Лекции по механике (Лекции PDF), страница 7

Это и есть решение второй основной задачидинамики точки.29 Свойства внутренних сил системы материальных точек29.1Общие определенияРассмотрим систему n не связанных между собой материальных точек с массами m1 , m2 , . . . , mn ирадиусами-векторами r1 , r2 , . . . , rn в инерциальной системе координат x∗ , y ∗ , z ∗ .Разделим условно силы, действующие на систему точек, на внутренние и внешние.Определение.

Внешние силы. Силы, действующие на точки системы со стороны тел, не входя~(b)щих в состав рассматриваемой системы, называются внешними и обозначаются FvОпределение. Внутренние силы. Силы взаимодействия между точками системы называются~(i)внутренними и обозначаются Fv .Деление сил на внешние и внутренние не носит абсолютного характера, а зависит от рассматриваемой механической системы.Например, в системе Земля, Луна силы взаимодействия между Землей и Луной могут рассматриваться как внутренние, а силы притяжения Земли и Луны к Солнцу - как внешние.

Если жерассматривать систему Солнце, Земля, Луна, то все указанные выше силы - внутренние.29.2 Свойства внутренних силСумма внутренних сил, приложенных к точке с массой m1 со стороны остальных точек системы:(i)(i)(i)(i)F~1 = F~1/2 + F~1/3 + . . . + F~1/n(90)(i)где F~1/ν - сила, которая действует на точку с массой m1 со стороны точки с массой mν .Для точки с массой m2 и других можно записать:(i)(i)(i)(i)F~2 = F~2/1 + F~2/3 + . .

. + F~2/n...(i)(i)(i)(i)~~~Fn = Fn/1 + Fn/2 + . . . + F~n/n−1(91)Поскольку внутренние силы удовлетворяют третьему закону Ньютона, то(i)(i)F~ν/µ = −F~µ/ν(92)С учетом выражений (90), (91) и (92) имеем~ (i) =RXF~ν(i) = 0(93)т.е Главный вектор внутренних сил системы материальных точек тождественно равен нулю.Главный момент внутренних сил системы материальных точек относительно произвольного центра равен нулю.Рис.

73~ 0(i) =Lтак какX~rν × F~ν(i) = 0,(94)(i)(95)(i)~rµ × F~µ/ν = −~rν × F~ν/µи векторные произведения в выражении для главного момента взаимно уничтожаются.30 Количество движения системы материальных точек30.1 Общие определенияОпределение. Количеством движения (импульсом) материальной точки массы mν , движущейся со~ ν = mν · V~ν .скоростью V~ν , называется произведение QОпределение.

Количеством движения системы материальных точек называется геометрическая сум~ = PQ~ ν = P mν · V~νма количеств движения всех точек системы Q30.2 Теорема об изменении количества движения системыПроизводная по времени от вектора количества движения системы материальных точек равна главному вектору всех внешних сил, действующих на точки системы:~dQ~ (b)=Rdt(96)dQxdQydQz= Rx(b) ,= Ry(b) ,= Rz(b)dtdtdt(97)или в скалярной форме:Докажем (96).

Для каждой точки материальной системы запишем второй закон Ньютонаm1d~v1(b)(i)= F~1 + F~1dtm2d~v2(b)(i)= F~2 + F~2dt(98)...d~vnmn= F~n(b) + F~n(i)dtЗдесь V~ν — скорость точки массой mν ,F~ν(i) — сумма внутренних сил, действующих на точку массы mν ,F~ν(b) — сумма внешних сил, действующих на точку массы mν .Сложим уравнения (98):XXXd~vν=F~ν(b) +F~ν(i)mνdt~ ν = mν V~ν , P R~ ν(b) = R~ (b) , P R~ ν(i) = 0.

Поэтому: dQ~ = R~ (b) что и требовалось доказать.Здесь Qdt(99)Следствие из теоремы 30.1 Если главный вектор внешних сил системы материальных точекравен нулю, то вектор количества движения этой системы остается постоянным по величинеи направлению. Закон сохранения импульсаСледствие из теоремы 30.2Если проекция главного вектора внешних сил системы материальных точек на какую-либо осьравна нулю, то проекция вектора количества движения на эту ось остается постоянной.Следствие из теоремы 30.3Внутренние силы системы материальных точек непосредственно не влияют на изменение количества движения системы.31Центр масс системы материальных точекРассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек с массами m1 , m2 , ..., mn .Положение точки с массой mν определяется радиус-вектором r~ν = xν~i + yν~j + zν ~k, где ~i, ~j, ~k —единичные векторы некоторой системы координат.Определение. Центром масс системы материальных точек называется точка, радиус-вектор которой определяется следующим выражением:r~c =Pn1 Xmν r~ν ,m ν=1где m = nν=1 mν .Для координат центра масс системы можно записать следующие выражения:PPPxc = m1 nν=1 mν xν ; yc = m1 nν=1 mν yν ; zc = m1 nν=1 mν zν ;Покажем что, в различных системах координат центром масс остается одна и та же точка.(100)PnРис.

74mν ~rνA— центр масс в системе Ax∗ y ∗ z ∗ .mnmν ~rO~rcO = ν=1m ν — центр масс в системе Ox∗ y ∗ z ∗ .~rνO = ~rνA − ~rOPP~rcO = m1 nν=1 mν ~rνA − ~rO nν=1 mν = ~rcA − ~rOТаким образом, ~rcO = ~rcA −~rO , т.е., радиус-вектор центраr~cAP=ν=1масс в другой системе координат отличаетсятолько на радиус-вектор начала координат этой системы.32Количество движения системы материальных точек как функция скорости центра массРассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек с массами m1 , m2 , ..., mn .Положение точки mν определяется радиус-вектором r~ν в некоторой системе координат.

Количестводвижения системы определяется как~ =QnXQ~ν =ν=1nXmν v~ν =nXmνν=1ν=1nd~rνd Xmν r~ν=dtdt ν=1(101)Но по определению центра масс системы материальных точекnXmν r~ν = m~rc(102)ν=1Следовательно, выражение для количества движения системы можно переписать в виде:И окончательно имеем выражение~ = d mr~ν = m dr~νQdtdt(103)~ = m~Qvc(104)Количество движения системы материальных точек (механической системы) равно произведениюмассы всей системы на вектор скорости центра масс.33Теорема о движении центра масс механической системыЦентр масс механической системы движется, как материальная точка с массой, равной массе всейсистемы, к которой приложен главный вектор внешних сил, действующих на точки системы:md~vc~e=RdtЗдесь m — масса всей системы, v~c — скорость центра масс механической системы,~e = Pnν=1 F~νe — главный вектор внешних сил.R(105)В проекциях на оси системы координат выражение (105) можно записать так:m dvdtcx = Rxe ; m dvdtcy = Rye ; m dvdtcz = Rze .Здесь vcx , vcy , vcz , — проекции скорости центра масс, а Rxe , Rye , Rze , - проекции главного векторавнешних сил на координатные оси.Замечание 33.1 По теореме об изменении количества движения механической системы имеем~dQ~e или d (m~~e=Rvc ) = Rdtdt~e что и требовалось доказать.следовательно, m ddtv~c = RДоказательство 33.1 Если главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно ипрямолинейно.Доказательство 33.2 Если проекция главного вектора внешних сил, действующих на механическую систему, на какую либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системына эту ось остается постоянной.34Момент количества движения механической системы (кинетический момент)Рис.

75Определение. Моментом количества движения (кинетическим моментом) материальной точкиотносительно некоторой точки O называется векторное произведение радиуса-вектора на векторколичества движения этой точки:K~Oν = r~ν × Q~ν = r~ν × mν v~ν ]Определение. Моментом количества движения (кинетическим моментом) системы материальныхточек (механической системы) относительно некоторой точки O называется сумма кинетическихмоментов всех точек системы относительно этой точки:PPK~O = nν=1 K~Oν = nν=1 r~ν × mν v~νПроекции кинетического момента на оси координатТак как r~ν = xν~i + yν~j + zν ~k и v~ν = vxν ~x + vyν ~y + vzν~z ,Pто K~O = nν=1 mν r~ν × v~νPK~O = nν=1 mν [(yν vzν − zν vyν )~i + (zν vxν − xν vzν )~j + (xν vyν − yν vxν )~k]ПоэтомуnXKOx =KOy =KOz =ν=1nXν=1nXν=1mν (yν vzν − zν vyν )mν (zν vxν − xν vzν )(106)mν (xν vyν − yν vxν )Выражения (106) определяют проекции вектора кинетического момента на оси координат.35Момент количества движения тела, вращающегося вокругнеподвижной осиРис.

76Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеем:r~ν = xν~i + yν~j+ zν ~k и −yν ωv~ν = [~ω , r~ν ] =  xν ω 0Тогда проекции вектора кинетического момента на оси координат будут иметь вид:KOx = −ωKOx = −ωKOz = ωnXν=1nXν=1nXmν xν zν = −ωIzxmν yν zν = −ωIzy(107)mν (x2ν + yν2 ) = ωIzν=1PВ выражениях (107) Iz = nν=1 mν (x2ν + yν2 ) называется моментом инерции твердого тела вокруг осиPPOz; Ixz = nν=1 mν xν zν и Iyz = nν=1 mν yν zν — центробежные моменты инерции.36Теорема об изменении кинетического момента относительнопроизвольной точкиТеорема моментов, доказанная для одной материальной точки, справедлива для каждой из точексистемы.

Следовательно, если рассмотреть точку системы с массой mk , имеющую скорость vk , тодля нее будетd ~[MO (mk v~k )] = M~O F~ke + M~O F~ki ,dtгде F~ke , F~ki — равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на данную точку.Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получимnnnXXd XM~O F~ki ,M~O F~ke +[ M~O (mk v~k )] =dt k=1k=1k=1Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равна нулю. Тогда, учитывая равенствоPK~O = nk=1 M~O (mk v~k ) найдем окончательноnXd ~M~O F~keKO =dtk=1Полученное уравнение выражает следующую теорему моментов для системы: производная повремени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того жецентра.Проектируя обе части равенства на неподвижные оси Oxyz, получим:nnXXddeeKOx =KOy =MOx Fkx,MOy Fky,dtdtk=1k=1nXdeKOz =MOz Fkzdtk=1Уравнения выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси.37Принцип ДаламбераРассмотрим движущуюся материальную точку.