Диссертация (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 3

Изложенные в ней результаты были представлены и докладывались наследующих конференциях: V всесоюзная конференция ’Методы Монте-Карло ввычислительной математике и математической физике’, Новосибирск, 1976; VIвсесоюзная конференция ’Методы Монте-Карло в вычислительной математикеи математической физике’, Новосибирск, 1979; Межреспубликанская школасеминар "Методы Монте-Карло и их приложения"(Казахстан, Алма-Ата, сентябрь 1987); школа-семинар "Актуальные проблемы теории статистическогомоделирования и ее приложения"(Узбекистан, Ташкент, сентябрь 1989); FifthWorkshop on Simulation. St.

Petersburg ,2005; Международная конференция “Тихонов и современная математика” (секция “Вычислительная математика и информатика”), Москва, 2006; Пятая международная конференция "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания Обнинск, 2011; Seven Workshop on Simulation. Rimini, Italy, 2013; NinthIMACS Seminar on Monte Carlo Methods Annecy-le-Vieux, France, 2013Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре кафедры статистического моделирования математико-механического факультетаСанкт-Петербургского государственного университета.Выражаю глубокую благодарность моему Учителю, заведующему кафедрой статистического моделирования Санкт-Петербургского государственного университета профессору Сергею Михайловичу Ермакову за постоянноевнимание к работе и плодотворное научное сотрудничество. Выражаю признательность заведующему кафедрой прикладной математики Вологодского государственного университета профессору Александру Израилевичу Зейфману заподдержку и создание творческой атмосферы.13Глава 1Применение схемы Неймана-Улама крешению краевых задачБессеточные стохастические методы решения краевых задач для уравнений в частных производных чаще всего основаны на интегральном представлениии решения краевой задачи.

Это интегральное представление обычно рассматривается как интегральное уравнение, к которому применяется процедурастатистического моделирования, известная как схема Неймана-Улама [11]. Вданной главе мы определим ее для интегральных уравнений с субстохастическим ядром и, следуя [12], рассмотрим стандартную схему для случая, когдасходится ряд Неймана для "мажорантного уравнения".1.1Справочные сведения из теории мартингаловПри исследовании случайных процессов и статистических оценок в дан-ной работе используется теория мартингалов. Приведем необходимые определения и результаты из теории мартингалов, следуя [2, 31]Пусть (Ω, F, P ) – вероятностное пространство.

Возрастающая последовательность {Fi }∞i=0 σ-подалгебр F называется потоком или фильтрацией. Действительная последовательность случайных величин {Xi }∞i=0 согласована с по-14током {Fi }∞i=0 , если при всех i величина Xi измерима относительно σ-алгебрыFi .Процесс {Xi }∞i=0 называется мартингалом (соответственно супермартингалом, субмартингалом) относительно потока {Fi }∞i=0 , если при всех i величина Xi имеет конечное математическое ожидание (E|Xi | < ∞) иE(Xi+1 |Fi ) = Xi почти наверное (соответственно 6 Xi , > Xi ).Отображение τ : Ω → N ∪ {∞} называется марковским моментом относительно потока {Fi }∞i=0 , если {ω : τ (ω) 6 i} ∈ Fi для любого i ∈ N.

Моментомостановки называется марковский момент τ , для которого τ (ω) < ∞ почтинаверное.Марковский момент τ называется ограниченным, если τ 6 k почти наверное для некоторого натурального k.Система множествFτ = {A ∈ F : A ∩ {τ 6 i} ∈ Fi для любого i ∈ N}является σ-алгеброй и называемой σ-алгеброй событий, наблюдаемых до случайного момента τ (включительно).Теорема 1.1.1 (о свободном выборе или об остановке; Дуб; [2] Теорема 2,стр.116)Пусть последовательность случайных величин {Xi }∞i=0 такова, чтоE|Xi | < ∞ при всех i, и согласована с потоком {Fi }∞i=0 . Тогда следующиеусловия эквивалентны:∞1) {Xi }∞i=0 — мартингал (субмартингал) относительно потока {Fi }i=0 ,2) E(Xτ |Fσ ) = (>)Xτ ∧σ для любого ограниченного марковского момента τ илюбого марковского момента σ,3) EXτ = (>)EXσ для любых ограниченных марковских моментов τ и σтаких, что τ > σ почти наверное.15Последовательность случайных величин {Xi }∞i=0 называется равномерноинтегрируемой, еслиZlim supc→∞Xi dP = 0(1.1.1)i{|Xi |>c}Из этого свойства сразу следует, что для таких последовательностейsup E|Xi | < ∞.(1.1.2)iДля равномерной интегрируемости последовательности {Xi }∞i=0 достаточно выполнения условия:sup EXi2 < ∞.(1.1.3)iПоследовательности, удовлетворяющие условию (1.1.3) будем называть квадратично интегрируемыми.Сформулируем некоторые теоремы о сходимости мартингалов.Теорема 1.1.2 ([31], Теорема 17, стр.112)∞1.

Пусть {Xi }∞i=0 – супермартингал относительно потока {Fi }i=0 . ПустьXi− = max(0, −Xi ) и выполнено условие (∗) supi EXi− < ∞.Тогда случайные величины Xi сходятся с вероятностью единица к интегрируемой случайной величине X∞ .2. Если все Xi неотрицательны, то E(X∞ |Fi ) 6 Xi и EX∞ 6 lim EXi . Знакравенства в последнем неравенстве имеет место тогда и только тогда,когда последовательность {Xi }∞i=0 равномерно интегрируема.3.

Предположим, что последовательность случайных величин {Xi }∞i=0 – равномерно интегрируемый супермартингал. Тогда выполняется условие (∗),Xi сходится к X∞ по норме в L1 (Ω, F, P ) и E(X∞ |Fi ) 6 Xi при всех i.4. Предположим, что последовательность случайных величин {Xi }∞i=0 равномерно интегрируемый мартингал. Тогда E(X∞ |Fi ) = Xi при всех i.16Пусть F∞ – минимальная σ-алгебра, содержащая все Fi . Справедливаследующая теорема:Теорема 1.1.3 ([31], Теорема 18, стр.113)∞1. Последовательность {Xi }∞i=0 , согласованная с потоком {Fi }i=0 являетсяравномерно интегрируемым мартингалом тогда и только тогда, когдадля некоторой интегрируемой случайной величины Y при всех i почтинаверное выполнены равенства E(Y |Fi ) = Xi .2.

Существует единственная (с точностью до эквивалентности) случайная величина Y0 , обладающая этим свойством. При этом Xi сходится кY0 с вероятностью единица и по норме в пространстве L1 (Ω, F, P ).Из теоремы о преобразовании свободного выбора и теорем о сходимостимартингалов вытекает важная теорема.Теорема 1.1.4 ([31], Теорема 29, стр.121) Пусть последовательность {Xi }∞i=0 ,согласованная с потоком {Fi }∞i=0 является равномерно интегрируемым мартингалом, τ – момент остановки и X∞ = lim Xi почти наверное . Тогда свероятностью 1 справедливо равенство E(X∞ |Fτ ) = Xτ .1.2Элементы теории потенциала и ряд НейманаПусть (Q, A)– некоторое измеримое пространство. Вещественная, опре-деленная на Q × A функция k(x, A) называется ядром, если при всех A ∈ Aфункция k(·, A) является A – измеримой, и при всех x ∈ Q функция множества k(x, ·) является зарядом (конечной счетно аддитивной функцией множества).

Положительную, отрицательную и полную вариацию заряда k(x, ·) будемобозначать k + (x, ·), k − (x, ·), |k|(x, ·), соответственно. Ядро называется неотрицательным, если k(x, ·)– счетно-аддитивная мера при всех x ∈ Q. Неотрицательное ядро называется субстохастическим, если при всех x ∈ Q выполнено17неравенство k(x, Q) 6 1, и стохастическим, если при всех x ∈ Q выполненоравенство k(x, Q) = 1.Пусть ν – заряд на A. Интеграл от A – измеримой функции h определяется равенствомZZZh(y)ν (dy) −h(y)ν(dy) =Q+Qh(y)ν − (dy),(1.2.1)Qпри этом оба интеграла в правой части равенства (1.2.1) должны быть конечны.Из определения заряда и теоремы Б.Леви о предельном переходе в интеграле Лебега для монотонной последовательности функций [16] следует лемма.Лемма 1.2.1 Если A–измеримая функция h при всех x ∈ Q интегрируема наQ по заряду k(x, ·), то функция ϕ, определяемая равенствомZϕ(x) = h(y)k(x, dy), x ∈ Q,QA–измерима.Рассмотрим линейное интегральное уравнениеZu(x) = u(y)k(x, dy) + F (x), x ∈ Q,(1.2.2)Qгде F – измеримая функция.

Если функция F интегрируема по заряду k(x, ·)при всех x ∈ Q и для нее определены все степени интегрального оператора Kс ядром k, то при любом натуральном n для решения уравнения (1.2.2) имеетсправедливо равенствоu(x) =nXK i F (x) + K n+1 u(x),x ∈ Q.(1.2.3)i=0Ряд∞Xi=0K i F (x),x∈Q(1.2.4)18называется рядом Неймана для уравнения (1.2.2).

Если он сходится при всехx ∈ Q, то на решении уравнения определен операторK ∞ u(x) = lim K i u(x)(1.2.5)i→∞и справедливо равенствоu(x) =∞XK i F (x) + K ∞ u(x),x ∈ Q.(1.2.6)i=0Для неотрицательной функции F на решении уравнения (1.2.2) справедливо неравенствоKu(x) 6 u(x),x ∈ Q,(1.2.7)из которого следует, что последовательность функций ϕi = K i u – неубывающая. Следовательно, сходимость ряда Неймана равносильна, в данном случае,ограниченности последовательности ϕi (x) снизу.

Таким образом справедливалемма.Лемма 1.2.2 Пусть уравнение (1.2.1)с неотрицательной правой частью Fимеет решение u(x). Тогда ряд Неймана для F сходится тогда и только тогда, когда последовательность K i u i = 1, 2, . . . ограничена снизу.Статистические оценки суммы ряда Неймана обычно строят в предположении сходимости ряда Неймана для мажорантного уравненияZu(x) = u(y)|k|(x, dy) + |F (x)|, x ∈ Q,(1.2.8)Qiчто гарантирует абсолютную сходимость ряда (1.2.4), так как |K i F | 6 K |F |.Здесь K – интегральный оператор с ядром |k|. В вероятностной теории потенциала [31, 63] сумму ряда Неймана называют потенциалом и обозначают GF .В силу теоремы Б.Леви потенциал G|F | является неотрицательным решением19∞мажорантного уравнения.

Очевидно, что K G|F | = 0. Функция v = u − G|F |удовлетворяет однородному уравнениюZv(x) = v(y)|k|(x, dy) , x ∈ Q.(1.2.9)QФункции удовлетворяющие однородному интегральному уравнению называютинвариантными, а функции удовлетворяющие неравенству (1.2.7) – эксцессивными для ядра k. Из предыдущих рассуждений вытекает справедливость следующей теоремы, принадлежащей Риссу [31].Теорема 1.2.1 Пусть функция F и ядро k неотрицательны, тогда ряд Неймана для уравнения (1.2.2) сходится в том и только том случае, когда существует неотрицательное решение уравнения.

При этом всякое решениеуравнения единственным способом раскладывается в сумму потенциала и инвариантной функции.Доказательство. Если ряд Неймана сходится, то его сумма являетсянеотрицательным решением уравнения. Достаточность следует из леммы 1.2.2.Пусть решение u имеет два разложения: u = GF + v = GF1 + v1 . ТогдаK ∞ v = K ∞ v1 , так как K ∞ GF = 0 и K ∞ GF1 = 0. Значит, v = v1 , так как обе этифункции инвариантные. Тогда функция u1 = GF = GF1 является решениемуравнения (1.2.2) как с правой частью F , так и с правой частью F1 , то естьF = F1 .Часто уравнение (1.2.2) расматривается в каком-либо нормированномпространстве функций, например, в пространстве непрерывных функций C(Q)или в пространстве ограниченных функций M (Q), если Q – компактное множество в евклидовом пространстве Rn .

Очевидным достаточным условием сходимости ряда Неймана для мажорантного уравнения в этом случае являетсянеравенство ρ(K) < 1 для спектрального радиуса оператора K. Часто вместосамого решения требуется несмещенно оценить интеграл от него по некоторому20заряду ν. Понятно, что имея статистическую оценку решения уравнения (1.2.2)легко построить и оценку интеграла от него. Однако, в этом случае не требуется сходимость ряда Неймана всюду. Достаточно сходимости |ν| почти всюду,которая есть при сходимости ряда, например, в L1 (Q, |ν|).1.3Субстохастические ядра.