Диссертация (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 5

При f (y, τ ) ≡ 1 функция F (x, t) обращается вноль лишь при t = 0 и R(x) = 0. Значит, траектория блуждания по цилиндрамприближается почти наверное к границе пространственно-временного цилиндраили заканчивается на его границе за конечное число шагов. Рассмотрим теперьрешение краевой задачи u(x, t), обращающееся в ноль на боковой поверхностипространственно-временного цилиндра и положительное на его нижнем основании.

ТогдаZF (x, t) =DR 2rR2exp −− exp −u(x, 0)dyn4t4t[4πt] 21(1.3.4)при R2 (x) > 2nt > 0, и F (x, 0) = u(x, 0), при R(x) > 0. Значит, траектория блуждания по цилиндрам приближается почти наверное к боковой границе пространственно-временного цилиндра или заканчивается на его границе законечное число шагов.Отметим, что для точек x ∈ ∂Q ядро P (x, dy) должно определятьсяиз условий непрерывности решения уравнения (1.3.1) на компакте Q. Чащевсего, распределение P (x, dy) сосредоточено в граничной точке x. Однако, впримере 1.3.4 переходная вероятность P (x, 0, dy, dτ ) ≡ 0.27Как правило, сама последовательность {xi }∞i=0 почти наверное сходится.В частности, справедлива теорема.Теорема 1.3.3 Для цепи Маркова {xi }∞i=0 , переходной вероятностью которойявляется субстохастическое ядро уравнения (1.3.1), справедливы утверждения.1.

Пусть при всех m = 1, . . . , n координатные функции vm (x) таковы,что при некоторой ограниченной эксцессивной функции wm (x), суммаwm (x)+vm (x) или разность wm (x)−vm (x) являются эксцессивными функциями, тогда последовательность {xi }∞i=0 почти наверное сходится намножестве {τ1 = ∞}.2. Пусть при всех m = 0, 1, . . . , n координатные функции vm (x) таковы, чтопри некоторой постоянной wm , сумма wm +vm (x) или разность wm −vm (x)являются эксцессивными функциями, тогда последовательность {xi }∞i=0почти наверное сходится на множестве {τ1 = ∞}.3.

Пусть при всех m = 0, 1, . . . , n координатные функции vm (x) таковы,что либо vm (x) или −vm (x) являются эксцессивными функциями, либоvm (x) — инвариантна, тогда последовательность {xi }∞i=0 почти наверноесходится на множестве {τ1 = ∞}.Доказательство. Утверждения (2) и (3) являются следствиями (1), таккак константа эксцессивна для субстохастического ядра.

Пусть, теперь, функция hm (x) = wm (x) − vm (x) эксцессивна. Последовательность стандартных оценок (1.3.2) для hm (x) и последовательность {χi hm (xi )}∞i=0 почти наверное сходятся. Последовательность стандартных оценок (1.3.2) для wm (x) и последовательность {χi wm (xi )}∞i=0 также почти наверное сходится. Поэтому, последовательность {χi vm (xi )}∞i=0 также почти наверное сходятся.

Очевидно, что отсюдаследует утверждение теоремы.28Применим доказанную теорему к блужданиям из предшествующих примеров.Блуждание по сферам. Очевидно, что можно подобрать такую постоянную w, что все функции w + vm (x) будут неотрицательными и, следовательно,эксцессивными. Значит, блуждание по сферам с вероятностью 1 либо сходитсяк точке на границе, либо обрывается на границе за конечное число шагов.Аналогично, блуждание по эллипсоидам с вероятностью 1 либо сходитсяк точке на границе, либо обрывается на границе или внутри области за конечноечисло шагов.Блуждание по сфероидам с вероятностью 1 либо сходится к точке набоковой поверхности пространственно-временного цилиндра, либо к точке наего нижнем основании, так как функции vm (x, t) при m = 1, . .

. , n − 1 являютсяинвариантными, а функция vn (x, t) = t — эксцессивна.Блуждание по цилиндрам с вероятностью 1 либо сходится к точке набоковой поверхности пространственно-временного цилиндра, либо обрываетсяна его границе за конечное число шагов. Действительно, при некоторой константе w функции w + vm (x, t) при m = 1, . . . , n − 1 являются положительнымии эксцессивными , а функция vn (x, t) = t — также эксцессивна.1.4Схема Неймана-Улама для субстохастического ядра.В данном параграфе рассматриваются методы построения статистиче-ских оценок для интегрального уравнения с субстохастическим ядром и изучаются свойства этих оценок.Заметим, что стандартная последовательность несмещенных оценок (1.3.2)нереализуема, так как содержит функции F (x) и u(x), значения которых неизвестны.

Чтобы получить реализуемую оценку, эти функции оценивают либонесмещенно, либо с “малым” смещением. Опишем соответствующую процеду-29ру, следуя [12].Будем предполагать, что для цепи Маркова {xi }∞i=0 , определяемой субстохастическим ядром, выполнено условие сходимости почти наверное на множестве {τ1 = ∞} к некоторой точке x∞ ∈ ∂Q.Пусть δ > 0, τ2 — момент первого попадания цепи в δ-окрестность границы ∂Q и τδ = min(τ1 , τ2 ).

Для марковской цепи, удовлетворяющей условиюсходимости величина τδ почти наверное конечна.Последовательность несмещенных оценок {ξi }∞i=0 для решения u(x) задачи (1.3.1), будем называть допустимой, если существует последовательностьσ-алгебр {Bi }∞i=0 таких, что Ai ⊆ Bi и Bi ⊆ Bi+1 , а ξi имеет вид ξi = ζi +χi u(xi ),где ζi — Bi измерима. Для допустимой последовательности оценок определимслучайную величину ξδ равенством ξδ = ζτδ + χu(x∗τδ ), где χ — индикатор события {τ1 > τ2 }, а x∗τδ — точка границы, отстоящая от точки xτδ на росстояние небольшее, чем δ. Справедлива следующая теорема.Теорема 1.4.1 ([12], теорема 2.3.2) Если допустимая последовательностьоценок {ξi }∞i=0 образует квадратично-интегрируемый мартингал относительно семейства σ-алгебр {Bi }∞i=0 , указанного в ее определении, то случайнаявеличина ξδ является ε(δ)-смещенной для непрерывной функции u(x) (ε(δ) —модуль непрерывности функции u(x)), а ее дисперсия есть ограниченная функция параметра δ.Условие квадратичной интегрируемости стандартной последовательности оценок вытекает из следующей леммы.Лемма 1.4.1 Пусть уравнение (1.3.1) имеет ограниченные решения для правой части F (x) и |F (x)|, тогда стандартная последовательность несмещенных оценок образует квадратично-интегрируемый мартингал относительнопотока σ-алгебр {Ai }∞i=0 .30Доказательство.

Заметим, что потенциал GF 2 (x) 6 kF kG|F (x)| < ∞.Поэтому для стандартной оценки справедливо неравенствоEx ηi2 6 2Ex∞X!2+ 2kuk2 =χj |F (xj )|j=0= 2Ex∞X∞Xχj F 2 (xj ) + 4Exj=0= 2GF 2 (x) + 4Exχj |F (xj )|j=0∞Xχj |F (xj )|Ex χjj=0= 2GF 2 (x) + 4Ex∞X!χm |F (xm )|m=j+1∞Xχm |F (xm )| | Aj+ 2kuk2 =!+ 2kuk2 =m=j+1∞Xχj |F (xj )|(G|F |(xj ) − |F (xj )|) + 2kuk2 6j=06 2GF 2 (x) + 4k(G|F | − |F |)kG|F |(x) + 2kuk2 .Функцию F (x), обычно, представляют в виде F (x) = h(x)Ef (Y ), гдеh(x) > 0, случайная величина Y имеет распределение, зависящее от x, а функция f (y) является правой частью дифференциального уравнения, либо значением его решения на границе.

Пусть {yj }∞j=0 — последовательность случайныхвеличин, таких чтоF (xi ) = h(xi )E(f (yi ) | Ai )(1.4.1)почти наверное и Bi — минимальная σ-алгебра, порожденная Ai и последовательностью {yj }ij=0 , тогда последовательность несмещенных оценокξi =i−1Xh(xj )f (yj )χj + χi u(xi )(1.4.2)j=0является допустимой.

Такие оценки будем по традиции называть оценками постолкновениям. Если уравнение (1.3.1) имеет ограниченное решение ũ(x) дляправой части F (x) = h(x), то из леммы 1.4.1 следует, что последовательность31несмещенных оценокξ˜i =i−1Xh(xj )χj + χi ũ(xi )(1.4.3)j=0образует квадратично-интегрируемый мартингал относительно потока σ-алгебр{Ai }∞i=0 . Отсюда, очевидно, следует лемма.Лемма 1.4.2 Пусть уравнение (1.3.1) имеет ограниченное решение для правой части F (x) = h(x).

Тогда для правой части вида (1.4.1), с ограниченной функцией f (x), уравнение (1.3.1) также имеет ограниченное решениеи последовательность несмещенных оценок (1.4.2) образует квадратичноинтегрируемый мартингал относительно потока σ-алгебр {Bi }∞i=0 .Отметим, что во всех примерах, рассмотренных выше, условие леммы1.4.2 выполняется, если соответствующие краевые задачи имеют ограниченные решения необходимой гладкости для постоянной правой части (при нулевом граничном условии) и нулевой правой части дифференциального уравнения (при постоянном граничном условии).

В последнем случае, функцияh(x) = P (x, Γ0 ), где Γ0 — множество точек границы ∂Q, входящих в носительмеры P (x, dy). При этом h(x) имеет смысл вероятности обрыва траектории награнице ∂Q. В этом случае, в качестве вектора yi , обычно, используют следующую точку траектории, то есть полагают yi = xi+1 . В итоге получается оценкапо поглощению.Для точной оценки математического ожидания Ex τδ обычно используюттеорему восстановления.

Для блуждания по сферам точная асимптотика | ln δ|для областей с гладкой границей получена в [18,24,25]. Для блуждания по сферам со сдвинутыми центрами эта асимптотика имеет вид | ln | ln δ|| и полученав работах [6, 41]. При этом существенно используется специфика случайногоблуждания.Грубую оценку математического ожидания Ex τδ легко получить, используя оценки (1.4.3). Один из вариантов подобной оценки содержит следующая32лемма.Лемма 1.4.3 Пусть уравнение (1.3.1) имеет ограниченные решения для правой части F (x) = h(x) и существует постоянная c(δ), такая что выполнено неравенство h(x) > c(δ) > 0 для всех x ∈ Q, удовлетворяющих условиюρ(x, ∂Q) > δ. Тогда справедливо неравенство Ex τδ 6 Gh(x)/c(δ).Применим лемму (1.4.3) к примерам 1.3.1–1.3.4.Для блуждания по сферам h(x) = R2 (x)/2n, константа c(δ) = δ 2 /2n иEx τδ 6 const /δ 2 .

Известна точная оценка [12] Ex τδ 6 c| ln δ|.Для блуждания по эллипсоидам h(x) = R12 (x)/2n > 0,константа c(δ) = inf R12 (x)/2n| dist(x, Γ) > δ и Ex τδ 6 const /c(δ).Для блуждания по сфероидам2r n (x, t)min(2eδ 2 /n, 4δ)h(x, t) =>= c(δ)nn4(1 + n2 )(1+ 2 )4(1 + n2 )(1+ 2 )и Ex τδ 6 t/c(δ) 6 const /δ 2 .Для блуждания по цилиндрам нужно рассмотреть решение уравнения справой частью f (x) ≡ 1, нулевым граничным условием и начальным условиемu(x, 0) ≡ 1 вне δ-окрестности границы ∂Q.

Тогда [55]R2 (x) nh(x, t) =Px γθ <,2n2если t > R2 (x)/2n иh(x, t) = tPxR2 (x)γθ <4t+ PxR2 (x)γ<,4tесли t 6 R2 (x)/2n. Случайная величина γ имеет гамма распределение, а θ распределена равномерно на отрезке [0, 1]. При R(x) > δ справедливо неравенство nR2 (x)n2h(x, t) > min(t, δ /2n)Px γθ <+ Px t 6Px γ <=22n2R2 (x)2= min(t, δ /2n)c1 + Px t 6c2 > min(c2 , c1 δ 2 /2n),2n33где константы обозначают соответствующие вероятности.

При достаточно малом δ, функция h(x, t) > c1 δ 2 /2n, поэтому Ex τδ 6 const /δ 2 .В тех случаях, когда моделирование цепи Маркова с переходной вероятностью P (x, B) вызывает затруднения, несмещенные оценки строят на траекториях другой цепи. При этом в оценках появляются весовые коэффициенты.Остановимся кратко на одном частном случае такой схемы Неймана-Улама свесами.

А именно, предположим, что ядро P (x, B) абсолютно непрерывно относительно субстохастического ядра Pe(x, B), а плотность pe(x, y) 6 1. На траекториях марковской цепи с переходной функией Pe(x, B) определим весовуюпоследовательность qi , i = 0, 1, . . . равенствами q0 = 1, qi = qi−1 pe(xi−1 , xi ), приi = 1, 2, . . . Рассмотрим последовательность несмещенных оценок для u(x)ηi =i−1Xh(xj )qj f (yj )eχj + χei qi u(xi ),(1.4.4)j=0где χei — индикатор события {eτ > i}, а τe — момент обрыва новой цепи Маркова.Для для оценок (1.4.4) справедливы все утверждения, доказанные в данном параграфе для оценок (1.4.2). Детальному их изучению посвящен следующий параграф.1.5Схема Неймана-Улама. Общий случай.Вернемся к линейному интегральному уравнению (1.2.2)Zu(x) = u(y)k(x, dy) + F (x), x ∈ Q(1.5.1)QБудем рассматривать интегральное уравнение (1.5.1) в пространствеограниченных функций в предположении сходимости ряда Неймана при всехx ∈ Q.