Диссертация (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 14

Покажем, что ряд Неймана для него сходится. Для этоговоспользуемся методом, предложенным в работе [44] (Теорема 5.1 и Теорема5.2). Переформулируем их в удобной для нас форме.106Лемма 2.3.5 Пусть D1 — некоторая область в Rn , K — интегральный оператор в C(D1 × [0, T ]), B(·, ·) — бета-функция Эйлера. Если при некоторыхпостоянных δ > 0 и C > 0 для всякой функции ψ ∈ C(D1 × [0, T ]), удовлетворяющей при некоторых постоянных a > −1 и Cψ > 0 для всех(x, t) ∈ D1 × [0, T ] неравенству |ψ(x, t)| 6 Cψ ta , выполнено неравенствоPi|Kψ(x, t)| 6 Cψ Cta+δ B(1 + a, δ), то ряд Неймана ∞i=0 K ψ сходится.Лемма 2.3.6 Пусть Ki , i = 1, 2, . .

. , m — операторы, удовлетворяющие услоPвиям леммы 2.3.5 , K = mj=1 Kj . Тогда для всякой ограниченной функции ψP∞ряд Неймана i=0 K i ψ сходится.Заметим,что интегральный операторZt Z|M0 v(y, τ ) − M v(y, τ )|u(y, τ )dydτK 1 u(x, t) =(2.3.24)0 DR \Dεс ядром k 1 (x, t, y, τ ) = |M0 v(y, τ ) − M v(y, τ )| = |M0 v0 (y, τ ) − M v0 (y, τ )| имеетслабую особенность, в силу неравенства (2.1.26). Поэтому, для всякой функцииψ ∈ C (D \ Dε ) × [0, T ] , удовлетворяющей при некоторых постоянных a > −1и Cψ > 0 для всех (x, t) ∈ D\Dε )×[0, T ] неравенству |ψ(x, t)| 6 Cψ ta , выполненонеравенство |K 1 ψ(x, t)| 6 Cψ Cta+δ B(1+a, δ), в котором константа C не зависитот ε, а δ = α2 .Рассмотрим операторZt ZK 2 u(x, t) =0 DR \Dε R2n1−n1 × 4(t − τ )2 2(t − τ ) [4π(t − τ )] 2 (det A(x, t)) 2R2u(y, τ )dydτ.

(2.3.25)× exp −4(t − τ )Для функции ψ, удовлетворяющей неравенству |ψ(x, t)| 6 Cψ ta , получаем оценку107Zt R2Rnn−|K 2 ψ(x, t)| 6 Cψ C0 n ×4(t − τ )2 2(t − τ ) [4(t − τ )] 20R2× exp −τ a dτ. (2.3.26)4(t − τ )Поскольку R(x) > c1 ε, то для любого δ > 0 из (2.3.26) получаем оценку|K 2 ψ(x, t)| 6 CψC1ε2δZt1C1τ a dτ = Cψ 2δ ta+δ B(1 + a, δ),1−δ(t − τ )ε(2.3.27)0в которой C1 не зависит от ε и δ.Для оператора K3 u(x, t), определенного формулой (2.3.22), используя очевидные неравенства[(y − x)T A−1 (x, t)A(y, τ )A−1 (x, t)(y − x)] 6 kA(y, τ )k · kA−1 (x, t)(y − x)k2 ,kA−1 (x, t)(y − x)k2 6 kA−1 (x, t)k · σ 2 (x, y, t),получаем аналог неравенства (2.3.26)Zt|K3 ψ(x, t)| 6 Cψ C201R2Rn−τ a dτ.n exp2(t − τ ) [4(t − τ )]4(t − τ )(2.3.28)При R(x) > c1 ε, для любого δ > 0 из (2.3.28) получаем аналог оценки (2.3.27)C3|K3 ψ(x, t)| 6 Cψ 2δεZtC3 a+δ1aτdτ=Ct B(1 + a, δ),ψ(t − τ )1−δε2δ(2.3.29)0где C3 не зависит от ε и δ.Теперь, из леммы 2.3.6 следует теорема.Теорема 2.3.3 Пусть K = K 1 + K 2 + K3 , ψ — произвольная ограниченнаяPiфункция.

Тогда ряд Неймана ∞i=0 K ψ сходится.Из теоремы 2.3.3 следует, что к уравнению (2.3.19) применима схема НейманаУлама [11], то есть на траекториях любой однородной цепи Маркова, плотность108вероятностей перехода которой согласована с ядром интегрального уравнения(2.3.19), можно построить несмещенные оценки для его решения.Определим цепь Маркова, на траекториях которой построим несмещенную оценку решения u(x, t) уравнения (2.3.19).

Для этого выпишем в явномвиде ядро M0 v(y, τ ) − M v(y, τ ) первого оператораn − sp A(y, τ )A−1 (x, t) 0Z (y − x, t, τ ) +M0 v(y, τ ) − M v(y, τ ) =2(t − τ )(y − x)T A−1 (x, t)A(y, τ )A−1 (x, t)(y − x) − σ 2 (y, x, t) 0+Z (y − x, t, τ ) −4(t − τ )2dT (y, τ )A−1 (x, t)(y − x) 0−Z (y − x, t, τ ) + d0 (y, τ )v(y, τ ). (2.3.30)2(t − τ )Здесь sp(·) — функция, определяющая след матрицы. Вектор d, с компонентамиdi (y, τ ) и d0 (y, τ ) определены в (2.1.17).Заметим, что область DR является объединением эллипсоидовSr (x, t) = {y|σ(y, x, t) = r}, 0 6 r 6 R.ПустьS10 (x, t) = ω ∈ Rn |ω T A−1 (x, t)ω = 1— эллипсоид с центром в нуле, а случайный вектор Ω распределен на S10 (x, t) сплотностьюp(x, t, ω) =1σn (det A(x, t))12kA−1 (x, t)ωk.(2.3.31)Воспользовавшись леммой 2.1.2, представление решения (2.3.19) можно записать в видеu(x, t) = I1 + I2 + I3 + I4 + I5 ,в котором слагаемые определяются формулами.(2.3.32)109Z t ZRI1 =002nΓ( n2 )(4(t − τ )) 2exp −r24(t − τ )− exp −R24(t − τ )×× rn−1 Ef (x + rΩ, τ )drdτ, (2.3.33)Zt Z[M0 v(y, τ ) − M v(y, τ )]u(y, τ )dydτ,I2 =(2.3.34)0 DRZ t ZR I3 =0nR2−4(t − τ )2 2(t − τ )0R2−rn−1 ×n · exp4(t − τ )Γ( n2 ) 4(t − τ ) 22× Eu(x + rΩ, τ )drdτ, (2.3.35)ZRI4 =0ZtI5 =E02nnΓ( 2 )(4t) 2 2rR2exp −− exp −rn−1 Eϕ(x + rΩ)dr, (2.3.36)4t4tRnΩT A−1 (x, t)A(x + RΩ, τ )A−1 (x, t)Ω n2 ×Γ( n2 )(t − τ )4(t − τ )R2× exp −u(x + RΩ, τ )dτ.

(2.3.37)4(t − τ )Для второго слагаемого в формуле (2.3.32) получаем аналогичное представлениеZt Z[M0 v(y, τ ) − M v(y, τ )]u(y, τ )dydτ = J1 + J2 − J3 + J4 ,I2 =0 DRв котором(2.3.38)110Z t ZRJ1 =00n − sp A(x + rΩ, τ )A−1 (x, t)r2Eexp −rn−1 ×n4(t − τ )(t − τ )Γ( n2 ) 4(t − τ ) 2!× u(x + rΩ, τ ) drdτ, (2.3.39)Z t ZRJ2 =00Z t ZRJ3 =002r2 ΩT A−1 (x, t)A(x + rΩ, τ )A−1 (x, t)Ω − 1×En4(t − τ )2 Γ( n2 ) 4(t − τ ) 2r2× exp −rn−1 u(x + rΩ, τ )drdτ, (2.3.40)4(t − τ )rdT (x + rΩ, τ )A−1 (x, t)Ωr2Eexp −rn−1 ×n4(t − τ )(t − τ )Γ( n2 )(4 t − τ ) 2!× u(x + rΩ, τ ) drdτ, (2.3.41)Z t ZRJ4 =002nnΓ( 2 )(4(t − τ )) 2r2exp −4(t − τ )R2− exp −4(t − τ )rn−1 ×× E d0 (x + rΩ, τ )u(x + rΩ, τ ) drdτ.

(2.3.42)Формулы сильно упрощаются, если выполнить замену переменной, взяв в качестве новой переменной s =R24(t−τ )в интегралах по переменной τ или s =r24(t−τ )в интегралах по переменной r. После этого под интегралом появятся плотностигамма-распределения с параметром n2 , либоn2+ 1.Обозначим переменными γ0 , γ1 с различными индексами случайные величины, имеющие гамма-распределение с параметром n2 ,n2+ 1, соответственно.Пусть ρ — случайная величина, имеющая плотность распределения nrn−1 на111отрезке [0, 1] и, наконец, пусть θ равномерно распределена на [0, 1]. Пусть χAиндикатор события A, тогдаpR2+ γ0f (x + 2 tθγ0 Ω, t − tθ) (2.3.43)I1 = t · E χ{γ0 < R2 } 1 − exp −4tθ4tθR22I3 = Eχ{γ1 > R } u x + RρΩ, t −4t4γ1− Eχ{γ0 > R2 } ×4tR2× u x + RρΩ, t −(2.3.44)4γ0√R2I4 = E χ{γ0 < R2 } 1 − exp −+ γ0ϕ(x + 2 tγ0 Ω)4t4tR2I5 = Eχ{γ0 > R2 } ΩT A−1 (x, t)A x + RΩ, t −4t4γ0(2.3.45)A−1 (x, t)Ω ×R2× u x + RΩ, t −(2.3.46)4γ0Получим аналогичные формулы для интегралов из равенства (2.3.38).Для упрощения их записи будем считать, что элементы матрицы A(x, t) удовлетворяют условию Липшица|aij (x, t) − aij (y, τ )| 6 K(kx − yk + |t − τ |).Тогдаn − sp A(y, τ )A−1 (x, t)σ(y, x, t)= g1 (x, t, τ ) + g2 (x, t, y, τ ),(t − τ )t−τгдеg1 (x, t, τ ) =n − sp(A(x, τ )A−1 (x, t))t−τиsp((A(x, τ ) − A(y, τ ))A−1 (x, t))g2 (x, t, y, τ ) =σ(y, x, t)(2.3.47)112являются ограниченными функциями и, следовательно,ptJ1 = · E χ{γ0 < R2 } g1 (x, t, t − tθ)u(x + 2 tθγ0 Ω, t − tθ) +4tθ22(Rθ)+ RE χnγ > (Rθ)2 o g2 x, t, x + RθΩ, t −×04γ04t!(Rθ)2× u x + RθΩ, t −.

(2.3.48)4γ0Используя условие Липшица (2.3.47), получимΩT A−1 (x, t)A(x + rΩ, τ )A−1 (x, t)Ω − 1 = h1 (x, t, τ, Ω)(t − τ ) + h2 (x, t, τ, Ω, r)r,гдеh1 (x, t, τ, Ω) =иΩT A−1 (x, t)A(x, τ )A−1 (x, t)Ω − 1t−τΩT A−1 (x, t) A(x + rΩ, τ ) − A(x, τ ) A−1 (x, t)Ωh2 (x, t, τ, Ω, r) =rявляются ограниченными функциями. Значит,pJ2 = t · E χ{γ1 < R2 } h1 (x, t, t − tθ, Ω)u(x + 2 tθγ1 Ω, t − tθ) +4tθ 22(Rθ)(Rθ)+ RE χnγ > (Rθ)2 o h2 x, t,, Ω, Rθ u x + RθΩ, t −.

(2.3.49)14γ14γ14tАналогично,2(Rθ)J3 = RE χnγ > (Rθ)2 o dT x + RθΩ, t −A−1 (x, t)Ω ×04γ04t!2(Rθ)× u x + RθΩ, t −, (2.3.50)4γ0R2J4 = tEχ{γ0 < R2 } 1 − exp −+ γ0×4tθ4tθpp× d0 (x + 2 tθγ0 Ω, t − tθ)u(x + 2 tθγ0 Ω, t − tθ). (2.3.51)113Таким образом, определены несмещенные оценки всех интегралов, которые входят в представление (2.3.19).Определим в области Q цепь Маркова x(k), t(k) , (k = 0, 1, 2, . .

.) спомощью процедуры ее моделирования. Одновременно будем строить последовательность несмещенных оценок ξ(k), (k = 0, 1, 2, . . .), для u(x, t).Пустьγ0 (k), γ1 (k), ρ(k), θ(k)— последовательности независимых в совокупности случайных величин с распределениями, определенными ранее.Начальное состояние цепи x(0), t(0) = (x, t). Начальная оценка ξ(0) == u(x, t).Новое состояние x(k +1), t(k +1) и новая оценка ξ(k +1) получаются изтекущего состояния x(k), t(k) и текущей оценки ξ(k) в результате следующихдействий.1. Заменяем в оценке ξ(k) величину u(x(k), t(k)), используя представление(2.3.19), на оценки входящих в него интегралов по формулам (2.3.43–2.3.46)и (2.3.48–2.3.51). В оценках используем случайные величины γ0 (k + 1),γ1 (k + 1), ρ(k + 1), θ(k + 1) и случайный вектор Ω(k + 1), который имеетплотность (2.3.31).2. Исключаем из суммы те слагаемые, для которых равны нулю индикаторынеравенств или весовые множители.3.

Если слагаемые, содержащие функцию u, отсутствуют, то оценка построенаи процесс обрывается. В противном случае, переходим к пункту 4.4. Выбираем с равными вероятностями одно из слагаемых, содержащих функцию u, а остальные исключаем из суммы.5. Выбранное слагаемое умножаем на количество слагаемых, содержащихфункцию u, и оставляем в сумме. В результате получаем оценку ξ(k + 1).1146. Аргументы функции u в оставшемся слагаемом определяют новое состояниецепи.Назовем построенную марковскую цепь блужданием по цилиндрам. Отметим,что справедливы следующие утверждения.Лемма 2.3.7 Последовательность t(k) > 0, (k = 0, 1, 2, .

. .) невозрастающая и, следовательно, имеет предел t(∞). Последовательность x(k), (k == 0, 1, 2, . . .) является ограниченным мартингалом и, следовательно, сходится с вероятностью 1 к x(∞). Если d0 (x, t) 6= 0 в цилиндре Q, то траекториипроцесса не обрываются и P ({x(∞) ∈ ∂D} ∪ {t(∞) = 0}) = 1.Доказательство. Если коэффициент d0 (x, t) 6= 0, то процесс блуждания не обрывается внутри области, так как после оценки интегралов I5 и J4обязательно сохранится слагаемое, содержащее искомое решение. Пусть F(k),(k = 0, 1, 2, .