А.А.Чекмарев - Начертательная геометрия и черчение. 476 стр., М.; ГИЦ Владос, 2002 (А.А. Чекмарев - Начертательная геометрия и черчение), страница 2

При параллельном проецировании применяют параллельные проецирующие прямые, проведенные в заданном направлении относительно плоскости проекций. Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проекции называют прямоугольными или ортогональными, в остальных случаях — косоугольными (на рис. 1.6 направление проецирования указано стрелкой под углом а л 90' к плоскости проекций Р). При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального проецирования, а также возникают следующие новые свойства. 1.

Параллельные проекции взаимно параллельных прямых параллельны, а отношение длин отрезков таких прямых равно отношению длин их проекций. Если прямые МАГ и ХХ (рис. 1.7) параллельны, то проецирующие плоскости Д и Т параллельны, так как пересекающиеся прямые в этих плоскостях взаимно параллельны: МФ1 КЕ— по условию, Аа,а Сс,1Ю . Следовательно, проекции тгп, и Щ параллельны как линии пересече- Я ния параллельных плоскостей Ц и Т с плоскостью Р. Отметим на прямой М1ч произ- вольный отрезок АВ и на прямой ар КŠ— произвольный отрезок СЮ. р л Проведем в плоскости Д через точ- ку А прямую А — 1~1 аД и в плос- Рис ь6 кости Т через точку С вЂ” прямую С вЂ” 2~~ сф,.

Отрезки 1А — 1) = [а,Ь,), 1С вЂ” 2) = (с,ф как отрезки параллельных между параллельными. Отрезки С вЂ” 2!) с,а',!) а,Ь, и, следовательно, С вЂ” 28А — 1. Отрезки  — 18.0 — 285, ЛА — 1 с"~СЗ вЂ” 2, так как все их стороны взаимно параллельны. Из подобия треугольников А — 1 и СЮ вЂ” 2 следует: ~ АВ ~: ~ СЛ ~ = ~ А — 1): )С вЂ” 2 ~ =! аЩ: ~ сЩ. Из рассмотренного следует: а) если длина отрезка прямой делится точкой в каком-либо отношении, то и длина проекции отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении (рис. 1.8): ) АК): ) КВ ) = ~ а,/с ~: ~ Щ~; б) проекции равных по длине отрезков взаимно параллельных прямых взаимно параллельны и равны по длине. Это очевидно, так как (см.

рис, 1.7) при ! АВ): ~ СЮ ~ = 1 будет ~ а,ЬД = ) с,сЦ. Поэтому при косоугольном проецировании в общем случае параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат проецируются в параллелограмм. 2. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется при параллельном проецировании на эту плоскость в такую же фигуру. 3. Параллельный перенос фигуры в пространстве или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекции фигуры. Параллельные проекции, как и центральные при одном центре проекций, также не обеспечивают обратимости чертежа.

Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела. Параллельные проекции применяют для построения наглядных изображений различных технических устройств и их деталей, например аксонометрических проекций, рассматриваемых ниже. 1.3. Прямоугольное (ортогональное) проецирование Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, называют прямоугольным или ортогональным проецированием. Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки назывшот основание перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость проекций.

Прямоугольная проекция с~, точки Ю показана на рисунке 1.9. Наряду со свойствами параллельных (косоугольных) проекций ортогональное проецирование имеет следующее свойство: ортогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, взаимно перпендикулярны. 5, .1.Р Рис. 1.9 Рис. 1.10 го Докажем зто.

На рисунке 1.10 ~АВС = 90'; (АБ) !) Р; (СВ) не перпендикулярно Р. Докажем, что ~агЬ,с,= 90 . Проецирующая прямая ВЬ, перпендикулярна плоскости проекций Р и прямой ВА. Прямая ВА перпендикулярна плоскости Ц (О «ВЬ;, О «ВС), так как прямая ВА перпендикулярна двум пересекающимся прямым зтой плоскости (~АВС = 90' — по условию, а ~АВЬ,= 90' — по построению). Проекция Ь,а, перпендикулярна плоскости Д, так как (Ь,а,) ~ (ВА). Следовательно, проекция плоскости (г на плоскости Р— прямая ЛХ, перпендикулярная проекции Ь,а,, Но с прямой ХХ совпадает проекция Ь,с„т. е.

~а,Ь,с,= 90, что и требовалось доказать. Соответственно при ~ЭВА= 90', (ЭВ),1 Ри (А6) 1 Римеем: ~с(,Ь,а,= 90 . Ортогональное проецирование имеет ряд преимуществ перед центральным и косоугольным параллельным проецированием. К ним, в первую очередь, относятся простота геометрических построений ортогональных проекций точек и сохранение на проекциях при определенных условиях формы и размеров проецируемой фигуры. Указанные преимущества обеспечили применение ортогонального проецирования для разработки чертежей во всех отраслях промышленности и в строительстве. 1.4. Проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций Обратимость чертежа может быть обеспечена проецированием на две непараллельные плоскости проекций.

Для удобства проецирования в качестве двух плоскостей проекций выбирают две взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 1.11). Одну из них принято располагать горизонтально— ее называют горизонтальной ллоскостью проекций, другую— вертикально. Вертикальную плоскость называют фронтальной ллоскостью проекций. Эти плоскости проекций пересекаются по линии, называемой осью проекций.

Ось проекций разделяет каждую из плоскостей проекций на две полуплоскости. Обозначим плоскости проекций буквами: ~' — фронтальную, Н вЂ” горизонтальную, ось проекций — буквой х или в виде дроби У/Н. Плоскости ~'и Н образуют систему К Н. (Наряду с указанными обозначениями плоскостей проекций в литературе применяют и другие обозначения, например буквой л с индексами.) Плоскости проекций, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла, из которых приведенный на рисунке 1.11 (с обозначениями граней К Н) считают первым.

В промышленности чертежи многих деталей выполняют также в системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся по вертикальной оси проекций 2 (рис. 1.12). При этом фронтальной плоскостью проекций оставляют также плоскость К а перпендикулярную к ней и обозначаемую И' называют профильной плоскостью проекций. В системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций горизонтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций; фронтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на фронтальной плоскости проекций.

Наглядное изображение построения проекций произвольной точки А в системе Р; Н показано на рисунке 1.13. Горизонтальную проекцию, обозначенную а, находят как пересечение перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости Н, с этой плоскостью. Фронтальную проекцию, обозначенную а', находят как пересечение перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости К с этой плоскостью. Проецирующие прямые Аа' и Аа, перпендикулярные к плоскостям Р'и Н, принадлежат плоскости Ц.

Она перпендикулярна плоскостям проекций и пересекает ось проекций в точке а„, Три взаимно перпендикулярные плоскости Ц, )ги Н пересека- ются по взаимно перпендикулярным прямым, т. е. прямые а'а„, аа„и ось х взаимно перпендикулярны. Построение некоторой точки А в пространстве по двум заданным ее проекциям — фронтальной а' и горизонтальной а— показано на рисунке 1.14. Точку А находят на пересечении перпендикуляров, проведенных из проекции а' к плоскости к' и из проекции а к плоскости Н. Проведенные перпенаикуляры принадлежат одной плоскости Д, перпендикулярной к плоскостям 1'и Н, и пересекаются в единственной искомой точке А пространства.

Таким образом, две прямоугольные проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. В дальнейшем прямоугольные проекции точки в системе взаимно перпендикулярных плоскостей проекций будем называть ортогональными проекциями точки. Рассмотренное наглядное изображение точки в системе 1; Н неудобно ввиду своей сложности для целей черчения. Преобразуем его так, чтобы горизонтааьная плоскость проекций совпадала с фронтальной плоскостью проекций, образуя одну плоскость чертежа. Это преобразование осуществляют (рис. 1.15) путем поворота вокруг оси х плоскости Н на угол 90 вниз.

При этом отрезки а„= а' и а„= а образуют один отрезок а'а, перпендикулярный оси проекции, называемый линией связи. В результате указанного совмещения плоскостей ~" и Н получается чертеж— рисунок 1.16, известный под названием эпюр (от французского ериге — чертеж, проект) или эпюр Монжа. Этот чертеж в системе К Н (ияи в системе двух прямоугольных проекций) называют а т Рис. 1.16 Рис. 1.17 Рис. 1.16 двухкартинным чертежом Монжа.

Без обозначения плоскостей И и Н этот чертеж приведен на рис. 1.17. 1.5. Проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций Для полного выявления наружных и внутренних форм сложных деталей и их соединений, для решения ряда задач бывает необходимо три и даже более изображений. Поэтому вводят три и более плоскостей проекций.

Система К Н, ~К Введем в систему К Нтретью вертикальную плоскость проекций (рис. 1Л8), перпендикулярную к оси х и соответственно к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций. Ее называют профильной плоскостью проекций и обозначают И' (см. также рис. 1.12).

Такую систему плоскостей проекций называют системой К Н, И". В этой системе оси проекций ~ и у являются линиями пересечения профильной плоскости проекций с фронтальной и горизонтальной. Точка Π— пересечение всех трех осей проекций. Схема совмещения трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций в одну плоскость чертежа показана на рисунке 1.19. При этом ось у занимает два положения. Наглядное изображение некоторой точки А и ее проекции а'„а, а" в системе 1", Н, И' приведено на рисунке 1.20, ее чертеж — на рисунке 1.21. Профильной проекцией 7почии называется прямоугольная проекция точки на профильной плоскости проекций (например, проекция а" на рис. 1.21).