Диссертация (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 13

Аргументы функции u в полученной оценке ξk определяют новое состояниецепи.2, в момент времеПри выполнении противоположного условия 2nt(k −1) > Rk−1ни k − 1, (k = 1, 2, . . .) выполняется аналогичная последовательность действий.1. Моделируем случайные величины γk , ρk , θk , Ωk .2. В оценке ξk−1 функцию u x(k − 1), t(k − 1) заменяем суммой несмещенных оценок интегралов J1 , J2 , J3 , J4 по формулам (2.3.12–2.3.15), выбранным значениям случайных величин и R = Rk−1 .3. Аргументы функции u в полученной оценке ξk определяют новое состояниецепи.Из определения последовательности ξk , (k = 0, 1, 2, . .

.) следует, что онаявляется мартингалом относительно потока σ-алгебр Fk , (k = 0, 1, 2, . . .), порожденного блужданием. Непосредственным следствием леммы 1.4.2 являетсяважная теорема.Теорема 2.3.1 Пусть функции f (x, t), ϕ(x) и Φ(x, t) ограничены. Тогда мартингал ξk , (k = 0, 1, 2, . . .) — квадратично интегрируемый.Пусть δ > 0, N1 — момент обрыва траектории, N2 — момент первого попадания траектории в δ — окрестность границы области D, а Nδ = min(N1 , N2 ). Изтеоремы 2.3.1 и леммы 1.4.3 вытекает следующая лемма.98Лемма 2.3.2 Случайная величина Nδ имеет конечное математическое ожидание.

Случайная величина ξNδ является несмещенной оценкой u(x, t) и имеетконечную дисперсию.Доказательство. Первое утверждение доказано в качестве примераприменения леммы 1.4.3, но его легко получить и непосредственно из определения процесса. Будем следить за изменением времени t(k) до момента времениNδ . Заметим, что на шаге k происходит уменьшение времени t(k − 1) на ве22/(4γk ) при условии, что γk > n/2, и на величину Rk−1/(2n), приличину Rk−1выполнении противоположного неравенства. При этом Rk−1 > c1 δ. Рассмотримпоследовательность независимых случайных величин τ̃k = (c1 δ)2 / max(γk , n/2),(k = 1, 2, . . .).

Эти случайные величины одинаково распределены и ограничены.Очевидно, чтоNδ − 1 6 N = max{k : τ̃1 + τ̃2 + . . . + τ̃k 6 t}.По теореме восстановления EN = t/Eτ1 + o(t).Второе утверждение является очевидным следствием равномерной интегрируемости мартингала ξk , (k = 0, 1, 2, . . .).2.3.2Блуждание по сфероидам для уравнения с постояннымикоэффициентамиРешение краевой задачи (2.3.1) для уравнения с постоянными коэффици-ентами можно свести к решению задачи для уравнения теплопроводности, но внаклонном цилиндре. Действительно, преобразование ũ(x, t) = u(x, t) exp(a0 t)неизвестной функции позволяет избавиться от коэффициента a0 , преобразова√˜ t) = ũ( Ax + at, t) — от коэффициентов ai при первых производных.ние ũ(x,При этом матрица при старших производных становится единичной.

Применив к уравнению теплопроводности алгоритм блуждания по сфероидам из [12],99можно выполнить обратные преобразования и получить несмещенные оценкидля u(x, t). Этот же результат получится, если организовать блуждание по поверхностям, на которых постоянно фундаментальное решение исходного уравнения. Рассмотрим, как и в предыдущем параграфе, первую краевую задачудля оператора с постоянными коэффициентами, содержащего только старшиепроизводные.Зададимся функцией R = R(x, t), непрерывной в QT и удовлетворяющейнеравенствамc1 dist(x, Γ) 6 R(x, t) 6 c2 dist(x, Γ),при некоторых положительных постоянных c1 и c2 , и одному из условий:QR ⊂ QT ,либо QR,0 ⊂ QT .Используя формулы (2.1.43–2.1.44) и равенство M v(y, τ ) = 0, получаеминтегральное представление в шароиде (при t > R2 /(2n))Zu(x, t) = v(y, τ )f (y, τ )dydτ +QRZt+dτ E n n22ρn (τ )u(x + ρ(τ )Ω, τ ), (2.3.16)Γ(n/2)(t − τ )Rn2t− R2nили интегральное уравнение в усеченном шароиде (при t < R2 /(2n))ZZu(x, t) =v(y, τ )f (y, τ )dydτ +v(y, 0)ϕ(y)dy +QR,0D̃R,0Zt+dτ E n n22ρn (τ )u(x + ρ(τ )Ω, τ ) (2.3.17)Γ(n/2)(t − τ )Rn0Таким образом, для решения u(x, t) первой краевой задачи получено интегральное уравнение с субстохастическим ядром.

Формула (2.3.16) для уравнения теплопроводности получена другими методами Л.П.Купцовым [27].100Для того чтобы промоделировать блуждание по сфероидам, достаточнопостроить несмещенную оценку поверхностного интеграла в формуле (2.3.17).Подставляя в интеграл функциюqρ(τ ) = (2n(t − τ ) ln R2 / 2n(t − τ )и выполняя замену переменной s = (n/2) ln R2 / 2n(t − τ ) , получим равенства:Ztdτ E n n22ρn (τ )u(x + ρ(τ )Ω, τ ) =Γ(n/2)(t − τ )Rn0Zt= n n2 (2n(t − τ )/R2 )n/2(ln(R2 /(2n(t − τ )))n/2 u(x + ρ(τ )Ω, τ ) =dτ E2Γ(n/2)(t − τ )0Z∞=√sn/2 exp(−s)u(x + R s exp(−s/n)Ω, t − (R2 /(2n)) ×E(n/2)Γ(n/2)(n/2) ln(R2 /(2nt))× exp(−2s/n))ds =√= Eχ{γ>(n/2) ln(R2 /(2nt))} u(x + R γ exp(−γ/n)Ω, t − (R2 /(2n)) exp(−2γ/n)),где γ = γ(1 + n/2).

Эта же оценка пригодна и для интеграла в (2.3.16), так какпри t > R2 /(2n) событие {γ > (n/2) ln(R2 /(2nt))} является достоверным.Процедура моделирования блуждания по сфероидам (xk , tk ) (k == 1, 2, . . .) на k-м шаге состоит из следующих действий.1. Моделируем случайную величину γk с распределением гамма с параметрами (1 + n/2, 1/2).22. Проверяем условие γk > (n/2) ln Rk−1/(2ntk−1 ) .3. Если оно выполнено, то моделируем случайный вектор Ωk , распределенныйс плотностьюp(ω) =1pσn det(A)kA−1 ωk101на единичном эллипсоиде и вычисляем новые координаты по формулам:√xk := xk−1 + Rk−1 γk exp(−γk /n)Ωk ,2tk := tk−1 − (Rk−1/(2n)) exp(−2γk /n).4.

В противном случае цепь обрывается.Из теоремы 1.3.2 и теоремы 1.3.3 вытекает следующая лемма.Лемма 2.3.3 Блуждание по сфероидам с вероятностью единица либо обрывается на нижнем основании, либо сходится к точке на боковой поверхностипространственно-временного цилиндра.Доказательство. Пусть u1 (x, t) — решение краевой задачи (2.3.1), соответствующее правой части f (x, t) ≡ 1 и нулевым граничным и начальнымусловиям. Тогда функцииZF (x, t) =v(y, τ )f (y, τ )dydτQRиZF0 (x, t) =v(y, τ )f (y, τ )dydτQR,0непрерывны и обращаются в ноль лишь на нижнем основании и боковой поверхности пространственно-временного цилиндра.По теореме 1.3.2 заключаем, что с вероятностью единица блуждание пошароидам либо обрывается, либо приближается к боковой поверхности илинижнему основанию пространственно-временного цилиндра.

Рассматривая решение краевой задачи с f (x, t) ≡ 0 нулевым граничным условием и согласованным с ним положительным начальным условием, исключаем (почти наверное)приближение необрывающейся траектории блуждания к нижнему основанию102пространственно-временного цилиндра, так как в этом случае верно неравенство F (x, 0) = ϕ(x, 0) > 0.

Очевидно, что субстохастическое ядро, определяемое равенствами (2.3.16–2.3.17) удовлетворяет пункту 2) теоремы 1.3.3, что изавершает доказательство леммы.Построим мартингал несмещенных оценок решения u(x, t) задачи (2.3.1).Для этого преобразуем оставшиеся интегралы в формулах (2.3.16–2.3.17). Применяя лемму 2.1.2, получим выражениеZv(y, 0)ϕ(y)dy =D̃R,0Zρ(0)2rn−1 exp −r2 /(4t) − exp −ρ2 (0)/(4t)Eϕ(x + rΩ),=drΓ(n/2)(4t)n/20которое совпадает с интегралом I3 в формуле (2.3.6). Поэтому,Z√v(y, 0)ϕ(y)dy = Eχ{γ6(n/2) ln(R2 /(2nt))} ϕ(x + 2ρ tγΩ),(2.3.18)D̃R,0где величины γ и ρ имеют такие же распределения, как в формуле (2.3.6).Используя теорему Фубини и лемму 2.1.2, находимZv(y, τ )f (y, τ )dydτ =QR,0Zt=0Zρ(τ )2rn−1 exp −r2 /(4(t − τ )) − exp −ρ2 (τ )/(4(t − τ ))dτdrE×Γ(n/2)(4(t − τ ))n/20× f (x + rΩ, τ ).103Оценивая внутренний интеграл, получим формулуZv(y, τ )f (y, τ )dydτ =QR,0Zt=pdτ Eχ{γ6(n/2) ln(R2 /(2n(t−τ )))} f (x + 2ρ (t − τ )γΩ, τ ) =0= tEχ{γ6(n/2) ln(R2 /(2ntθ))}pf (x + 2ρ tθγΩ, t − tθ),которая является аналогом оценки (2.3.8).

Точно так же оцениваем последнийинтеграл:Zv(y, τ )f (y, τ )dydτ =QRpR22Eχ{γ6(n/2) ln(1/θ))} f x + 2ρR θγ/(2n)Ω, t − R θ/(2n) .=2nПусть, как и ранее, N1 — момент обрыва траектории блуждания, χi — индикаторсобытия {N1 > i}. Положим wi = min ti , Ri2 /(2n) и обозначим ψi — индикаторсобытияγi+1 6 (n/2) ln(Ri2 /(2nwi θi+1 )) .Рассмотрим последовательность несмещенных оценок ξk (k = 0, 1, .

. .) для решения u(x, t) задачи (2.3.1), определяемую равенствомξk =k−1Xχi ψi wi f (xi + 2ρi+1pwi θi+1 γi+1 Ωi+1 , ti − wi θi+1 ) +i=0+ χk u(xk , tk ) + χ{N1 =k} ϕ(xk−1 + 2ρkptk−1 γk Ωk ).Пусть Fk = σ(θi , ρi , γi , Ωi , i = 1, 2, . . . , k) — σ-алгебра, порожденная независимыми случайными элементами, распределение которых определено выше. Изопределения последовательности ξk , (k = 0, 1, 2, . . .) следует, что она являетсямартингалом относительно потока σ-алгебр Fk , (k = 0, 1, 2, . . .), порожденногоблужданием. Из леммы 1.4.2 вытекает следующая теорема.104Теорема 2.3.2 Пусть функции f (x, t), ϕ(x) и Φ(x, t) ограничены.

Тогда мартингал ξk , (k = 0, 1, 2, . . .) квадратично интегрируемый.Пусть δ > 0, N2 — момент первого попадания траектории в δ — окрестностьграницы области D, а Nδ = min(N1 , N2 ), тогда справелива следующая лемма.Лемма 2.3.4 Случайная величина Nδ имеет конечное математическое ожидание. Случайная величина ξNδ является несмещенной оценкой u(x, t) и имеетконечную дисперсию.Доказательство леммы проводится так же как доказательство аналогичной ейлеммы 2.3.2 для блуждания по цилиндрам.2.3.3Блуждание по цилиндрам для уравнения с переменнымикоэффициентамиПостроим алгоритм решения задачи Дирихле (2.3.1) для уравнения спеременными коэффициентами.

Пусть dist(x, Γ) расстояние от от точки x дограницы Γ. Зададимся функцией R = R(x, t), непрерывной в D и удовлетворяющей неравенствам c1 dist(x, Γ) 6 R(x, t) 6 c2 dist(x, Γ), при некоторых положительных постоянных c1 и c2 . Фиксируем некоторое ε > 0 и обозначим Dε —ε-окрестность границы Γ. Считая решение u(x, t) известным в Dε , запишем интегральное представление (2.1.31) в видеu(x, t) = K1 u(x, t) + K2 u(x, t) + K3 u(x, t) + F (x, t),(2.3.19)в котором интегральные операторы и правая часть F (x, t) определяются следующими формулами.Zt Z[M0 v(y, τ ) − M v(y, τ )]u(y, τ )dydτ.K1 u(x, t) =0 DR \Dε(2.3.20)105Zt ZK2 u(x, t) =nR2−4(t − τ )2 2(t − τ )11 ×[4π(t − τ )] (det A(x, t)) 2R2× exp −u(y, τ )dydτ.

(2.3.21)4(t − τ )0 DR \DεZtn2[(y − x)T A−1 (x, t)A(y, τ )A−1 (x, t)(y − x)]×2(t − τ )kA−1 (x, t)(y − x)k0 ∂DR \Dε1R2×−u(y, τ )dy Sdτ. (2.3.22)n1 · exp4(t − τ )[4π(t − τ )] 2 (det A(x, t)) 2ZK3 u(x, t) =Zt ZF (x, t) =v(y, τ )f (y, τ )dydτ +0 DRZtZ[M0 v(y, τ ) − M v(y, τ )]u(y, τ )dydτ ++0 DR ∩DεZt+0R2n1−×n24(t − τ )2(t − τ ) [4π(t − τ )] 2 (det A(x, t)) 12DR ∩DεZR2× exp −u(y, τ )dydτ + v(y, 0)ϕ(y)dy +4(t − τ )ZDRZt[(y − x)T A−1 (x, t)A(y, τ )A−1 (x, t)(y − x)]+×2(t − τ )kA−1 (x, t)(y − x)k0 ∂DR ∩Dε1R2×−u(y, τ )dy Sdτ. (2.3.23)n1 · exp24(t−τ)2[4π(t − τ )] (det A(x, t))ZБудем рассматривать его как интегральное уравнение в пространстве функцийC (D \ Dε ) × [0, T ] .