Диссертация (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 10

(2.2.34)νm=1−1k=1Несложные выкладки дают следующие оценки сверху для квадратичнойформы в равенстве (2.2.33):70(x − y)0 A−1 (y, τ )[A(y, τ ) − A(x, t)]A−1 (y, τ )(x − y) 6nn XXαα|zk | eak,m |x − y| + ebk,m |t − τ | 2 |zk | 66k=1 m=1 α e eα26 A |x − y| + B |t − τ | |z|2 62 1 α e eα6 A |x − y| + B |t − τ | 2|x − y| =να= (ec3 |x − y|α + ec4 |t − τ | 2 )|x − y|2 , (2.2.35)где zk — компоненты вектора z = A−1 (y, τ )(x − y).Оценка билинейной формы в равенстве (2.2.33) имеет вид: 0a|a (x, t)A−1 (y, τ )(x − y) 6 1 |a(x, t)||x − y| 6 |e|x − y| = ec5 |x − y|,νν(2.2.36)где ea- вектор, компонеты которого оценивают компоненты вектора a(x, t), тоесть |ai (x, t)| 6 eai при i = 1, 2, . . . , n.

Из неравенств (2.2.34–2.2.36) получаемоценку сверху для |K|α1ec1 |x − y|α + ec2 |t − τ | 2 Z0 +2(t − τ )α1α2 )|x − y|2 Z +(ec|x−y|+ec|t−τ|+34024(t − τ )1+ec5 |x − y|Z0 + ea0 Z0 , (2.2.37)2(t − τ )|K(x, y, t, τ )| 6где ea0 — верхняя граница для |a0 (x, t)|. Запишем это неравенство в видеα|K(x, y, t, τ )| 6 c(x, t, y, τ )(t − τ ) 2 −1 Z0 ,где|x − y|21|x − y|α|x − y|αc(x, t, y, τ ) =ec1c2 +ec3c4 +α + eα + e24(t − τ )|t − τ | 2|t − τ | 21−αα|x − y|2+ec5+ea0 (t − τ )1− 2 .1 (t − τ )2|t − τ | 271Применяя к Z0 неравенство (2.1.5), получимZ0 (x − y, y, t, τ ) 614πν n22n|x − y|2|x−y|exp −C1(t − τ )− 2 exp −C,(t − τ )(t − τ )гдеC1 =1− C.4µПусть β > 0.

Функция sβ exp (−Cs) ограничена на интервале [0, +∞)постоянной ββM (β, C) =exp(−β),Cпоэтомуα1|x − y|2c2 +6ec1 M, C1 + ec(x, t, y, τ ) exp −C1(t − τ )221−αα11α1+c4 M (1, C1 ) + ec5 Mec3 M 1 + , C1 + e, C1 T 2 + ea0 T 1− 2 = ec.4222Отсюда получаем окончательное неравенство n2|x − y|21− n+2−αec(t − τ ) 2 exp −C|K(x, y, t, τ )| 6.4πν(t − τ )2.2.3Оценка функционалов(T )Пусть h(x, t) — интегрируемая на Dn+1 по мере Лебега функция. Дляоценки функционалаZTΦ(h) =Zdt0h(x, t)u(x, t)dx(2.2.38)Rnобычно выбирают плотность распределения начальной точки π(x, t) и какуюлибо несмещенную оценку ξ(x, t) решения. Тогда величинаh(x0 , t0 )ξ(x0 , t0 )π(x0 , t0 )72будет несмещенной оценкой Φ(h), если (x0 , t0 ) имеет плотность распределенияπ, согласованную с функцией h.

Дисперсия оценки функционала заведомо будетконечной, если функцияh2 (x, t)π(x, t)(T )интегрируема на Dn+1 по мере Лебега, а в качестве ξ(x0 , t0 ) выбрана одна изранее построенных несмещенных оценок для u(x, t).Для вычисления функционала Φ(h) можно использовать также “сопряженную” схему, предложенную в [52] для решения начально-краевой задачи.Для такой схемы, ядро Z0 можно включить в плотность вероятности перехода, что может привести к уменьшению дисперсии. По-существу, речь идет опостроении несмещенных оценок функционалов от решения Q интегральногоуравнения (2.1.7). Отметим, что реализация “сопряженной” схемы не требуетвычисления констант c и C. Дополнительных условий гладкости от коэффициентов уравнения также не требуется.

В отличие от “прямой” схемы, в “сопряженной” схеме не используются в явном виде границы спектра ν, µ матрицыкоэффициентов при старших производных. Платой за такие преимущества является более сложная процедура построения несмещенных оценок.Используя (2.2.2) и (2.1.6), запишем функционал Φ(h) (2.2.38) в видеΦ(h) = Φ1 (h) + Φ2 (h) + Φ3 (h) + Φ4 (h).Входящие в сумму функционалы определяются равенствами.ZTΦ1 (h) =ZtZdtdxh(x, t)Rn0ZTZZdt0RnZ0 (x − y, y, t, τ )f (y, τ )dy,dτ0Φ2 (h) =Zdxh(x, t)RnRnZ0 (x − y, y, t, 0)ϕ(y),73ZTΦ3 (h) =dt0ZtZdxh(x, t)RnZdτ0ZtZdλRnτZtZZ0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )dz  ×Rn× f (y, τ )dy,ZTΦ4 (h) =dt0ZZdxh(x, t)RnRndλ0Z0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, 0)dz  ϕ(y)dy.Rn(2.2.39)Заметим, что функция Z0 (x − y, y, t, τ ) по переменной x является плотностью распределения нормального случайного вектора X, у которого матрицаковариаций 2(t − τ )A(y, τ ), а среднее равно y. Такой вектор моделируется поформулеX =y+где√pp2(t − τ ) A(y, τ )Ξ,A — треугольная матрица квадратного корня из матрицы A, Ξ — нормаль-ный случайный вектор с единичной матрицей ковариаций и нулевым средним.Предполагая ϕ(y) интегрируемой в Rn по мере Лебега, а h(x, t) ограниченной, получаем несмещенную оценку для Φ2 (h):p√ϕ(Y ) φ2 = Th Y + 2T θ A(Y, T θ)Ξ, T θ ,π2 (Y )(2.2.40)где случайная величина θ распределена равномерно на отрезке [0, 1], а случайный вектор Y имеет плотность распределения π2 (y), согласованную с функциейϕ(y).

Случайные элементы Ξ, θ, Y должны быть независимы в совокупности.(T )Предполагая f (y, τ ) интегрируемой на Dn+1 по мере Лебега, меняя порядок интегрирования по переменным t и τ , аналогично получаем несмещеннуюоценку для Φ1 (h):f (Y, Θ)h×π1 (Y, Θ)pp× Y + 2(T − Θ)θ A(Y, (T − Θ)θ)Ξ, Θ + (T − Θ)θ , (2.2.41)φ1 = (T − Θ)74где случайный вектор (Y, Θ) имеет плотность распределения π1 (y, τ ), согласованную с функцией f (y, τ ). Случайные элементы Ξ, θ и (Y, Θ) должны бытьнезависимы в совокупности.Для оценивания Φ3 (h) сделаем замену переменной и представим его ввидеZTΦ3 (h) =ZTZdτdyf (y, τ )Rn0ZTZdλτdt ×dzZR×nλZ0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )h(x, t)dx.

(2.2.42)RnИспользуя (2.1.12), получим следующие несмещенные оценки для Q(z, y, λ, τ ):m−1N X1Km (z, y, λ, τ ),ψ=−−1−qm=1(2.2.43)N −11KN (z, y, λ, τ )ψ0 = − −.1−qq(2.2.44)Здесь 0 < q < 1, а N имеет геометрическое распределение, то естьP (N = m) = q(1−q)m−1 , при m = 1, 2, . . .. Подставляя оценки (2.2.43) и (2.2.44)в (2.2.42), получим несмещенные оценки для Φ3 (h), которые подлежат дальнейшей рандомизации. Для этого нужно выполнить несмещенное оцениваниефункционаловZTΨm (h) =dτ0ZTZdyf (y, τ )RnZTZdλRnτdt ×dzλZ×Z0 (x − z, z, t, λ)Km (z, y, λ, τ )h(x, t)dx.

(2.2.45)RnВоспользуемся процедурой оценивания, предложенной в [52] для решения(T )начально-краевой задачи. Пусть v(z, λ) -ограниченная функция в Dn+1 .75Рассмотрим интегралZTV (y, τ ) =Zdλv(z, λ)K(z, y, λ, τ )dz.(2.2.46)RnτДля его оценивания применим лемму 2.1.2. ПустьS10 (y, τ ) = ω ∈ Rn |ω T A−1 (y, τ )ω = 1— эллипсоид с центром в нуле, а случайный вектор Ω распределен на S10 (y, τ ) сплотностьюp(y, τ, ω) =1p.σn det(A(y, τ ))|A−1 (y, τ )ω|(2.2.47)ТогдаZ∞ZTV (y, τ ) = −dr ×dλτ0!2n − T r A(y + rΩ, λ)A (y, τ )rexp −rn−1 v(y + rΩ, λ) −nn24(λ − τ )(λ − τ )Γ( 2 )(4(λ − τ ))ZTZ∞2r2 ΩT A−1 (y, τ )A(y + rΩ, λ)A−1 (y, τ )Ω − 1− dλ drE×n4(λ − τ )2 Γ( n2 )(4(λ − τ )) 2−1×Eτ0ZTZ∞r2× exp −rn−1 v(y + rΩ, λ) − dλ dr ×4(λ − τ )0 0τ−12ra (y + rΩ, λ)A (y, τ )Ωrn−1×E−r v(y + rΩ, λ) +n exp4(λ − τ )(λ − τ )Γ( n2 )(4(λ − τ )) 2ZTZ∞2rn−1+ dλ drEa0 (y + rΩ, λ)v(y + rΩ, λ) nn ×Γ( 2 )(4(λ − τ )) 2τ0r2× exp −, (2.2.48)4(λ − τ )где знак E означает математическое ожидание (по Ω).76Из условия принадлежности коэффициентов уравнения классам Гёльдера, вытекает следующее представление для выражений в первых двух интегралах:n − T r A(y + rΩ, λ)A−1 (y, τ ) = T r [A(y, τ ) − A(y + rΩ, τ )] A−1 (y, τ ) ++ T r [A(y + rΩ, τ ) − A(y + rΩ, λ)] A−1 (y, τ ) =α= g1 (y + rΩ, y, τ )rα + g2 (y + rΩ, y, λ, τ )(λ − τ ) 2 , (2.2.49) T −1Ω A (y, τ )A(y + rΩ, λ)A−1 (y, τ )Ω − 1 == ΩT A−1 (y, τ ) [A(y + rΩ, τ ) − A(y, τ )] A−1 (y, τ )Ω ++ ΩT A−1 (y, τ ) [A(y + rΩ, λ) − A(y + rΩ, τ )] A−1 (y, τ )Ω =α= h1 (y + rΩ, y, τ )rα + h2 (y + rΩ, y, λ, τ )(λ − τ ) 2 , (2.2.50)где g1 , g2 , h1 , h2 являются ограниченными функциями.

Подставляя эти выражения в (2.2.48) и выполняя замену переменнойr2s=,4(λ − τ )получаем для V (y, τ ) представление в видеV (y, τ ) = V1 (y, τ ) + V2 (y, τ ) + V3 (y, τ ) + V4 (y, τ ) + V5 (y, τ ) + V6 (y, τ ),гдеZTV1 (y, τ ) = −dλ(λ − τ )α2 −1τZ∞ds02α n+α −1s 2exp(−s) ×2Γ( n2 )pp× E g1 (y + 2 s(λ − τ )Ω, y, τ )v(y + 2 s(λ − τ )Ω, λ) ,ZTV2 (y, τ ) = −dλ(λ − τ )τα2 −1Z∞ds0n12 −1 exp(−s) ×sn2Γ( 2 )pp× E g2 (y + 2 s(λ − τ )Ω, y, λ, τ )v(y + 2 s(λ − τ )Ω, λ) ,77ZTV3 (y, τ ) = −dλ(λ − τ )α2 −1Z∞τ02α n+2+α −1exp(−s) ×ds n s 2Γ( 2 )pp× E h1 (y + 2 s(λ − τ )Ω, y, τ )v(y + 2 s(λ − τ )Ω, λ) ,ZTdλ(λ − τ )V4 (y, τ ) = −α2 −1Z∞τds01 n+2 −1s 2exp(−s) ×Γ( n2 )pp× E h2 (y + 2 s(λ − τ )Ω, y, λ, τ )v(y + 2 s(λ − τ )Ω, λ) ,ZTV5 (y, τ ) = −− 12Z∞dλ(λ − τ )τds01 n+1 −1s 2exp(−s) ×Γ( n2 )pp−10× E a (y + 2 s(λ − τ )Ω, λ)A (y, τ )Ωv(y + 2 s(λ − τ )Ω, λ) ,Z∞ZTV6 (y, τ ) =dλτds01 n −1s 2 exp(−s) ×Γ( n2 )pp× E a0 (y + 2 s(λ − τ )Ω, λ)v(y + 2 s(λ − τ )Ω, λ) .(2.2.51)Пусть γ(m) случайная величина, имеющая гамма распределение с параметром m.

Тогда представления (2.2.51) можно записать в виде :ZTdλ(λ − τ )V1 (y, τ ) = −α2 −1τ× Eg12α Γ( n+α2 )×n2Γ( 2 )s s !!n+αn+αy+2 γ(λ − τ )Ω, y, τ v y + 2 γ(λ − τ )Ω, λ) ,22ZTV2 (y, τ ) = −αdλ(λ − τ ) 2 −1 ×τr r 1nn× Eg2 y + 2 γ(λ − τ )Ω, y, λ, τ v y + 2 γ(λ − τ )Ω, λ) ,22278ZTV3 (y, τ ) = −dλ(λ − τ )α2 −1τ2α Γ( n+2+α)2×Γ( n2 )s !n+2+α× Eh1 y + 2 γ(λ − τ )Ω, y, τ ×2s !n+2+α×v y+2 γ(λ − τ )Ω, λ) ,2s !ZTαnn+2(λ − τ )Ω, y, λ, τ ×V4 (y, τ ) = − dλ(λ − τ ) 2 −1 Eh2 y + 2 γ22τs !n+2×v y+2 γ(λ − τ )Ω, λ ,2ZTV5 (y, τ ) = −dλ(λ −τn+1− 12 Γ( 2 )τ)Γ( n2 )×s !n+1(λ − τ )Ω, λ A−1 (y, τ )Ω ×× Ea0 y + 2 γ2s !n+1×v y+2 γ(λ − τ )Ω, λ ,2r r ZTnn(λ − τ )Ω, λ v y + 2 γ(λ − τ )Ω, λ .V6 (y, τ ) = dλEa0 y + 2 γ22τ(2.2.52)Оценивая интегралы по переменной λ, получаем несмещенную оценку η(y, τ )для V (y, τ ) в виде суммыη(y, τ ) = η1 (y, τ ) + η2 (y, τ ) + η3 (y, τ ) + η4 (y, τ ) + η5 (y, τ ) + η6 (y, τ ),слагаемые которой определяются равенствами, написанными ниже.79Используемые в этих равенствах случайные величины ϑ, δ, θ распредеαлены на отрезке [0, 1].