А.А.Чекмарев - Начертательная геометрия и черчение. 476 стр., М.; ГИЦ Владос, 2002 (А.А. Чекмарев - Начертательная геометрия и черчение), страница 3

Фронтальная и профильная проек- 14 ции точки (а' и а") лежат на одной линии связи (а'а"), перпендикулярной оси 8. Профильную проекцию точки строят несколькими способами (рис. 1.21). Через фронтальную проекцию проводят линию связи, пернендикулярную к оси ~, и от оси 2 отмечают координату у. (отрезок аа„). Это построение можно выполнить также с помощью дуги окружности, проведенной из центра О, или с помощью прямой, проведенной под углом 45' к оси у. Первый из указанных способов предпочтителен как более точный.

Точки в четвертях и октавтах пространства. Необходимость использования четвертей и октантов пространства возникает при решении некоторых задач, например при нахождении проекций точки пересечения прямых или прямой и плоскости, которые пересекаются за пределами первого октанта. Плоскости ~' и Н Рис.

1.20 Рис. 1.21 15 при пересечении образуют четыре двугранных угла, которые нззывают квадрантами или четвертями пространства. На рисунке 1.22, а указан принятый порядок отсчета четвертей 1, 11, 111, 1У. Ось проекций делит плоскости й'и Н на полуплоскости, условно обозначаемые Н и — Н, 1' и — К На рисунке 1.22, б приведен чертеж точек А, В, С, Р, Е, расположенных в различных четвертях пространства (рис. 1.22, а). Точка А расположена в первой четверти. Ее проекции на чертеже (рис. 1.22, б) аналогичны чертежу на рисунке 1.17.

Точка В ближе к 1', чем к — Н; на чертеже ЬЬ„<Ь'Ь„. Точка С одинаково удалена от — Н и от У; проекции с'и с совпадают между собой. Точка Р расположена в третьей четверти. Горизонтальная проекция 61получается над осью проекций, фронтальная а' — под осью проекций. Точка Р расположена от — Р дальше, чем от — Н, поэтому на чертеже дН„>И'61„. Точка Е расположена в четвертой четверти.

Точка Е ближе к Н, чем к — К е'е„<ее„. Точка Е (на рис. 1.22, а не показана) одинаково удалена от — Р'и от Н, поэтому ее фронтальная 7"' и горизонтальная 7'проекции совпадают. Система из трех плоскостей проекций показана на рисунке 1.23. В своем пересечении они образуют восемь трехгранных углов — восемь октантов. Их нумерация — 1, П, 111, 1У, У, У1, У11, М11 — приведена на рисунке 1.23. Из рисунков 1.22, а и 1.23 видно, что четверти пространства нумеруются как 1 — Р/ октанты. Система знаков для отсчета координат х, у, ~ точек в октантах (в соответствии с рис.

1.23) будет следующая: а) Рис 1.22 16 октант 1 (+, +, +); октант П (+, —, +); +2 П1 (+, —, — ); октант 1У (+, +, — ); !! октант У ( —, + +) -- -!с- — - у 1 Ф октант У1 ( —, —, +); октант У11 ( —, —, — ); октант ЧП ( —, +, — ). Например, точка ( — 25; +15; !П (, +у — 10) находится в октанте МП, !Ч " у!П а точка ( — 25; — 10; — 10) — в октанте УП. Проекции точки, располо- Рис.

ь23 женной в 1 октанте, не могут наложиться одна на другую. Это же относится к точкам, расположенным в М1 октанте. Для остальных октантов две или все три (для П и У1П октантов) проекции одной и той же точки могут оказаться наложенными друга на друга. Трехмерное пространство, в котором действуют аксиомы Евклида (П1 в. до н. э.), стали называть евклидовым пространством. 1.6.

Проекции с числовыми отметками и векториальные В 1.4 рассмотрен способ обеспечения обратимости чертежа проецированием на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, который повсеместно применяется в машиностроительном и строительном черчении.

Обратимость чертежа обеспечивается и другими способами. Например, если рядом с обозначением ортогональной проекции точки на одной плоскости проекций указать величину расстояния (т. е. координату 2) от точки до ее проекции, то такой чертеж тоже будет обратимым. При этом положительному знаку будет соответствовать положение точки над плоскостью проекций, отрицательному — под ней. Такие проекции носят название проокзтий с числовыми отметками.

Их используют, например, в топографическом черчении на географических картах, на планах местности. Белее подробно они будут рассмотрены в главе, посвяшеннои элементам топографического черчения. Удаление точек от плоскости проекций можно указать произволыю направленными параллельными отрезками (векторами), исходящими из проекций этих точек. Такие проекции называют векториальными или федоровскими (названы по имени академика Е.С. Федорова (1853 — 19 19) — основоположника теоретической кристаллографии).

Для точек, расположенных выше плоскости проекций, векторы считаются положительными, для расположенных ниже плоскости проекций — отрицательными. Длины векторов равны величине расстояний соответствующих точек от плоскости проекций. Чертежи в федоровских проекциях применяют в геологии и горном деле, в топографических съемках, земляных и других работах.

П' 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Как строят центральную проекцию точки? В каком случае центральная проекция прямой линии является точкой? В чем заключается способ проецирования, называемый параллель- ным? Как строят параллельную проекцию прямой линии? Может ли параллельная проекция прямой линии представлять со- бой точку? В каком случае при параллельном проецировании отрезок прямой линии проецируется в натуральную величину? Как расшифровывается понятие "ортогональный"? Как читается свойство проецирования прямого угла? Что такое эпюр Монжа? Что такое система К Ни как называют плоскости проекции Ги Л? Что называют осью проекций? Как строят проекции точки в системе 1; Ж Что такое система К Н, Ь'и как называют плоскость проекции И? Как строят профильную проекцию точки по ее фронтальной и го- ризонтальной проекциям? Что такое прямоугольные координаты точки и в какой последова- тельности их записывают в обозначении точки? Что такое октанты? В каком октаите значения координат по всем осям отрицательные? Какую координату точки обозначают числом в проекциях с число- выми отметками? Глава вторая ПРОЕЦИРОВАНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ 2.1.

Проецирование отрезка и деление его в данном отношении Наглядное изображение отрезка АВ прямой и его ортогонального проецирования на плоскость Р показано на рисунке 2.1. Рассмотрим ортогональное проецирование отрезка АВ с учетом свойств параллельного проецирования (1.2). Параллельные проецирующие прямые Аа, и ВЬ„проведенные из точек А и В прямой, образуют проецирующую плоскость Д, пересекающуюся с плоскостью проекций Р. Линия пересечения плоскостей Р и Ц проходит через проекции а, и Ь, точек А и В на плоскости проекций Р.

Эта линия и является единственной проекцией прямой на плоскости проекций Р. Между длинами отрезка АВ прямой и его проекции а,Ь, имеется зависимость 1арЬР~ = ! АВ( сов ~р, где ср — угол межлу отрезком и плоскостью проекций. При 19 =0 отрезок проецируется в натуральную величину (( арЬР ( М ( АВ 1); при ср = 90' от- 0 резок проецируется в точку. В остальных случаях длина проекции отрезка меньше длины самого отрезка. ь а Наглядное изображение проецирования отрезка АВ прямой на две Рис. 2.1 плоскости проекций в системе г', Н показано на рисунке 2.2, чертеж— Ь' на рисунке 2.3. и Если какая-либо точка принадлежит прямой, то ее проекция принадлежит проекции прямой.

Например, точка Ю (см. рис. 2.1) принадлежит прямой АВ, г ее проекция И, — проекция арЬ,. На ри- ь сунке 2.3 точка с проекциями а ' и В принадлежит прямой с проекциями а'Ь', аЬ. Рис. 2.2 19 Рис. 24 4 а Рис 2.3 Вели точка на отрезке делит его длину в данном отношении, то проекция точки делит длину одноименной проекции отрезка в том же отношении (см. рис. 1.8).

Например, на рисунке 2.1 отношение !АВ! / ~ РВ1= ~ аД~ / ! дгЬ,Д. Для рисунка 2.3 — отношения ! а с11 / ! й'Ь | и ~ аа '1 /'1 аЬ ~ равны отношению ~ АР ! / ! РВ), Пример построения на чертеже проекций к' и й точки К, делящей отрезок с проекциями а'Ь', аЬ в отношении 1:3, показан на рисунке 2.4. 2.2. Положение прямой линии относительно плоскостей проекций и особые случаи положения прямой Относительно плоскостей проекций прямая может занимать различные положения: не параллельна ни одной из плоскостей проекций К Н, Иг параллельна одной из плоскостей проекций (прямая может и принадлежать этой плоскости); параллельна двум плоскостям проекций, т.

е. перпендикулярна третьей. Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения (см. рис. 2.3, 2.4), Прямую, параллельную одной из плоскостей проекций или двум плоскостям проекций, т.е. перпендикулярную третьей, называют прямой частного положения. На рисунке 2.5 приведены наглядные изображения и чертежи отрезков прямых частного положения — параллельных плоскостям проекций: 20 а) прямая АВ параллельна плоскости Н (ее называют горизонтальной прямой); фронтальная проекция а'Ь' параллельна оси х; длина горизонтальной проекции отрезка равна длине самого отрезка ([ оЬ [ а [АВ[); угол р, образованный горизонтальной проекцией и осью проекций, равен углу наклона прямой к фронтальной плоскости проекций; б) прямая СЮ параллельна плоскости )'(ее называют фронтальной прямой); горизонтальная проекция со параллельна оси х длина фронтальной проекции отрезка равна длине самого отрезка ([с'о'[ Ы [СХЦ); угол а, образованный фронтальной проекцией и осью проекций, равен углу наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций; в) прямая ЕГ параллельна плоскости И'(ее называют профильной прямой)'„(еУ') 1! [Ох) и (еЯ )~ [Оу); длина профильной проекции отрезка равна длине самого отрезка ([е"~'"[ й [ ЕГ[); углы р и а, образованные профильной проекцией с осями ~ и у, равны углам наклона прямой к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций соответственно.

а) Рис 2.5 а) На рисунке 2,6. приведены чертежи отрезков прямых, перпендикулярных плоскостям проекций; а) прямая перпендикулярна плоскости Н, ее проекция а'Ь' перпендикулярна оси х, проекции а и а совпадают„ б) прямая перпендикулярна плоскости К ее проекция е~ перпендикулярна оси х,проекции е'и /" совпадают; в) прямая перпендикулярна плоскости И; ее проекции е'сг', еИ параллельны оси х, проекции е" и И" совпадают. Зти прямые называют проецирующими. Как уже указывалось, если точка принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой (см. рис. 2.3, 2.4).