Лекции по механике (Лекции PDF), страница 10

Поэтомууравнения (135) и (136) принимают вид:nXη=1F~η · δ~rη = 0nXη=1F~ · ~vηE = 0(137)(138)Уравнения (137) и (138) являются математическим выражение принципа возможных перемещений(возможных мощностей):Для того, чтобы механическая система с идеальными (удерживающими) стационарными связями находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работвсех активных сил на любом возможном перемещении из предполагаемого состояния равновесия равнялась нулю.47Обобщенные координаты механической системыРассмотрим механическую систему из n точек, на которую наложены k удерживающих голономныхсвязей. Тогда для 3n координат системы выполняются следующие условия:f1 (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , ..., xn , yn , zn , t) = 0,f2 (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , ..., xn , yn , zn , t) = 0,...fk (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , ..., xn , yn , zn , t) = 0.Выберем первые k координаты и перенесем оставшиеся s = 3 · n − k в правые части уравнений. Далее разрешим полученные уравнения относительно первых k координат, а остальные s —переобозначим:x1 = x1 (q1 , q2 , ..., qs , t),y1 = y1 (q1 , q2 , ..., qs , t),z1 = z1 (q1 , q2 , ..., qs , t),x2 = x2 (q1 , q2 , ..., qs , t),......xn = qs−2 ,yn = qs−1 ,zn = qs .Таким образом, координаты всех точек системы будут функциями s независимых параметров системы и времени.Определение.

Независимые параметры, однозначно определяющие положение всех точек механической системы, называются обобщенными координатами этой системы. Число обобщенныхкоординат является числом степеней свободы.Систему можно записать в векторном виде:~rη = rη (q1 , q2 , ..., qs , t); η = 1, 2, ..., nПримеры:Пример 1: Плоский математический маятник:Рис. 88OA — невесомый абсолютно твердый стержень, O — цилиндрический шарнир.n=1Уравнения связей:x2A + yA2 + zA2 = R2 ; zA = 0(k = 2)S =3·n−k =1Если за обобщенную координату выбрать, то имеем следующие уравнения:(139)xA = R cos ϕ; yA = R sin ϕ; zA = 0Пример 1: Точка M на поверхности сферы:n = 1, k = 1.Уравнение связи:x2 + y 2 + z 2 = R 2S =3·n−k =2Если за обобщенные координаты выбрать γ (широту) и ϕ (долготу), то имеем следующие уравнения:xM = R cos ϕ cos γ; yM = R cos ϕ sin γ; zM = R sin γЕсли закон изменения обобщенных координат известенq1 = q1 (t); q2 = q2 (t); ...; qs = qs (t),(140)то, подставив (140) в (139), можно найти траектории движения точек системы.Уравнения (140) определяют траекторию некоторой точки в s-мерном пространстве.

Пространство q1 , q2 , ..., qs называется конфигурационным пространством механической системы. Изучение движения механической системы можно свести к нахождению траектории изображающей точки в конфигурационном пространстве.Рассмотрим точку M 0 , положение которой определяется какM 0 (q1 + δq1 , q2 + δq2 , ..., qs + δqs )δq1 , δq2 , ..., δqs — вариации обобщенных координатПоложению точки M 0 соответствует радиус-вектор~rη0 = ~rη0 (q1 + δq1 , q2 + δq2 , ..., qs + δqs , t); η = 1, 2, ..., nПри перемещении изображающей точки в точку 0 (в конфигурационном пространстве) точка смассой mη механической системы совершает перемещениеδ~rη = ~rη0 − ~rη = ~rη0 (q1 + δq1 , q2 + δq2 , ..., qs + δqs , t) − ~rη (q1 , q2 , ..., qs , t)Разложим это выражение в ряд Тейлора:δ~rη = ~rη (q1 , q2 , ..., qs , t) +∂~rη∂~rη∂~rηδq1 +δq2 + ...

+δqs − ~rη (q1 , q2 , ..., qs , t),∂q1∂q2∂qsилиδ~rη =sX∂~rηi=1∂qiδqi(141)Выражение (141) устанавливает связь между возможными перемещениями точек механической системы и вариациями обобщенных координат.Вычислим элементарную работу активных сил на возможном перемещении, определяемом выражением (141) :snns XnXXXX∂~rη∂~rη~~Fη ·F~η ·Fη · δ~rη =δqi =δqiδA =∂qiη=1η=1i=1 ∂qii=1 η=1илиδA =sXQi δqi ,(142)i=1гдеQi =nX∂xη∂yη∂yη∂~rηFηx=+ Fηy+ FηyF~η ·∂qi∂qi∂qi∂qiη=1η=1nX(143)называется обобщенной силой; Fηx , Fηy , Fηy — проекции вектора F~η на оси координат, а xη , xη , zη —координаты точки с массой mηОпределение.

Обобщенной силой называется коэффициент перед вариацией обобщенной координаты в выражении для сумм элементарных работ всех активных сил.Если использовать понятие мощностиN=nXη=1F~η · V~ηE =sXQi q̇iE(144)i=1dq Eгде q̇iE = dti — возможная обобщенная скорость, то обобщенную силу можно определить так:Определение.

Обобщенной силой называется коэффициент перед возможной обобщенной скоростью в выражении для суммы мощностей всех активных сил.Размерность обобщенной силы:[Q] =[F ][r]q=Hm[q](согласно выражению (143))Пример 1Пусть обобщенная координата — декартова координата точки.= H(размерность силы)[q] = m, следовательно, [Q] = HmmПример 2Пусть обобщенная координата — угол.[q] = rad, следовательно, [Q] = Hm= (размерность момента).rad48Тождества ЛагранжаВывод вспомогательных тождеств Лагранжа :Найдем скорость точки с массой mη . Для этого продифференцируем по времени уравнение~rη = ~rη (q1 , q2 , ..., qs , t),(145)где η=1,2,3,...,n (см. Обобщённые координаты механической системы, с.

57)илинаконецd~rηdV~η == ~rη (q1 , q2 , ..., qs , t)dtdt(146)s∂~rη dq1 ∂~rη dq2∂~rη dqs ∂~rη X∂~rη∂~rηV~η =++ ... ++=q˙i +,∂q1 dt∂q2 dt∂qs dt∂t∂ti=1 ∂qi(147)V~η =sX∂~rηi=1где q˙i =dqidt∂qiq˙i +∂~rη,∂t(148)— обобщённая скоростьV~η = V~η (qi , q˙i , t)(149)Таким образом, скорость точки является функцией обобщенных координат, скоростей и времени.Ускорение точки с массой mη .~aη =∂ V~η dq1 ∂ V~η dq2∂ V~η dqs ∂ V~η dq˙1 ∂ V~η dq˙2∂ V~η dq˙s ∂ V~ηdV~η=++ ... ++++ ...

++dt∂q1 dt∂q2 dt∂qs dt∂ q˙1 dt∂ q˙2 dt∂ q˙s dt∂tили~aη =sX∂ V~ηi=1∂qiq˙i +sX∂ V~ηi=1∂ q˙iq¨i +∂ V~η∂t(150)(151)Дифференцируя по времени выражение (148), получаем:"sdV~η Xd~aη ==dti=1 dtÃ!#∂~rη∂~rη dq˙idq˙i ++∂qi∂qi dtdtÃ∂~rη∂t!(152)∂~rη∂t!(153)илиsdV~η Xd~aη ==dti=1 dtÃ!sXd∂~rη∂~rηq¨i +q˙i +∂qidti=1 ∂qiÃСравнивая выражения (151) и (153), получимddtddtÃ∂~rη∂qi!=∂ V~η∂qi(154)∂~rη∂ V~η=∂qi∂ q˙i(155)Ã(156)∂~rη∂t!=∂ V~η∂tВыражения (154), (155) и (156) называются тождествами Лагранжа49 Уравнения ЛагранжаЧтобы найти уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, обратимся кобщему уравнению динамикиXXδAak +δAu(157)k = 0Для общности не будем предполагать, что все наложенные на систему связи являются идеальными.Поэтому в первую сумму могут входить как работы активных сил, так и, например, работы силтрения.Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определяется обобщенными координатамиq1 , q2 , ...qs .

ТогдаXδAk = Q1 δq1 + Q2 δq2 + ... + Qs δqs .(158)Очевидно следующее преобразованиеXuuuδAuk = Q1 δq1 + Q2 δq2 + ... + Qs δqs ,(159)uuгде Qu1 , Q2 , ..., Qs — обобщённые силы инерции, которые равныQui =X∂~rkF~ku∂qi(160)Подставляя величины (158) и (159) в уравнение (157), найдемu(Q1 + Qu1 )δq1 + ... + (Qs + Qs )δqs = 0.Так как все δq1 , δq2 , ..., δqs между собой независимы, то полученное равенство может выполнятьсятогда и только тогда, когда каждый из коэффициентов при δq1 , δq2 , ..., δqs в отдельности равен нулю.Следовательно, должно бытьu(161)(Q1 + Qu1 ) = 0, ..., (Qs + Qs ) = 0.Полученными уравнениями можно непосредственно пользоваться для решения задач динамики. Преобразуем сначала соответствующим образом величину Qu1 . Поскольку сила инерции любой из точексистемыdV~kF~ku = −mk~ak = −mkdtто первая из формул (160) дает~k ∂~rkX mk dV− Qu.(162)1 =dt ∂q1Чтобы выразить Qu1 через кинетическую энергию системы, надо преобразовать правую часть равенства (162) так, чтобы она содержала только скорости Vk точек системы.

С этой целью заметимпрежде всего, что!!ÃÃd ~ ∂~rkddV~k ∂~rk∂~rk=− V~k.(163)Vkdt ∂q1dt∂q1dt ∂q1Дальнейшее преобразование осуществляется с помощью следующих двух равенств:∂~rk∂ V~k=,∂q1∂ q˙1d ∂~rkdV~k=.dt ∂q1dq1(164)Докажем сначала справедливость первого из них. Так как согласно~rk = ~rk (q1 , q2 , ..., qs ),тоd~rk∂~rk∂~rkV~k ==q˙1 + ... +q˙sdq1∂q1∂qsи∂ V~k∂~rk=.∂ q˙1∂q1Справедливость второго из равенств (164) следует из того, что операции полного дифференцированияпо t и частного по q1 переместимы, т.е.∂ d~rkdV~kd ∂~rk==.dt ∂q1∂q1 dtdq1Подставив теперь величины (164) в (163), получимdV~k ∂~rkd  ~ ∂ V~k  ~ ∂ V~kd  1 ∂ V~k2  1 ∂ V~k2Vk==− Vk−dt ∂q1dt∂ q˙1∂q1dt 2 ∂ q˙12 ∂q1и формула (162), если учесть, что сумма производных равна производной от суммы, а V~k2 = Vk2 ,примет видP"Ã∂ X mk Vk2dt ∂ q˙12dQu1 =!#Ã∂ X mk Vk2−∂q12!=∂Td ∂T−,dt ∂ q˙1 ∂q1где T = mk Vk2 /2 — кинетическая энергия системы.Аналогичные выражения получатся для всех остальных обобщенных сил инерции.

В результатеравенства (161) дадут окончательноddtÃ∂T∂ q˙1!−∂T= Q1 ,∂q1Ã!∂T∂T= Q2 ,−∂ q˙2∂q2................Ã!d ∂T∂T−= Qs .dt ∂ q˙s∂qsЭти уравнения и представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа 2-го рода.ddt50Теория удара50.1 ОпределенияОпределение. Явление, при котором скорости точек тела за малый промежуток времени меняютсяна конечную величину, называется ударом.

Ударный импульс~уд =SZсрF~уд dt = F~уд τ(165)0отличается от импульса неударных сил тем, что время удара τ мало, ударные силы Fуд велики, аSуд принимает конечное значение. Поэтому изучая удар будем пренебрегать• неударными силами по сравнению с ударными,• перемещениями точек тела во время удара.Теорема об изменении количества движения (с. 38) в случае удара имеет видX~ke~1 − Q~0 =SQ(166)Интегрируя теорему об изменении момента (относительно точки A) количества движения~A XdKm~ A (F~k ),=dtkв случае удара, получим с учетом (165)X~ A1 − K~ A0 =~ke )Km~ A (S(167)50.2 Удар материальной точки о поверхностьС некоторой высоты H точка массой m падает на поверхность и отскакивает на высоту h (рис. 89).Hh~v?~u6Рис.

89Рис. 90Скорость точки при ударе о поверхность v, при отскоке от поверхности u (рис. 90). Очевидно,u < v.Определение. Отношение скоростейuk=vназывают коэффициентом восстановления при ударе.qЕго можно найти экспериментально. Согласно√√формуле Галилея, v = 2gH, u = 2gh. Отсюда k = h/H. Коэффициент восстановления меняетсяв пределах 0 ≤ k ≤ 1.50.3 Косой ударРешим задачу.