Лекции по механике (Лекции PDF), страница 2

5Аксиома 4 (о взаимодействии разных тел — третий закон Ньютона)При взаимодействии двух тел сила, с которой первое тело действует на второе, равна по величине,находится на той же прямой и противоположно направлена по отношению к силе, которая действуетна первое тело со стороны второго.Аксиома 5 (о связях)Определение. Связями в механике называют ограничения, препятствующие движению материальных тел.Действие связей можно заменить силами (которые называются реакциями связей) по определенным правилам.Рис. 6Аксиома 6 (Отвердевания)При добавлении связей к системе тел, на которую действует система сил, эквивалентная нулю,состояние системы не меняется.4Теорема о приведении произвольной системы сил к двум силамТеорема.

Произвольную систему сил с помощью только элементарных операций можно привести кдвум силам.Доказательство1. Одна сила: Разложить по правилу параллелограмма.*jРис. 72. Две силы: Уже приведены.3. Три силы: ( F~A в точке A, F~B в точке B, F~C в точке C):F~A¸ºF~B6F~CACBРис. 8(a) Через точку A и вектор F~C проводим плоскость (рис. 9). Точка B в эту плоскость можети не попадать.F~A¸ºF~B6F~CACBРис.

9(b) Через точку A и вектор F~B проводим плоскость (рис. 10).F~A¸ºF~B6F~CACBРис. 10(c) На линии пересечения плоскостей выберем произвольную точку D (рис. 11).(d) Провести прямые AB, BD в одной плоскости и AC, DC в другой (рис. 11).(e) Разложить вектор F~B на направляющие AB, BD по правилу параллелограмма.F~B = F~B0 + F~B00 .

Разложить вектор F~C на направляющие AC, DC по правилу параллелограмма. F~C = F~C0 + F~C00 .(f) Переместить составляющие векторов F~B и F~C вдоль направляющих к точкам A и D(рис. 12).F~AF~A¸F~BF~º C60YAYF~C00F~B00F~C00~ÁFCA~0¸ µFBCC~0µFBIBBF~B00ÁF~0IDРис. 11CDРис. 12(g) В точках A и D сложить силы по правилу параллелограмма.Понятно, что систему, состоящую из большего (чем три) количества сил, можно привести к двумсилам, последовательно работая с каждыми тремя силами.Теорема. Произвольную систему сил только с помощью элементарных операций можно привести к двум силам, одна из которых будет приложена в заранее указанной точке.Доказательство:Сначала система приводится к двум силам по алгоритму предыдущей теоремы.

Далее необходимопровести (две) плоскости через заданную точку и полученные векторы сил. Заданная точка будетнаходиться на пересечении плоскостей. Остается выбрать произвольную точку на линии пересеченияплоскостей и повторить пункты 4-7 доказательства предыдущей теоремы.5Момент силы относительно точки~M6OµABF~Рис. 13Определение.

Моментом силы относительно точки называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т.е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линиидействия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точкуи линию действия силы, в ту сторону, откуда последовательный обход точек: выбранной, началавектора силы, конца вектора силы и снова выбранной точки виден происходящим против часовойстрелки.Если O — точка, относительно которой определяется момент силы F~ , то момент силы обозначается обычно, как MO (F ). Можно показать, что, если точка приложения силы F~ определяетсярадиусом-вектором ~r относительно точки O, то справедливо соотношениеM~O (F~ ) = ~r × F~(5)т.е. момент силы относительно точки равен векторному произведению вектора ~r на вектор F~ .Пусть x, y, z — координаты точки приложения силы F , а Fx , Fy , Fz — проекции силы на координатные оси.

Тогда момент силы F относительно начала координат имеет вид:¯¯¯M~O (F~ ) = ~r × F~ = ¯¯¯¯~i ~j ~kx y zFx Fy Fz¯¯¯¯k¯ = (yFz − zFy )~i + (zFx − xFz )~j + (xFy − yFx )~¯¯(6)Отсюда следует, что проекции момента силы относительно начала координат на координатные осизадаются формулами:~ MOx (F )6= yFz − zFy~MOy (F ) = zFx − xFz M (F~ ) = xFy − yFxOzСвязь моментов одной и той же силы относительно разныхточекF~µO1A¾IРис. 14 O~ × F~ ; M~O1 (F~ ) = O~1 A × F~ .По определению: M~O (F~ ) = OA~ поэтомуВектор O~1 A можно представить как O~1 A = O~1 O + OA,~ × F~ = O~1 O × F~ + M~O (F~ )M~O1 (F~ ) = O~1 A × F~ = O~1 O × F~ + OA(7)Следовательно, M~O1 (F~ ) − M~O (F~ ) = O~1 O × F~7Теорема о проекциях векторов моментов силы относительноразных точекТеорема.

Проекции векторов моментов одной и той же силы относительно двух разных точек напрямую, проходящую через эти точки, равны между собой.Доказательство:Используем формулу связи моментов одной и той же силы относительно разных точек:M~O1 (F~ ) − M~O (F~ ) = O~1 O × F~(8)Для проекций левой и правой частей этого равенства на ось O1 O можно записать:Пр{M~O1 (F~ )} − Пр{M~O (F~ )} = Пр{O~1 O × F~ }(9)Но Пр{O~1 O × F~ } = 0, так как вектор O~1 O × F~ перпендикулярен плоскости, в которой находитсяось O1 O. Следовательно, Пр{M~O1 (F~ )} = Пр{M~O (F~ )}8Момент силы относительно осиL0¸F~K~MOALРис. 15Определение.

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная проекции вектора момента силы относительно любой точки оси на саму ось.Один из способов вычисления момента силы относительно оси:1. Выбрать на оси произвольную точку и построить через эту точку плоскость, перпендикулярнуюоси.2. Спроектировать на плоскость силу.3. Определить момент полученной проекции силы относительно выбранной точки.9 Главный вектор, главный момент системы силµ: A20zªF~nРис. 16F~2¸ F~1Пусть дана произвольная система сил {F~1 , F~2 , . . .

, F~n }.~ = Pn F~k называют главным вектором. СуммуСумму этих сил Rk=1моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения)PP~ k × F~k называют главным моментомL~O = nk=1 M~O (F~k ) = nk=1 OAрассматриваемой системы сил.- A1j~UF310 Связь главных моментов системы сил относительно разныхточекL~O =nXk=1L~O1 =nXk=1M~O1 (F~k ) =nXM~O (F~k ) =nXk=1(O1~Ak × F~k ) =k=1~ k × F~kOAnXk=1~ k × F~k ][O~1 O × F~k + OAL~O1 =nXk=1PnO~1 O × F~k +nXk=1~ k × F~k = O~1 O ×OAЗдесь k=1 F~k — главный вектор системы, а~точки O.

Следовательно, L~O1 − L~O = O~1 O × R.11Pnk=1nXF~k +k=1nXk=1~ k × F~kOA~ k × F~k — главный момент относительноOAУсловия равновесия системы силДля равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы относительно любого центра приведения были равны нулю:R = 0; LO = 0.Для проекций векторов R и LO на координатные оси уравнения равновесия имеют вид:Rx = 0; Ry = 0; Rz = 0;илиnXFkx = 0;k=1(суммы проекций сил на оси координат)nXk=1Mx (F~k ) = 0;nXLx = 0; Ly = 0; Lz = 0.Fky = 0;k=1nXMy (F~k ) = 0;k=1nXFkz = 0(10)(11)k=1nXMz (F~k ) = 0(12)k=1(суммы моментов сил относительно осей координат)12Пара сил¸F~BF~ 0A ®Определение.

Парой сил называется система из двух сил, равныхпо величине и противоположно направленых. Пара сил полностьюопределяется своим моментом, так как главный вектор пары всегдаравен нулю.Рис. 17~ = F~ + F~ 0 ;Rно~ × F~ + OB~ × F~ 0 = OB~ × F~ 0 − OA~ × F~ 0 ,L~O = M~O (F~ ) + M~O (F~ 0 ) = OA(13)~ = OA~ + AB~ ⇒ AB~ = OB~ − OA~ ⇒ L~O = (OB~ − OA)~ × F~ 0 = AB~ × F~ 0 ,OB(14)~ × F~ 0 . Момент пары не зависит от выбора центра приведения.т.е.

L~O = ABПары сил с одинаковыми моментами действуют на твердое тело одинаково, поэтому пару силможно видоизменять, как угодно, сохраняя момент.Момент пары перпендикулярен плоскости пары. Абсолютное значение вектора момента парыравно произведению абсолютного значения силы пары на плечо пары.Теорема. Произвольную систему сил всегда можно привести к одной силе и одной паре.13Теорема об эквивалентности нулю системы силТеорема. Система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна нулю тогда и только, когда уэтой системы равны нулю главный вектор и главный момент.13.1Доказательство необходимости~ = 0, L~ O = 0.Дано: {P~1 , P~2 , .

. . , P~n } ∼ {0}. Доказать: RПо теореме о приведении произвольной системы сил к двум силам данную систему сил можнопривести к двум силам. Поэтому можно рассматривать новую систему сил: {F~1 , F~2 } вместо исходной.Согласно аксиоме о двух силах, приложенных к абсолютно твердому телу, эти силы эквивалентнынулю тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены впротивоположные стороны.~ = F~1 + F~2 и L~ O = 0 (O — произвольная точка).Следовательно, R13.2Доказательство достаточности~ = 0, L~ O = 0.Дано: RДоказать: {P~1 , P~2 , . .

. , P~n } ∼ {0}~ = 0, F~1 + F~2 = 0 или F~1 = −F~ 2.Систему {P~1 , P~2 , . . . , P~n } можно привести к {F~1 , F~2 }. Так как RНо тогда возможны два случая.1. Силы лежат на одной прямойµF~1ªF~20Рис. 18Но тогда {F~1 , F~2 } ∼ {0} и, следовательно, {P~1 , P~2 , . . . , P~n } ∼ {0}2. Силы лежат на параллельных прямыхµF~1 AªF~20Рис.

19~ A = 0. По теореме о связи главных моментов системы сил относительно разныхПокажем, что L~~~ × R.~ Но R~ =0иL~ O = 0 по условию. Следовательно, L~ A = 0.точек LA − LO = AO14Теорема об эквивалентности систем силТеорема. Две системы сил, действующие на твердое тело, эквивалентны тогда и только тогда, когдау них равны между собой главные векторы и главные моменты.14.1Доказательство необходимости~ 1, G~ 2, .