Лекции по механике (Лекции PDF), страница 6

Ускорение произвольной точки телапри плоском движении равняется геометрической сумме векторов ускорения полюса, вращательного и осестремительного ускорений.Рис. 6424.8Теорема о проекциях скоростей двух точек на прямую, проходящуючерез эти точкиТеорема Проекции скоростей двух точек абсолютно твердого тела на прямую, проходящуючерез эти точки, равны между собой.Доказательство.Для абсолютно твердого тела имеем:~V~B = V~A + ω~ × ABПроектируем это равенство на прямую LM, проходящую через точки A и B.~ПрLM (V~B ) = ПрLM (V~A ) + ПрLM (~ω × AB)~ = 0, так как вектор ω~ перпендикулярен прямой LM .ПрLM (~ω × AB)~ × ABСледовательно, ПрLM (V~B ) = ПрLM (V~A ), что и требовалось доказать.24.9 Способы нахождения мгновенного центра скоростей• Задан вектор скорости в точке A и прямая, вдоль которой направлен вектор скорости в точкеVAVBVMB.

Так как== ... == ωzAPBPMPа) проводим прямую перпендикулярно вектору скорости в точке А ;б) проводим прямую перпендикулярно направлению вектора скорости в точке В ; точка Р мгновенный центр скоростей.в) определяем направление вращения по направлению вектора скорости в точке А .• Заданы векторы скоростей в точках А и В (векторы параллельны).VBVA=APBP• Заданы векторы скоростей в точках А и В (векторы параллельны). Перпендикуляры к векторамскоростей в точках A и B не пересекаются, и по теореме о проекциях скоростей двух точектвердого тела на прямую, проходящую через эти точки, скорости точек равны. Т.е., движениетела поступательное.24.10Плоское движение.

Расчет механизмовСкорость точки B тела при плоском движении вычисляют через известную скорость какой-либоточки A того же тела, принимаемой за полюс (рис. 65):~~ 1 × AB.~vB = ~vA + ~vBA , ~vBA = ω(66)Для расчета скоростей точек многозвенного механизма, каждое звено которого совершает плоскоедвижение,формулу(66)применяютпоследовательнодлявсехточек,переходяот одной точки, принимаемой за полюс, к другой. Схему вычислений в этомслучае удобно записывать в виде структурных формулy*6B~vA ¸ µ1ϕA~vB1A −→ B ,ϕ1-xгденадстрелкойуказанномертелаилистержня,которомупринадлежатточки,аснизуРис. 65~ В проекциях на оси x, y граф (67) дает уравнениямежду осью x и вектором AB.vBx = vAx − AB ω1z sin ϕ1 ,vBy = vAy + AB ω1z cos ϕ1 ,(67)наименование— угол ϕ(3)где ω1z — проекция угловой скорости тела 1 на ось z, перпендикулярную плоскости движения.Если вращение происходит против часовой стрелки, то ω1z = |ω1 |, а если — по часовой стрелке, тоω1z = −|ω1 |.Ускорения точек тела при плоском движении связаны формулой~ +ω~aB = ~aA + ~ε × AB~ × ~vBA .(68)Расчет скоростей механизма с помощью МЦС• Определяем положение мгновенного центра скоростей (МЦС) каждого звена.

МЦС лежит напересечении перпендикуляров, проведенных к скоростям точек, принадлежащих звену (рис. 66).У тех звеньев, у которых МЦС не существует (скорости двух точек параллельны и не перпендикулярны отрезку, их соединяющему), угловая скорость равна нулю, а скорости всех точекравны. Если векторы скоростей перпендикулярны отрезку их соединяющему, то имеют местодва частных случая положения МЦС (рис. 67, 68).Если тело (колесо, диск, цилиндр) катится по поверхности без проскальзывания, то МЦСэтого тела находится в точке касания.• Для каждого звена определяем расстояния от его точек до МЦС этого звена.~vBKAª~vAωAB =BPРис.

66A~vA?vB +vAABPABРис. 67~vB6BPABAB?~vAωAB =vB −vAAB?~vBРис. 68• Записываем систему уравнений для скоростей N точек звена i, включая точку с известнойскоростью:vk = ωi Rik , k = 1...N.Здесь ωi — угловая скорость звена i, Rik — расстояние от МЦС звена i до точки k. Решаемсистему, определяем угловую скорость звена, а затем скорости всех его точек.Этот пункт плана выполняем последовательно для всех звеньев механизма. Очередное звенодолжно иметь общую точку (шарнир) с предыдущим, для которого угловая скорость найденаили известна.25Сложное движение точки25.1 Формула Бураz1Iz6~rM~k 6-ª~ ~jiMÁK ρ~~k1I µ ~j13O 1°~rO1Определение. Если точка M движется в некоторой системе координат Ox1 y1 z1 , а сама система координат движетсяотносительно другой условно неподвижной системы координат, то такое движение точки называется сложным.Определение. Относительное движение – движениеточки M относительно подвижной системы координатOx1 y1 z1 .Определение.

Переносное движение – движение подвижной системы координат Ox1 y1 z1 движение относительнонеподвижной Oxyz.y1µ~i1-yx1 °ªxРис. 69Определение. Абсолютное движение точки — движение точки M относительно неподвижнойсистемы координат Oxyz.Вектор ρ задает положение точки относительно подвижной системы координат, вектор rM задаетположение точки в неподвижной системе Oxyz.Найдем производную d~ρ/dt.

Разложим по ортам подвижных осейρ~ = x1~i1 + y1~j1 + z1~k1 .(69)Учитывая, что орты подвижной системы являются функциями времени, получимd~i1d~ρddy1 ~dz1 ~d~j1d~k1dx1~k1 += (x1~i1 + y1~j1 + z1~k1 ) =i1 +j1 +x1 +y1 +z1 .dtdtdtdtdtdtdtdt(70)Первые три слагаемых представляют собой разложение некоторого вектора в подвижных осях. Назовем этот вектор локальной производной вектора и обозначим˜ρdx1~dy1 ~dz1 ~d~k1 .=i1 +j1 +dtdtdtdt(71)По формулам Пуассонаd~i1d~j1d~k1=ω~ × ~i1 ,=ω~ × ~j1 ,=ω~ × ~k1 .dtdtdtВ итоге получаем формулу Бура[11]˜ρd~d~ρ=+ω~ × ρ~,(72)dtdtгде ω~ — вектор угловой скорости системы координат Ox1 y1 z1 относительно неподвижной Oxyz.25.2 Сложение скоростейОпределение.

Абсолютной скоростью точки называется скорость точки относительно неподвижнойсистемы координат.Определение. Относительной скоростью точки называется скорость точки относительно неподвижной системы.Определение. Переносной скоростью точки M называется скорость относительно неподвижнойсистемы координат той точки в подвижной системе координат, с которой в данный момент совпадаетрассматриваемая точка M . Продифференцируем векторное равенство (рис. 69)~rM = ~ro1 + ρ~.Используя понятие локальной производной, получим˜ρddd~V~M = ~ro1 + ρ~ = V01 ++ω~ × ρ~ = V~e + V~rdtdtdt˜ρd~где V~e = V01 + ω~ × ρ~ — переносная скорость, V~r =— относительная скорость.dtТеорема. Абсолютная скорость точки в сложном движении равняется геометрической сумме переносной и относительной скорости.V~ = V~r + V~e .(73)25.3 Сложение ускоренийПродифференцируемV~M = V01 + ω~ × ρ~ + V~r .ПолучимdV01 d~ωd~ρ dV~rd(V01 + ω~ × ρ~ + V~r ) =+× ρ~ + ω~×+=dtdtdtdtdtÃ!˜ρd~d˜V~r= ~a01 + ~ε × ρ~ + ω~×+ω~ × ρ~ ++ω~ × V~r = ~a01 + ~ε × ρ~ + 2~ω × V~r + ω~ × (~ω × ρ~) + ~ar ,dtdt~aM =(74)или~a = ~ar + ~ae + ~ak ,(75)где• ~ak = 2~ω × V~r — ускорение Кориолиса,• ~ae = ~a01 + ~ε × ρ~ + ω~ × (~ω × ρ~) — переносное ускорение,• ~ar — относительное ускорение.Теорема.

(Кориолис) Абсолютное ускорение точки в сложном движении равняется геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорения.2626.1Вращение твердого тела вокруг точкиУглы ЭйлераРассмотрим движение по отношению к системе отсчета Ox1 y1 z1 твердого тела, закрепленного так,что одна его точка О остается во все время движения неподвижной. Такое движение совершает,например, волчок, у которого неподвижна точка его опоры о плоскость, или любое другое тело,закрепленное в точке O шаровым шарниром. Найдем, какими параметрами определяется положениетела, имеющего неподвижную точку.

Для этого свяжем жестко с телом трехгранник Oxyz, по положению которого можно судить о положении тела (рис. 70). Линия OK, вдоль которой пересекаютсяплоскости Oxy и Ox1 y1 , называется линией узлов. Тогда положение по отношению к осям Ox1 y1 z1трехгранника Oxyz, а с ним и самого тела можно определить углами:ϕ = 6 KOx; ψ = 6 x1 OK; θ = 6 z1 Oz(76)Эти углы, называемые углами Эйлера, имеют следующие, взятые из небесной механики наименования, ϕ — угол собственного вращения, ψ — угол прецессии, θ — угол нутации.

Положительныенаправления отсчета углов показаны на рис. 70 стрелками. Чтобы знать движение тела, надо знатьего положение по отношению к осям Ox1 y1 z1 в любой момент времени, т.е. знать зависимости:ϕ = f1 (t); ψ = f2 (t); θ = f3 (t)(77)Эти уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движениятвердого тела вокруг неподвижной точки.Рис. 70Рис.

7126.2 Кинематические уравнения ЭйлераНайдем проекции угловой скорости на подвижные оси координат. Примем (без доказательства), что~˙ + θ~˙ + ϕω~ =ψ~˙ .Выполним дополнительное построение. Проведем плоскость, проходящую через оси 0z и 0z1 . Линию~˙ на компонентыпересечения этой плоскости и подвижной плоскости x0y обозначим 0L. Разложим ψ~˙ sin ϕ и ψ~˙ cos ϕ (рис. 71). Используя равенство углов со взаимно перпендикулярными сторонамиψ(0L ⊥ 0K, 0x ⊥ 0y), заметим, что угол между 0y и 0L равен ϕ. Отсюда, раскладывая компоненту~˙ sin ϕ по осям 0x и 0y, получимψωx = ψ̇ sin ϕ sin θ + θ̇ cos ϕ,ωy = ψ̇ cos ϕ sin θ − θ̇ sin ϕ,ωz = ψ̇ cos θ + ϕ̇.Эти уравнения называются кинематическими уравнениями Эйлера для определения проекции угловой скорости на подвижные оси координат при сферическом движении.27Законы НьютонаПервый закон Ньютона.

Существуют такие системы отсчета, относительно которых, всякое телосохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуютникакие силы или действие сил скомпенсировано. Такие системы отсчета называются инерциальными.Второй закон Ньютона. Ускорение материальной точки пропорционально приложенной силе и направлено по прямой, по которой эта сила действует.d(m~v ) = F~dt(78)илиd~v= F~(79)dtТретий закон Ньютона. Всякому действию всегда есть равное и противоположно направленноепротиводействие.

С большой степенью точности можно считать инерциальной систему координат сначалом в центре масс Солнечной системы и осями, направленными на "неподвижные"звезды.Принцип относительности Галилея. Всякая система координат, которая движется относительноинерциальной системы равномерно и прямолинейно, тоже является инерциальной.mЗамечание 27.1 Пределы применимости законов Ньютона:L > 10−8 см (внутри атома законы не применимы)v ¿ c (c — скорость света)Рис. 72Пусть материальная точка движется под действием силы F~ .

С учетом того, что m = const иrвыражение (79) можно переписать в видеv = d~dtmd2~r= F~dt2(80)Здесь ~r = x~i + y~j + z~k, x, y, z - координаты точки М в инерциальной системе. Поэтому V~ =vx~i + vy~j + vz~k. Если F~ = Fx~i + Fy~j + Fz~k, то уравнение (79) можно переписать виде системы шестискалярных дифференциальных уравнений первого порядка:dx= vxdtdy= vydtdz= vzdtmdvx= Fxdtmdvy= Fydtmdvz= Fzdt(81)или системы трех скалярных дифференциальных уравнений второго порядка:md2 x= Fxdt2md2 y= Fydt2md2 z= Fzdt2(82)28Две основные задачи динамики материальной точкиd~vВторой закон Ньютона, определяемый формулой m = F~ , позволяет сформулировать две основныеdtзадачи динамики материальной точки.Первая задача Даны масса точки m и траектория движения ~r = ~r(t) Найти силу F~ , котораявызывает это движение.Если требуется определить силу как функцию времени, то эта задача решается двукратнымd2~rдифференцированием F~ = m 2dtВторая задача Даны масса точки и сила, действующая на точку, как функция положения,скорости и, быть может, времени: m, F~ (~r, ~v , t).

Определить траекторию движения ~r = ~r(t) точки.Для решения этой задачи необходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений:d2 x= Fx (x, y, z.vv , vy , vz , t)dt2 2dym 2 = Fy (x, y, z.vv , vy , vz , t)dtd2 zm 2 = Fz (x, y, z.vv , vy , vz , t)dtm(83)Систему (83)можно переписать в форме Коши:dx= vxdtdvx=dtdvy=dtdvz=dtdy= vydtdz= vzdt1Fx (x, y, z.vv , vy , vz , t)m1Fy (x, y, z.vv , vy , vz , t)m1Fz (x, y, z.vv , vy , vz , t)m(84)Система (84) однозначно не определяет траекторию движения точки, так как общее решение этойсистемы зависит от шести произвольных постоянных:x = x(c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , t)y = y(c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , t)z = z(c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , t)vx = vx (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , t)vy = vy (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , t)vz = vz (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , t)(85)Для определения произвольных постоянных необходимо задать шесть начальных условий:x|t=0 = x0 y|t=0 = y 0 z|t=0 = z 0vx |t=0 = vx0 vy |t=0 = vy0 vz |t=0 = vz0(86)Полагая в общем решении t=0 (85), получаем систему алгебраических уравнений:x0 = x(c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , 0)y 0 = y(c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , 0)z 0 = z(c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , 0)vx0 = vx (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , 0)vy0 = vy (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , 0)vz0 = vz (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , 0)(87)С помощью системы (87) можно определить постоянные интегрирования:c1 = c1 (x0 , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )...0 0 0 0 0 0c6 = c6 (x , y , z , vx , vy , vz )(88)Подставляя выражения (88) в (85) получим:x = x(t, x0 , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )y = y(t, x0 , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )z = z(t, x0 , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )(89)vx = vx (t, x0 , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )vy = vy (t, x0 , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )vz = vz (t, x0 , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )Уравнения (89) определяют траекторию движения точки.