А.А.Чекмарев - Начертательная геометрия и черчение. 476 стр., М.; ГИЦ Владос, 2002 (А.А. Чекмарев - Начертательная геометрия и черчение), страница 4

Обратное положение: если две проекции точки принадлежат одноименным с ними проекциям прямой в системе К Н, то точка принадлежит прямой,— справедливо для проекций всех прямых, кроме профильной. Для профильных прямых обратное положение справедливо только в системах К Н, И; или К И; или Н, И'. Рис. 2Л Это положение наглядно иллюстрируется на рисунке 2.7: а) (АВ)]])У, ][У, КН; Ке(а'Ь'); Ие(аЬ), но И"е(а"Ь")=ь АГАВ); б) (СР)]]Н, Н' У, 4[)У; и'е(с'с('); и"е(с "сК"), но те(СЫ) =»Ые(СЮ); в) (ЕГ)Ъ~У, МН, 4'И', и'е(с'1'); и е(сг) =»Фе (ЕГ) и соответственно л" е(е".1").

2.3. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов его наклона к плоскостям проекций На рисунке 2,8 видно, что натуральная величина отрезка ВС прямой общего положения является гипотенузой прямоугольного треугольника ВС вЂ” 1. В этом треугольнике один катет  — 1 параллелен плоскости Ни равен по длине горизонтальной проекции отрезка ВС ( [ — 1] Ы [Ьс]), а величина второго катета равна разности расстояний точек С и В до плоскости проекций и (~ с — 1] = г,— г~=л2). Построения на чертеже для определения натуральной величины отрезка ВС прямой общего положения приведены на рисунке 2.9. В качестве одного катета принята горизонтальная проекция Ьс, длина другого катета ]СС)=)с'1']=Ь2. Длина гипотенузы Ьс равна длине отрезка ВС ( [ЬС] а [ВС] ), Другое построение выполнено на фронтальной проекции. Проекция Ь'с' отрезка взята за один катет прямоугольного треугольника.

Длина другого катета равна разности расстояний от концов отрезка до плоскости У()ВЬ'! = 2; — У,= а К). Длина гипотенузы Вс' равна длине отрезка ВС ([Вс'] И [ВС]). Рис. 2Я Рис. 2.8 Итак, натуральную величину отрезка определяют как гипотенузу прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является п1ризонтальная (фронтальная) проекция отрезка, другим — разность координат концов отрезка до горизонтальной (фронтальной) плоскости проекций. Этот метод иногда называют способом прямоугольного треугольника.

Угол между прямой и плоскостью проекций определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. На рисунке 2.8. таким углом между прямой ВС и плоскостью Н является угол а (~ВМЬ). Угол а равен углу С — 1, так как одна сторона МС общая, а две другие  — 1 и МС параллельны. Величину угла а определяют из того же треугольника С — 1, что и натуральную величину отрезка ВС. На рисунке 2.9 показано, что ~а й ~сЬС.

Угол ~3 наклона прямой к фронтальной плоскости проекций определяется из треугольника Ь'с'В, построенного на фронтальной проекции отрезка: ~Д Я ~ Ь'с'В. 2.4. Взаимное положение прямых Как известно, прямые в пространстве могут быть пересекающимися, параллельными или скрещивающимися. Рассмотрим зти случаи. Пересекающиеся прямые. Наглядное изображение двух прямых АВ и СР, пересекающихся в точке Х, приведено на рисунке 2.10, их чертеж в системе ~; Н вЂ” на рисунке 2.11.

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а проекции точек пересечения лежат на одной линии связи. Ь' Рис. 2.11 Рис. 2.10 Для прямых, кроме профильных, в системе К Н справедливо и обратное утверждение: если в системе К Н точки пересечения одноименных проекций прямых, кроме просЬильных, лежат на одной линии связи, то прямые пересеканзтся. Если в системе К Н одна из рассматриваемых прямых профильная, то, чтобы ответить на вопрос, пересекаются ли прямые, следует построить их профильные проекции.

Примеры чертежей пересекающихся и непересекающихся (скрещивающихся) прямых, из которых одна с проекциями а'Ь', аЬ, а"Ь"- профильная, показаны на рисунках 2.12 .и 2.13. На рисунке 2.12 все три проекции к', к, /с" точки К прямой СР принадлежат и трем одноименным проекциям а'Ь', аЬ и а"Ь" прямой АВ, т.

е. прямые пересекаются. На рисунке 2.13 профильная проекция 1" точки Х прямой СР не принадлежит профильной проекции а"Ь", следовательно, прямые АЗ и СР не пересекаются (см. также рис. 2.7, а). На рисунке 2.14 показаны прямые, две проекции которых пересекаются в одной точке, а две другие проекции сливаются в одну линию. Это означает, что обе прямые принадлежат плоскости Р, перпендикулярной плоскости Н (рис. 2.15). Частный случай ортогональной проекции двух взаимно перпендикулярнь1х прямых, из которых одна параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, рассмотрен в $1.3 (см. рис.

1.10). Чертеж прямого угла АВС со стороной ВС, параллельной плоскости Н„приведен на рисунке 2.16. Горизонтальная проекция Ьа стороны ВА перпендикулярна горизонтальной проекции Ьс стороны ВС. Эта особенность проецирования прямого угла упрощает решение ряда задач. Например, пусть требуется начертить перпендикуляр из точки с проекциями а', а к прямой с проекциями Ь'с', Ьс, параллельной плоскости 1'(рис. 2.17). Для этого из точки а' проводим перпендикуляр а'т' к Ь'с'. Построив проекцию т, проводим горизонтальную проекцию ат перпендикуляра. Это свойство будет широко использовано в дальнейшем.

Заметим, что проекция любого угла в зависимости от положения его плоскости может представлять собой острый, прямой или тупой угол (или прямую линию, если плоскость угла перпендикулярна плоскости проекций). Если угол не прямой и одна сторона его параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость острый угол проецируется также в виде острого угла меньшей величины, тупой угол — в виде тупого угла большей величины.

Параллельные прямые. Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. Действительно (рис. 2.18), проецирующие плоскости Р и (',), проведенные через параллельные прямые АВ и СР, параллельны между собой. С плоскостью проекций Н они пересекаются по параллельным прямым аЬ и сс( — проекциям прямых АВ и СР на плоскости Н. Однако из параллельности проекций не всегда следует параллельность прямых.

В примере на рисунке 2.19 проекции а'Ь', е'1', аЬ, ег"профильных прямых АВ и ЕР между собой параллельны. Однако из взаимного положения их профильных проекпий видно, что сами прямые не параллельны. Для прямых общего положения эти условия параллельности следующие: если одноименные проекции прямых общего положения параллельны в системе двух плоскостей проекций, то прямые параллельны (рис. 2.20). Для прямых частного положения: если одноименные проекции прямых параллельны одной из осей проекций, то прямые параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые.

По рисунку 2.21 заключаем, что профильные прямые 5 — б и 7 — 8 параллельны, так как параллельны их профильные проекции 5" б" и 7" 8" а' Рис. 2.17 Рис. 2.18 Рис. 2.19 Рис. 2.20 Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек. Наглядное изображение двух скрещивающихся прямых АВ и СР общего положения дано на рисунк ке 2.22, их чертеж — на рисунке 2.23.

С точкой пересечения одноименных Рис. 2.21 проекций аЬ и сЫ (рис. 2.22) совпадают проекции 1с и 1 двух точек К и 1„ принадлежащих различным прямым СР и АВ. Точки пересечения одноименных проекиий скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи (рис. 2.23). Интересен вопрос: какая из изображенных на чертеже прямых выше другой нли ближе другой к наблюдателю? Это определяют путем анализа положения определенных точек этих прямых. На рисунке 2.22 видно„что при взгляде сверху по указанной стрелке точка 1 на прямой АВ закрывает точку К (проекция точки К на плоскости Н показана поэтому в скобках). Соответственно и на чертеже, приведенном на рисунке 2.23, видно, что фронтальная проекция 1' выше фронтальной проекции к', и при взгляде сверху по стрелке вепри проецировании на плоскость Нточка 1 закрывает точку К(горизонтальная проекция 1с показана в скобках).

На плоскости У совпадают фронтальные проекции 1' и 2' точек прямых АВ и СР. При взгляде спереди по стрелке М видно, что точка 1 прямой АВ Рис. 2.23 Рис. 2.22 28 находится ближе к наблюдателю, и при проецировании на плоскость уточка 1 прямой АВзакрывает точку 2прямой СЮ 1фронтальная проекция 2' точки 2 показана в скобках). Рассмотренные точки скрещивающихся прямых, проекции которых на одной из плоскостей совпадают, в литературе иногда называют конкурирующими точками.

10 !2 При каком положении относительно плоскостей проекций прямую называют прямой общего положения? Как выралиется соотношение между проекцией отрезка прямой и самим отрезком? Как расположена прямая в системе Н, 'г', В; если все три проекции отрезка этой прямой равны между собой? Как построить профильную проекцию отрезка прямой общего по- ложения по данным фронтальной и горизонтальной проекциям? Как располагается фронтальная проекция отрезка прямой линии, если его горизонтальная проекция равна самому отрезку? Как располагается горизонтальная проекция отрезка прямой линии, если его фронтальная проекция равна самому отрезку? Как разделить на чертеже отрезок прямой линии в заданном отно- шении? Как построить на чертеже треугольники для определении длины отрезка прямой линии общего положения и ее углов с горизонталь- ной и фронтальной плоскостями проекций? Какое свойство параллельного проецирования относится к парал- лельным прямым? Можно ли по фронтальной и горизонтальной проекциям двух про- фильных прямых определить, параллельны ли между собой эти прямые? Как следует истолковать точку пересечения проекций двух скрещи- вакпцихся прямых? В каком случае прямой угол проецируется в виде прямого угла? Глава третья плоскость 3.1.