Лекции по механике (974720), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным силе, называется динамическим винтом или динамой. Динамический винт представляет собой совокупность силы и парысил, действующей в плоскости, перпендикулярной силе.F~~F0660F~0F~0~0M666µª~ 0?MOµOªРис. 44Рис. 45Если второй статический инвариант не равен нулю, то систему можно привести к динаме.Условие коллинеарности главного вектора и главного момента записывается следующим образом:pFO = M ∗где p — параметр (шаг) винта, имеющий размерность длины. Таким образом,~ ∗ × F~OpF~O = M~O − OO(16)Пусть Fx , Fy , Fz , MOx , MOy , MOz — проекции главного вектора и главного момента на оси x, y, zMOx − (yFz − zFy )MOy − (yFx − zFy )MOz − (yFy − zFy )=== p.FxFzFx(17)Это и есть уравнение центральной оси.22Кинематика. ВведениеКинематика — наука о движении геометрических тел.

В ней рассматривается само движение безизучения причин, вызывающих это движение. Впервые термин “кинематика"ввел А.Ампер (1775–1836), взяв за основу греческое 1 слово κινηµα, означающее движение.Простейшим объектом в кинематике является точка. В кинематике точки рассматриваются следующие функции времени t: радиус-вектор ~r(t), скорость ~v (t) и ускорение ~a(t):~v (t) =1d~v (t)d2~r(t)d~r(t), ~a(t) ==.dtdtdt2Андре Мари Ампер — французский физик, механик, математик.2323.1Способы задания движенияВекторный способ задания движенияz P6¸~r(t)-yªxПоложение движущейся материальной точки можно задать вектором~ , изменяющимся с течением времени по величине и по на~r = OPправлению относительно некоторой системы осей Ox, y, z.

Этот вектор называется радиус-вектором точки.Рис. 46Уравнение ~r = ~r(t) называется уравнением движения точки.Геометрическое место концов радиус-векторов ~r(t) называется траекторией точки P . СкоростьV~ и ускорение ~a точки P определяются как первая и вторая производные радиуса-вектора точки Pпо времени:d~r(18)V~ =dtd2~rdV~~a = 2 =(19)dtdt23.2 Координатный способ задания движенияz P (x, y, z)6~k6~i ª ~jªx¸~r(t)-yКоординаты движущейся точки в выбранной системе выражаютсякак функции времени.

Система координат может быть произвольной. Наиболее часто используются декартовы прямоугольные координаты, полярные координаты, сферические, цилиндрические. Длядекартовых прямоугольных координат задают три независимые функции времениx = x(t), y = y(t), z = z(t).Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декартовой системе координат.Рис. 47Скорость и ускорение точки P при таком способе задания движения определяются следующимивыражениями:V~ = Vx~i + Vy~j + Vz~k(20)~a = ax~i + ay~j + az~k(21)dydzdx; Vy = ; Vz =dtdtdt22dxdVxdydVyd2 zdVzax = 2 =; ay = 2 =; az = 2 =.dtdtdtdtdtdtМодули скорости и ускорения точки P равны:Vx =V = |V~ | =qVx2 + Vy2 + Vz2 , a = |~a| =qa2x + a2y + a2z(22)(23)(24)23.3 Естественный способ задания движения−0 +s(t):Движение точки определяется заданием ее траектории и уравнения движения по этой траектории.

(Пример: расписание движенияпоездов по железной дороге.) Уравнение движения точки по траектории при естественном способе движения имеет вид: s = s(t). Здесьs — взятая с соответствующим знаком длина дуги, отсчитываемаявдоль траектории от начала отсчета O на траектории до точки M .Рис. 48Рис. 49Рассмотрим на траектории движения точки три последовательных ее положения: точки M , M1 иM2 .Если точка M1 занимает бесконечно близкое положение по отношению к точке M , то отрезокM M1 в пределе определит положение касательной к кривой в точке M .Если траектория не является прямой линией, то три точки M , M1 и M2 определяют некоторуюплоскость. Плоскость, занимающая предельное положение, когда точки M1 и M2 стремятся к точкеM, называется соприкасающейся плоскостью. Касательная к кривой, построенная в точке M ,лежит в этой плоскости.В общем случае три точки M , M1 и M2 (при стремлении M1 и M2 к точке M ) однозначноопределяют окружность в соприкасающейся плоскости, называемую окружностью кривизны иликругом кривизны.

Радиус этой окружности называется радиусом кривизны.Хорды M M1 и M1 M2 при неограниченном приближении точек M1 к M и M2 к M1 определяткасательные к кривой в точках M и M1 , соответственно, а следовательно, и направление скоростейв этих точках (~v и ~v1 ).Рис. 50Перенесем вектор скорости ~v1 в точку M . Два вектора определят плоскость. При неограниченномстремлении точки 1 к M эта плоскость будет соприкасающейся.Геометрическая величина вектора AB определяется из равенства:AB = AK + KB(25)Точки K и B находятся на одной и той же окружности с центром в точке M . Разделим это равенствона ∆t:ABAK KB=+(26)∆t∆t∆tABравно среднему ускорению точки M за время ∆t. Ускорение точки M являетсяОтношение∆tпредельным значением среднего ускорения, когда ∆t стремится к нулю.AKРассмотрим вектор, который направлен по касательной к траектории.

Предельное значение∆tмодуля этого вектора называется касательной или тангенциальной составляющей ускоренияточки и имеет вид:¯¯¯ AK ¯~d|v|||v~1 | − |~v ||¯¯aτ = lim ¯¯¯ = lim=∆t→∞ ∆t ¯∆t→∞∆tdt(27)Можно также рассматривать вектор касательного ускорения a~τ , направление которого совпадает снаправлением скорости точки, а величина равна производной от модуля скорости точки.Рис. 51через ε угол между векторами ~v и v~1 . Тогда для предельного значения модуля вектора¯¯ Обозначим¯ AB ¯¯¯¯ получим:¯¯ ∆t ¯¯¯¯ KB ¯v1 εv2v1 ∆Sv1 ∆S¯¯¯ = lim=lim=lim=(28)lim ¯¯∆t→∞ ∆t∆t→∞ ∆t ρ∆t→∞ ρ ∆t∆t→∞ ∆t ¯ρЗдесь ∆S — длина дуги M M1 .

Предельное значение отрезка M O, когда точка M1 неограниченноприближается к M , называется радиусом кривизны траектории в точке M .¯¯¯ ∆S ¯¯¯ρ = lim ¯¯M →M1Угол ϕ определяется выражением ϕ =Предельное значение вектораε(29)πε−π. Предельное значение этого угла при ∆t → 0 равно .22KBобозначим через a~n :∆tKB∆t→0 ∆ta~n = lim(30)v2Модуль этого вектора равен , а сам вектор находится в соприкасающейся плоскости и направленρортогонально к скорости точки в сторону вогнутости траектории по главной нормали. Поэтомувектор a~n называют нормальным ускорением точки.~b6~τ:~nN:~aτ- ~aN~anРис. 52Рассмотрим систему осей координат с началом в точке M .

Ось ~τ направим по касательной ктраектории точки, ось ~n — по направлению главной нормали, а третью ось β~ — так, чтобы тройкаэтих векторов образовала правую систему. Выбранные так оси представляют собой сопровождающийтрехгранник, который называют также естественным трехгранником.Проекции ускорения на оси естественного трехгранника равны:aτ =v2dv; an = ; aβ = 0dtρ(31)24 Кинематика абсолютно твердого тела24.1Распределение скоростей в абсолютно твердом телеОпределение.

Абсолютно твердым телом (А.Т.Т.) называют такую систему материальныхточек, расстояния между двумя любыми точками которой остаются всегда неизменными.Движение тела в кинематике начинают изучать с поступательного и вращательного движения.Во вращательном движении вводятся понятия угла поворота тела ϕ(t), угловой скорости и угловогоускорения.A ~rBz¸µz0rA6~~rBy0-0x0ªПоследние две величины векторные, но для вращательного движения их направление всегда постоянно — пооси вращения. Поэтому в решении часто используютсяскалярные величины ωz (t) = ϕ̇(t), εz (t) = ω̇z (t), имеющиесмысл проекций этих векторов на ось вращения z. Точкойбудем обозначать производную по времени.

Рассмотрим,как распределяются скорости точек движущегося произвольно А.Т.ТРис. 53d~rBd~rA ~и VB =Скорости точек A и B твердого тела можно записать как V~A =dtdt~~~~~ = OA~ + AB~ и d(OB) = d(OA) + d(AB) , следовательно V~B = V~A + d(AB) .Но OBdtdtdtdt~d~rd(AB)=скоростью точки В относительно точки A: V~A/BНазовемdtdtd~rdV~A/B == (x~i + y~j + z~k)zdtdt6Az0xªrA6~00xª¸y- B~r zµ~rBy0-Axyz — система координат, жестко связанная с твердымтелом; xyz — проекции вектора ~r на оси связанной системы. Так как x, y, z — константы,d~id~jd~kd~r=x +y +zdtdtdtdtРис.

54d~rНайдем проекциина подвижные оси Axyz. Проекция на ось x:dtd~r ~d~id~jd~k ~d~jd~k ~d~r|x =· i = x · ~i + y · ~i + z· i = y · ~i + z·idtdtdtdtdtdtdt(32)d~r ~d~id~jd~k ~d~id~k ~d~r|y =· j = x · ~j + y · ~j + z· j = x · ~j + z·jdtdtdtdtdtdtdt(33)Проекция на ось y:Проекция на ось z:d~rd~r ~d~id~jd~k ~d~id~j|z =· k = x · ~k + y · ~k + z· k = x · ~k + y · ~kdtdtdtdtdtdtdtВ выражениях было учтено, что скалярное произведение~q · ~q = 1 =⇒d~qdt(34)· ~q равно 0 , так какd~qd~qd~qd~q· ~q + ~q ·= 0 =⇒ 2 · ~q = 0 =⇒· ~q = 0dtdtdtdtДалее отметим, что~~~~~i · ~j = 0 =⇒ di · ~j + ~i · dj = 0 =⇒ di · ~j = −~i · djdtdtdtdt(35)С учетом (35) введем следующие обозначения:d~kd~j ~× k = − × ~j;dtdt~d~idk ~ωy =× i = − × ~k,dtdt~di ~d~jωz =× j = − × ~idtdtωx =(36)Тогда выражения (32-33) можно переписать:Проекция на ось x:d~r|x = ωy z − ωz ydtПроекция на ось y:d~r|y = ωz x − ωx z;(37)dtПроекция на ось z:d~r|z = ωx y − ωy xdtРассмотрим векторное произведение ω~ × ~r, где в качестве компонент вектора ω~ возьмем ωx , ωy , ωz :~i ~j ~kk(ωx y − ωy x)ω~ × ~r =  ωx ωy ωz  = ~i(ωy z − ωz y) + ~j(ωz x − ωx z) + ~x y z(38)d~rСравнивая (37) и (38), получаем= V~A/B = ω~ × ~r.

Характеристики

Список файлов лекций