А.А.Чекмарев - Начертательная геометрия и черчение. 476 стр., М.; ГИЦ Владос, 2002 (А.А. Чекмарев - Начертательная геометрия и черчение), страница 8

4Л. Угол между прямой и плоскостью Угол между прямой и плоскостью определяется углом между этой прямой и ее проекцией на плоскость (см., например, угол а на рис. 4.23). Для построения угла между прямой и плоскостью в общем случае требуется: найти точку пересечения прямой с плоскостью; провести из некоторой точки прямой перпендикуляр на плоскость; определить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью; полученные точки пересечения прямой и перпендикуляра с плоскостью соединить прямой линией. Угол между прямой и построенной линией будет искомым.

Для определения величины угла а между прямой и плоскостью на практике поступаюттак. Определяют утолмежду прямой и перпендикуляром из точки Рис. 4.23 прямой к плоскости (рис. 4.23). Иско- 50 мый угол определяют вычитанием из 90' угла между прямой и перпендикуляром к плоскости: ~ЗАЬ, = 90' — ~АВЬ,. Величина угла между заданной прямой и перпендикуляром может быть определена различными способами, в том числе рассмотренными на рисунках 5.10 и 5.13. 4.8. Примеры комплексных задач Рассмотренные вопросы построения параллельных и перпендикулярных прямых линий и плоскостей позволяют решать комплексные задачи.

Рассмотрим некоторые типовые задачи и примеры их решения. Пример 1 (рис. 4.24). Даны плоскость Р, заданная проекциями еу; е1 и 4'Ь; 4Ь пересекающихся прямых; проекции тт; т! и т'л', тл пересекающихся прямых МЕ и М)У, проекции а'Ь; аЬ и Ьт; ЬЯ пересекающихся прямых АВ и В1 определяющих плоскость четырехугольника АВСВ. Требуется построить проекции этого четырехугольника, если вершина С лежит на прямой В1 и равноудалена от сторон угла лги, а сторона АР параллельна плоскости Ри равна 85 мм. В данном случае может быть принят, например, следующий план решения (см. рис.

4.25): находят проекции е', с вершины С как точки, принадлежащей прямой В1 и равноудаленной от сторон угла ХМ%; строят проекции прямой, на которой должна быть расположена сторона А2), как прямой, лежащей в плоскости АВ1 и параллельной плоскости Р, т. е. как прямой, параллельной линии пересечения этих плоскостей и проходящей через точку А; строят проекции ан; аИ стороны АЮ, для чего на построенной прямой откладывают заданную величину стороны АЮ и получают точку 1У„ проводят сторону С2) через построен- а' ные точки.

Построения приведены на рисунке 4.25. а' Построение щюекпий с', с вершины С мно- и гоупшьника, равноудаленной от сторон узла " Ь' Ь и лежащей на заданной прямой, приведено в левой части рисунка 4.25. Точки, равноудаленные от сторон угла л Ч ХМЛг, лежат в биссекторной плоскости а этого угла. В общем случае для ее построения ну:к- Ь но иметь биссектрису угла и пересекающийся с ней перпендикуляр к плоскости )чла. Рис. 4.24 51 л, Рис. 4.25 Чял Эту задачу можно упростить, построив биссекгорную плоскость как перпендикулярную к середине равнобедренного треугольника, построенного на сторонах угла. Для построения проекций 1'2; 1 — 2 основания равнобедренного треугольника с проекциями 1тл'2; 1 — т — 2 на проекциях каждой из сторон выбирают произвольные точки, например точки с проекциями 1; 1 и 3; 3.

Строят натуральные величины е1 и гл'3 отрезков с проекциями в '1', т — 1 и т '3; т — 3. На натуральной величине одного из отрезков, например т '3, отмечают натуральную величину другого отрезка — т1 [точку 2,[гл 2) И [т1)). По точке 2 строят проекции и'2; и — 2 отрезка, равного по длине отрезку с проекциями гл '1; т — 1. 52 Проекцию биссекторной плоскости Х угла ЕЬ4Ьг задают проекциями Ь'Ь;, ЬЬ, горизонтали и Ь'8', Ь8 фронтали, перпендикулярными к основанию с проекциями 1'2; 1 — 2 треугольника и проведенными через его середину— точку с проекциями 1г', Ь (см. рис. 429). Проекции с', с вершины С на прямой В1 находят как проекции точки пересечения этой прямой с плоскостью Х Для этого используют вспомогательную горизонтально-проецируюшую плоскость со следом Яь, в которую заключают прямую с проекциями Ь'1; Ьг'. Горизонтальную проекцию 4 — 5 линии пересечения плоскости 5 с плоскостью В отмечают в пересечении горизонтальных проекций ЬЬ, и Ь8 и следа Яь.

Ее фронтальную проекцию 4'5' строят с помощью линий связи. В точке пересечения проекций 4'5' и Ь'г' находят фронтальную проекцию с'вершины С, а по ней — горизонтальную проекцию с. .Сторону АВ, параллельную заданной плоскости Р, можно построить как линию, параллельную линии пересечения плоскости многоугольника и плоскости Р, или как линию пересечения плоскости многоугольника со вспомоштельной плоскостью О, параллельной плоскости Р и проходящей через заданную вершину. Построение линии пересечения двух плоскостей в общем случае рассмотрено в 4.2, а для первого случая'приведено выше (см. рис.

4.9). Второй вариант построения приведен на рисунке 4.25. Это построение в данном случае облегчается тем, что одна общая точка плоскости многоугольника и вспомогательной плоскости Ц уже имеется (плоскость Ц проходит через данную вершину А). Проекции плоскости Ц, параллельной плоскости Р, задают проекциями 4',Ьо 4,Ь, и е,'Д прямых, проходяших через вершину с проекциями о', а и параллельных проекциям 9'Ь; 4Ь и еТ; е1 заданных прямых. Вторую общую точку плоскости О и плоскости многоугольника находят с помощью вспомогательной, например горизонтальной, плоскости Т, заданной следом Т„.

С плоскостью многоугольника она пересекается по прямой, проекции которой б'7; б — 7, с плоскостью Ц вЂ” по прямой, проекции которой 8'9; 8 — 9. В пересечении горизонтальных проекций б — 7 и 8 — 9 этих прямых находят горизонтальную проекцию 10, а по ней фронтальную проекцию 10' искомой общей точки. Через их проекции и проекции а'и а проводят проекции 10'а', 10-а искомой стороны многоугольника. На них отмечают проекции И; И искомой вершины по заданной величине а'Ь стороны АР гпостроив предварительно натуральную величину отрезка а'11). Через построенные точки с', с и Ы; А проводят проекции сИ, с'8' и 8'а', Ыа сторон. Пример 2 грие. 4.26). Даны: плоскость Р, заданная проекциями Ь'1; Ь1 и Ь'4', Ь4 пересекающихся прямых; проекции и', гл и л', и двух точек; проекции 8'е', Ие и 47; 81 пересекаюшихся прямых и фронтальная проекция а'е'стороны АЕ плоского пятиугольника АВСТ)Е. Требуется построить проекции этого пятиугольника, если вершина С лежит на прямой Ш и равноудалена от точек 24 и Лг, а сторона АВ параллельна плоскости Р и равна 70 мм.

53 В данном случае может быть принят, например, следующий план решения: находят проекции с', с вершины С как точки, принадлежащей прямой Руи равноудаленной от точек М и Ь(; находят недостающую горизонтальную проекцию а из условия принадлежности точки А плоскости, заданной пересекающимися прямыми с проекциями А'е7 Ае и И7; й; строят проекции а 'Ь; аЬ стороны АВ (как и стороны АР в примере 1); проводят проекции Ь'с7 Ьс стороны ВС через построенные проекции точек. Рассмотрим из указанных построений только построение на проекциях прямой проекций с7 с точки (вершины С), равноудаленной от двух заданных точек М и ЬГ.

Множеством точек, равноудаленных от двух заданных точек М и )(г, является плоскость Ю, проведенная через середину отрезка Мйг перпендикулярно к нему. В точке пересечения плоскости Юс заданной прямой находят искомую вершину С. Построение проекций с', с вершины С приведено на рисунке 4.27. Проекции плоскости В задают проекциями двух главных линий — 17г', 1 — и фрон- тали и 27г', 2 — и горизонтали. Они перпент' дикулярны к отрезку, заданному проекциями а' т'л', глл, и проходят через его середину— 1' точки й; и. Проекции с', с точки пересе- Р чения прямой Р1 с плоскостью Я находят и с помощью фронтально-проецирующей плоскости, задаваемой следом Р„. г( и 1 е 1 Пример 3 (рис. 4.28).

Даны: плоскость, заданная следами Р, и Рь, проекции м', гл, и', л и Г, ! трех точек и проекции Ь'с', Рис. 4.26 Ьс и Ь7; Ы двух пересекающихся прямых, определяющих плоскость четырехугольни- )Р , /дг ка АВСР. л Построить проекции этого четыреху- гольника, если вершина А равноудалена от Г точек М, )(г и 1, сторона СР параллельна 'Р и плоскости Р и равна 85 мм. е' План решения в данном случае может 1(Р быть принят, например, следующий: строят проекции а', а вершины как точ- ки заданной плоскости и равноудаленной от трех заданных точек; е 1 строят проекции с7(; сН стороны (как и стороны АР в примере 1); проводят проекции а7(; вИ стороны 7 л через построенные проекции точек. Рассмотрим построение на плоскости Рис. 4.27 точки, равноудаленной от трех заданных то- чек М ?р' и Е. Известно, что точки, равно- удаленные от трех заданных точек М, Фи Е, 1Р лежат на перпендикуляре, проведенном из центра описанной окружности, проходящей через точки М, У и Е.

Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью заданного многоугольника является искомой вершиной. Построение проекций вершины приведено на рисунке 4.29. Проекции 1'2; 1 — 2 перпендикуляра строят как проекции линии пересечения плоскостей 5 и Я, являющихся соответственно множеством точек, равноудаленных от точек Рис. 4.28 Ь М и ?У и от точек ?Гг и Е. Зти плоскости проводят соответственно перпендикулярно отрез- /5р кам с проекциями лр'л', рлл и Гл', 1и через их середины — точки с проекциями /с', /с и1;.1 При построении плоскости Ю учитывают, что'точки М и У находятся на одинаковом расстоянии от плоскости К (по условию), поэтому она является фронтально-проецируюшей.

Ее задают следом 3„. Плоскость Я задают проекциями 1'д', 14 фронтали иУ'д',1л горизонтали. Линию пересечения 1 — 2, (1'2', 1 — 2) плоскостей 3 и Я находят по фронтальным проекциям 1' и 2'их общих точек 1 и 2 Точку пересечения А прямой 1 — 2 с плоскостью многоугольника находят с помощью вспомогательной горизонтальнопроецируюшей плоскости Т, проведенной через прямую 1 — 2.