Диссертация (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 12

Величины ϑ, δ имеют плотности распределенияα α2 −12sи1√,2 sсоответ-ственно, а θ распределена равномерно.Выбирая с вероятностью16одно из слагаемых в (2.2.75) и умножая его89на 6, получаем окончательную несмещенную оценку ζ̃(x, t) для Ku(x, t).Оценки ψm для K m F (x, t) будем строить на траекториях неоднороднойцепи Маркова {(xk , tk )}∞k=0 . Начальное состояние цепи (x, t). Далее, последовательно выполняются m переходов, на каждом из которых реализуется оценкаζ̃(xk , tk ) по независимым в совокупности последовательностям случайных эле∞∞∞ментов {ϑk }∞k=0 , {δk }k=0 , {θk }k=0 , {Ωk }k=0 .

При этом ψm умножается на весовоймножитель в оценке ζ̃(yk , τk ), а аргументы функции u определяют следующеесостояние цепи. Например, если на шаге k = 1, 2, . . . , m в оценке (2.2.75) быловыбрано первое слагаемое, то ψm нужно умножить наs!n+ααα2 Γ( 2 )n+α26tk−1x+2tk−1 ϑk−1 Ωk−1 , xk−1 , tk−1g̃γk−11k−1αΓ( n2 )2и перейти в точку (xk , tk ) с координатамиsn+αxk = xk−1 + 2 γk−1tk−1 ϑk−1 Ωk−1 ,2tk = tk−1 − tk−1 ϑk−1 .На заключительном этапе ψm умножается на оценку для F (xm , tm ) равнуюr r nntm f xm + 2 γmtm θm Ωm , tm − tm θm + ϕ xm + 2 γmtm Ωm .22Таким образом, случайные величиныξ˜1 (x, t) =иξ˜2 (x, t) =ψNq(1 − q)NNXψm(1 − q)mm=0являются несмещенными оценками для u(x, t).

Повторяя рассуждения из доказательства теоремы 2.2.2, легко доказать конечность дисперсий построенныхоценок.902.3Первая краевая задача в ограниченной областиПусть D — ограниченная область в Rn с границей Γ. Рассмотрим первуюкраевую задачу∂ ∂L x, t, ,u = f,∂x ∂tu|Γ = Φ(x, t),(2.3.1)u|t=0 = ϕ(x).αВ [28] показано, что если f ∈ H α, 2 (QT ), ϕ ∈ C(D), функция Φ — непре∂aij, удовлетворяющие услорывна, а коэффициенты aij имеют производные∂xkвию Гельдера по переменным x с показателем α и Γ — поверхность Ляпунова,то задача (2.3.1) имеет классическое, непрерывное вплоть до границы решениев в области QT = D × (0, T ).Несмещенные оценки для решения уравнения теплопроводности построены как на траекториях блуждания по границе [26], так и на траекториях блуждания внутри пространственно-временного цилиндра [12].

В первом случае решение представляется в виде теплового потенциала двойного слоя, плотностькоторого удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра-Фредгольма. Кэтому уравнению применима схема Неймана-Улама и общая теория статистических оценок для нее. Во втором случае используется теорема о среднем значении в шароиде. В данном параграфе будут построены несмещенные оценкирешения u(x, t) задачи (2.3.1) на траекториях марковской цепи “блуждания поцилиндрам” и марковской цепи “блуждания по шароидам” как для уравненийс постоянными коэффициентами, так и для уравнений с переменными коэффициентами.912.3.1Блуждание по цилиндрам для уравнения c постояннымикоэффициентамиРассмотрим задачу (2.3.1) для оператора с постоянными коэффициента-миnX∂∂2−aij.L=∂t i,j=1 ∂xi ∂xjПусть dist(x, Γ) обозначает расстояние от от точки x до границы Γ.Зададимся функцией R = R(x), непрерывной в D и удовлетворяющей неравенствамc1 dist(x, Γ) 6 R(x) 6 c2 dist(x, Γ),при некоторых положительных постоянных c1 и c2 , и условию DR ⊂ D.

Запишем интегральное представление (2.1.32) решения уравнения в цилиндреZt Zv(y, τ )f (y, τ )dydτ +u(x, t) =0 DRZt Z +0 DRR2n1−×n4(t − τ )2 2(t − τ ) [4π(t − τ )] 2 (det A) 12R2× exp −u(y, τ )dydτ +4(t − τ )Z+ v(y, 0)ϕ(y, 0)dy +DRZtZ+0 ∂DR1R2×n2(t − τ )kA−1 (y − x)k [4π(t − τ )] 2 (det A) 21R2× exp −u(y, τ )dy Sdτ. (2.3.2)4(t − τ )Ядро интегрального оператора в этой формуле неотрицательное и субстохастическое при выполнении неравенства R2 > 2nt.

При R2 < 2nt справедливоаналогичное представление92Zt Zu(x, t) =v(y, τ )f (y, τ )dydτ +2 DRt− R2nZt Z +nR2−4(t − τ )2 2(t − τ )2 DRt− R2n1n1[4π(t − τ )] 2 (det A) 2×R2× exp −u(y, τ )dydτ +4(t − τ ) Z R2R2+ v y, t −u y, t −dy +2n2nDRZtZ+2 ∂DRt− R2n1R2×n2(t − τ )kA−1 (y − x)k [4π(t − τ )] 2 (det A) 21R2× exp −u(y, τ )dy Sdτ, (2.3.3)4(t − τ )в котором ядро интегрального оператора стохастическое. Таким образом, решение краевой задачи u(x, t) удовлетворяет в цилиндре QT уравнениюZu(x, t) = u(y, τ )K(x, t, dy, dτ ) + F (x, t),(2.3.4)QTгде K(x, t, dy, dτ ) — субстохастическое ядро, а функция F (x, t) определяется равенствомZtZF (x, t) = χ{R2 >2nt}v(y, 0)ϕ(y, 0)dy +(y − x)0 A−1 (y − x)× exp −4(t − τ )2− exp −1nDRmax(0,t− R2n )DRZ[4π(t − τ )] 2R24(t − τ )×f (y, τ )dydτ.

(2.3.5)Отметим, что если область интегрирования в поверхностном интеграле в формулах (2.3.2–2.3.3) содержит часть боковой поверхности цилиндра QT , то интеграл по ней от функции Φ(x, t) следует добавить к функции F (x, t). На боковой поверхности цилиндра QT ядро K(x, t, dy, dτ ) является вырожденным93вероятностным распределением, сосредоточенным в точке (x, t), а на нижнемосновании цилиндра QT ядро K(x, 0, dy, dτ ) ≡ 0.Стохастическое ядро K(x, t, dy, dτ ) однозначно определяется формулами(2.3.2) и (2.3.3) и задает в области QT цепь Маркова x(k), t(k) , (k = 0, 1, 2, .

. .),которую назовем блужданием по цилиндрам. Состояния цепи вида (x, 0) будемсчитать поглощающими. Справедлива лемма.Лемма 2.3.1 Последовательность x(k), t(k) , (k = 0, 1, 2, . . .) с вероятностью 1 либо обрывается за конечное число шагов на боковой поверхности илинижнем основании цилиндра QT , либо сходится к случайной точке на боковойповерхности цилиндра.Доказательство. Рассматривая решение краевой задачи с нулевымиграничными условиями и правой частью f (x, t) ≡ 1 получим, что функцияZtZF (x, t) =n2DRmax(0,t− R2n )(y − x)0 A−1 (y − x)exp −4(t − τ )1[4π(t − τ )] 2−R2− exp −4(t − τ )!dydτнеотрицательна и имеет ограниченный потенциал GF .

Аналогичное утверждение верно для функцииZF (x, t) = χ{R2 >2nt}v(y, 0)ϕ(y, 0)dy.DRПоскольку пересечение множества нулей этих функций есть боковая поверхность цилиндра QT , по теореме 1.3.2 получаем, что необрывающиеся траектории цепи почти наверное приближаются к боковой поверхности цилиндра.Очевидно, что координатные функции являются инвариантными функциямидля ядра K(x, t, dy, dτ ), а время t — эксцессивная функция. Применяя теорему 1.3.3, видим, что необрывающиеся траектории x(k), t(k) , (k = 0, 1, 2, . .

.)94почти наверное сходятся к случайной точке на боковой поверхности цилиндраQT .Пусть Ω1 — изотропный единичный вектор в пространстве и Ω =√AΩ1 ,тогда представление решения (2.3.2) можно записать в видеu(x, t) = I1 + I2 + I3 + I4 ,в котором слагаемые определяются следующими формулами:Z t ZR2n ×Γ( n2 )(4(t − τ )) 20 0r2R2× exp −− exp −rn−1 Ef (x + rΩ, τ )drdτ,4(t − τ )4(t − τ )Z t ZR R2n2I2 =−n ×4(t − τ )2 2(t − τ ) Γ( n ) (4(t − τ )) 220 0(2.3.6)R2n−1r Eu(x + rΩ, τ )drdτ,× exp −4(t − τ ) 2ZR2rR2I3 =exp −− exp −rn−1 Eϕ(x + rΩ)dr,nn4t4tΓ( 2 )(4t) 2I1 =0ZtI4 =01RnR2u(x + RΩ, τ )dτ.E n−n expΓ( 2 )(t − τ ) (4(t − τ )) 24(t − τ )Аналогичные выражения получаются для представления (2.3.3):u(x, t) = J1 + J2 + J3 + J4 ,95Z t ZRJ1 =2 0t− R2n2Γ( n2 )(4(t× exp −Z t ZR J2 =n− τ )) 2r24(t − τ )×− exp −nR2−4(t − τ )2 2(t − τ )2 0t− R2nR24(t − τ )rn−1 Ef (x + rΩ, τ )drdτ,2nΓ( n2 ) (4(t − τ )) 2×R2rn−1 Eu(x + rΩ, τ )drdτ,4(t − τ )!!!ZR222rRexp − R2 − exp − R2×J3 =nR2 n2Γ( 2 )(4 2n )4 2n4 2n× exp −0×rn−1ZtJ4 =2t− R2nR2Eu(x + rΩ, t −)dr,2n1RnR2E n−u(x + RΩ, τ )dτ.n expΓ( 2 )(t − τ ) (4(t − τ )) 24(t − τ )(2.3.7)Формулы сильно упрощаются, если выполнить замену переменной, взяв в качестве новой переменной s =R24(t−τ )в интегралах по переменной τ или s =r24(t−τ )в интегралах по переменной r.

После этого под интегралом появятся плотностигамма-распределения с параметром n2 , либоn2+ 1. Записав разность экспонентв интегралах I3 и J3 в виде интеграла и изменив порядок интегрирования в повторных интегралах, получим под интегралом плотность случайной величиныγ, имеющей гамма-распределение с параметромn2+ 1.Пусть ρ — случайная величина, имеющая плотность распределения nrn−1на отрезке [0, 1] и, наконец, пусть θ равномерно распределена на [0, 1].

ПустьχA индикатор события A, тогдаpI1 = t · Eχ{γ6 R2 } f (x + 2ρ tθγΩ, t − tθ)4tθ(2.3.8)96R2I2 = Eχ{γ> R2 } χ{θ> n } u x + RρΩ, t −2γ4t4γ√I3 = Eχ{γ6 R2 } ϕ(x + 2ρ tγΩ)(2.3.9)(2.3.10)4tR2I4 = Eχ{γ> R2 } χ{θ6 n } u x + RΩ, t −2γ4t4γ(2.3.11)Аналогичные формулы для интегралов из равенства (2.3.7) имеют видr2R2θγR2J1 =· Eχ{γ6 n } f (x + RρΩ, t −θ)(2.3.12)2θ2nn2nR2J2 = Eχ{γ> n } χ{θ> n } u x + RρΩ, t −22γ4γrJ3 = Eχ{γ6 n } u x + Rρ222γRΩ, t −n2nR2J4 = Eχ{γ> n } χ{θ6 n } u x + RΩ, t −22γ4γ(2.3.13)!(2.3.14).(2.3.15)Используя полученные формулы, легко определить процедуру моделирования блуждания по цилиндрам x(k), t(k) и последовательность несмещенных оценок ξk = ξk (x, t) для решения u(x, t) на траекториях этого блуждания.А именно, пустьγk , ρk , θk , Ωk (k = 1, 2, .

. .)— последовательности независимых в совокупности случайных величин с распределениями, определенными ранее, Rk = R x(k), t(k) , x(0) = x, t(0) = t,2ξ0 = u(x, t). Тогда, при выполнении условий 0 < 2nt(k − 1) < Rk−1, в мо-мент времени k − 1, (k = 1, 2, . .

.) выполняется следующая последовательностьдействий.1. Моделируем случайные величины γk , ρk , θk , Ωk .972. В оценке ξk−1 функцию u x(k − 1), t(k − 1) заменяем суммой несмещенных оценок интегралов I1 , I2 , I3 , I4 по формулам (2.3.8–2.3.11), выбраннымзначениям случайных величин и R = Rk−1 .3. Если слагаемое, содержащее функцию u, отсутствуют, то оценка построенаи процесс обрывается (t(k) = 0). В противном случае, переходим к пункту 4.4.