1+ 2 )где функция r(x, t) = 0 только на боковой поверхности и нижнем основанииt = 0 пространственно-временного цилиндра. В силу теоремы 1.3.2 блужданиепо сфероидам почти наверное сходится либо к боковой поверхности, либо книжнему основанию пространственно-временного цилиндра.Пример 1.3.4. Блуждание по цилиндрамТеперь при решении первой краевой задачи для параболического оператора L =∂∂t− ∆, ядро интегрального уравнения (1.3.1) сосредоточенона поверхности или внутри прямого кругового цилиндра, лежащего внутри26пространственно-временного цилиндра, в котором решается краевая задача.Будем рассматривать решение краевой задачи с нулевыми граничными условиями, тогдаZtZ1F (x, t) =n[4π(t − τ )] 22DRmax(0,t− R2n )× exp −×r24(t − τ )− exp −R24(t − τ )f (y, τ )dydτ.Здесь f (x, t) — правая часть уравнения, r = kx − yk, остальные переменныетакие же, как в примере 1.3.1.