Лекции по механике (Лекции PDF), страница 8

На точку кроме приложенной активной силы могутдействовать реакции связиF~ (a)µm~a -~RN~R-~m~a = F~ (a) + N(108)~ + (−m~a) = 0F~ (a) + N(109)~ = −m~aΦ(110)Формулой (110) определяется сила инерции(Даламберова сила)~ +Φ~ =0F~ (a) + N(111)Из формулы (111) следует принцип Даламбера для одной материальной точки:• активные силы, реакции связи и силы инерции образуют уравновешенную систему или системусил эквивалентную нулю.Используя формулу (111) мы сможем свести задачу динамики к задаче элементарной статики.38Принцип Даламбера для системы материальных точекРассмотрим произвольную систему n материальных точек к которым приложены активные (известные) силы и на которые наложены произвольные связи.z 6F~vOOmv*~rvªxµ~av-z~vNyРис. 77На основании аксиомы о связях освободим систему от связей и заменим их действие реакциями.Уравнения движения будут иметь вид:(a)~1 + Φ~1 = 0F~1 + N(a)~2 + Φ~2 = 0F~2 + N........................~n + Φ~n = 0F~ (a) + NnnX(a)F~i +i=1Из (112) получаем:nX~i +Ni=1nX~i = 0Φ(112)i=1~ (a) + R~ (N ) + R~ (инерц)R(113)~ (a) — главный вектор активных сил;R~ (N ) — главный вектор сил реакций связей;R~ (инерц) — главный вектор даламберовых сил инерции.RИз (113) следует принцип Даламбера для системы материальных точек:• Сумма главных векторов активных сил, реакций связи и сил инерции равна нулю, т.е.

активныесилы и реакции связи и силы инерции образуют уравновешенную систему сил.39 Главный вектор и главный момент даламберовых сил инерцииТак как главный вектор даламберовых сил инерции равен~ (инерц) = −RnXv=1mv~av = −nXv=1mv~dV~vdQ=−dtdt(114)~ = Pnv=1 mv~vv . Таким образом, R~ (инерц) = − dQ~ , т.е главный вектор даламберовых сил инерцииздесь Qdtравен производной по времени от вектора количества движения системы материальных точек, взятыйс обратным знаком.Вектор количества движения системы материальных точек как функция скорости центра масс~ = m~vc .

Поэтомуимеет вид: Q~ (ин) = −m d~vc(115)Rdt• Главный вектор сил инерции системы материальных точек равен силе инерции центра масссистемы в предположении, что в нем сосредоточена вся масса системыГлавный момент относительно точки О даламберовых сил инерции системы материальных точекимеет вид:~0 = L~ 0(a) + L~ 0(N ) + L~ (инерц)L(116)0илиnX~rv F~v(a) +v=1nX~ v(N ) +~rv Nv=1nX~ v(инерц) = 0~rv Φ(117)v=1Где момент инерции имеет вид:~ (инерц)L0=nX~v =~rv Φv=1nXv=1~rv × mv~av = −Xdd~vv=−~rv × mvdtP~rv × mv~vv X d~rv+× mv~vvdtdtВ последнем выражении векторное произведение d~dtrv × mv~vv равно нулю, аколичества системы относительно точки . Поэтому~0dK~ (инерц)L=−0dtP~rv mv × ~vv — момент(118)• главный момент даламберовых сил инерции системы материальных точек относительно точкиравен производной по времени от вектора кинетического момента этой системы относительноточки с противоположным знаком.40 Оси КенигаРассмотрим систему материальных точек с массами mv и координатами xv , yv , zv в неподвижнойсистеме координат Ox* y * z * .z *6z 6cªxOªx*-y- *yРис.

78Координаты центра масс этой системы определяются равенствами:PPPm v yvmv zvm v xvxc = P; yc = P; zc = Pmvmvmv(119)Если в центре масс построить систему осей Cxyz, которые параллельны осям Ox* y * z * и перемещаются поступательно относительно этих (неподвижных) осей, то такая система осей будет называтьсяосями Кенига.41Кинетический момент абсолютно твердого тела относительно неподвижной точкиРазобьем тело на n материальных точек с массами mνРис.

79По определению кинетического момента:K~O =nXK~Oν =nXν=1ν=1r~ν × mν V~ν(120)Скорость любой точки тела выражается как:V~ν = V~O + ω~ × r~ν , где V~O = 0С учетом последнегоnXK~O =ν=1nXr~ν × mν ω~ × r~ν =ν=1mν (~ω (r~ν · r~ν ) − r~ν r~ν · ω~)Запишем векторы из предыдущего выражения как функции их проекций на оси координат:K~O = KOx~i + KOy~j + KOz~k;Учтем, что r~ν · r~ν = x2ν + yν2 + zν2 ;Тогда выражение примет вид:K~O =nXν=1r~ν = xν~i + yν~j + zν ~k;ω~ = ωx~i + ωy~j + ωz~kr~ν · ω~ = xν ωx + yν ωy + zν ωzmν {(ωx~i + ωy~j + ωz~k)(x2ν + yν2 + zν2 ) − (xν~i + yν~j + zν ~k)(xν ωx + yν ωy + zν ωz )}Для проекций вектора кинетического момента получаем выражения:KOx =nXmν {ωx x2ν + ωx yν2 + ωx zν2 − x2ν ωx − xν yν ωy − xν zν ωz }nXmν {ωy x2ν + ωy yν2 + ωy zν2 − xν yν ωx − yν2 ωy − yν zν ωz }ν=1KOy =ν=1KOz =nXν=1mν {ωz x2ν + ωz yν2 + ωz zν2 − zν xν ωx − yν zν ωy − zν2 ωz }Поскольку не зависят от выбора точки на теле, то предыдущие выражения можно переписать в виде:KOx = [nXmν (yν2+zν2 )]ωx−[ν=1ν=1KOy = −[nXmν yν xν ]ωx + [ν=1KOz = −[nXν=1nXnXν=1mν zν xν ]ωx − [nXν=1mν xν yν ]ωy − [nXmν xν zν ]ωzν=1mν (zν2 + x2ν )]ωy − [nXmν yν zν ]ωzν=1mν zν yν ]ωx + [nXν=1mν (x2ν + yν2 )]ωzВведем обозначения:Ixx =nXmν (yν2 + zν2 )ν=1Iyy =nXmν (x2ν + zν2 )ν=1Izz =nXmν (x2ν + yν2 )ν=1nXIxy =m ν xν yνν=1nXIyz =mν yν zνν=1nXIzx =mν zν xνν=1Получим:KOx = Ixx ωx − Ixy ωy − Ixz ωzKOy = Ixy ωx − Iyy ωy − Iyz ωzKOz = Ixz ωx − Izy ωy − Izz ωzКинетический момент твердого тела с однородной неподвижной точкой относительно этой точкиравен произведению тензора инерции на угловую скорость тела.42 Моменты инерции абсолютно твердого тела42.1ОпределенияРазделим мысленно твердое тело на n частей с массами mν и радиусами-векторами r~ν .Если xν , yν , zν — координаты точки с массой, то ~rν = vν~i + yν~j + zν + ~k.Радиус-вектор центра масс полученной системы определяется по формуламnX~rc =mν ~rν .(121)ν=1Выражения для осевых моментов инерции твердого тела имеют вид:Ixx =nXmν (yν2 + zν2 ),nXmν (x2ν + zν2 ),ν=1Iyy =(122)ν=1Izz =nXmν (x2ν + yν2 ).ν=1Выражения для центробежных моментов инерции твердого тела имеют вид:Ixy =nXm ν xν yν ,nXmν yν zν ,ν=1Iyz =ν=1(123)nXIzx =mν zν xν .ν=1При увеличении числа n и стремлении mν к нулю выражения (122) и (123) принимают вид:ZZ Z(y 2 + z 2 )dm,Iyy =Z Z Z(y 2 + z 2 )dm,Izz =Z Z Z(z 2 + x2 )dm,Ixx =VVVIxy =Z Z Zxydm,Iyz =Z Z Zyzdm,Izx =Z Z Zzxdm.VVVОбозначим через γ плотность тела в точке x, y, z, тогда dm = γ(x, y, z)dV , где dV — элементарныйобъем.

C учетом этого выражения для моментов инерции примут вид:Ixx =ZZ Z(y 2 + z 2 )γ(x, y, z)dxdydz,Iyy =ZZ Z(x2 + z 2 )γ(x, y, z)dxdydz,ZZ Z(x2 + y 2 )γ(x, y, z)dxdydz,V(124)VIzz =VZZ Zxyγ(x, y, z)dxdydz,Iyz =ZZ Zyzγ(x, y, z)dxdydz,Izx =ZZ Zzxγ(x, y, z) dxdydz.Ixy =V(125)VVЕсли тело — однородное, то выражения (124), (125), являющиеся компонентами тензора инерциитела, примут вид:Ixx = γZZ Z(y 2 + z 2 )dxdydz,Iyy = γZZ Z(x2 + z 2 )dxdydz,Izz = γZZ Z(x2 + y 2 )dxdydz,VVVIxy = γZZ ZVxydxdydz,Iyz = γZZ Zyzdxdydz,Izx = γZZ Zzxdxdydz.VV42.2 Свойства тензора инерцииДиагональные элементы матрицы I (осевые моменты инерции) строго положительны:Ixx ≥ 0, Iyy ≥ 0, Izz ≥ 0.Осевые моменты инерции любого твердого тела удовлетворяют следующим неравенствам:Ixx + Iyy ≥ Izz , Izz + Iyy ≥ Ixx , Ixx + Izz ≥ Iyy .42.3 Моменты инерции тела относительно параллельных осей.

Теорема Гюйгенсаz0z 66dOªC-y0-yx0xªРис. 80Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найтимомент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной.Проведем через центр масс тела произвольные оси x0 y 0 z 0 , а через любую точку на оси Cx0 —оси Oxyz, такие, что Oy||Cy 0 , Oz||Cz 0 (рис. 80). Расстояние OC между осями и обозначим через d.Тогда по формулам (122) будетIOz =Xmk (yk2 + x2k ), IOz0 =X22mk (y 0 k + x0 k ).(126)Но, как видно из рисунка, для любой точки тела xk = x0k − d и x2k = x0 2k + d2 − 2x0 k d, а yk = yk0 .Подставляем эти значения xk , yk в выражение для Ioz и вынося общие множители d2 и 2d за скобки,получимXXX22(127)IOz =mk (y 0 k + x0 k ) + ( mk )d2 − 2dm k x0 k .В правой части равенства, согласно (126), первая сумма равна Icz0 , а вторая — массе тела .

Найдемзначение третьей суммы.PНа основании формул (121) для координат центра масс mk x0k = M x0c . Так как в нашем случаеPточка является началом координат, то x0 c = 0 и, следовательно, mk x0k = 0. окончательно получаемIOz = IOz0 + M d2 .(128)Формула выражает теорему Гюйгенса:Теорема. Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительнооси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всеготела на квадрат расстояния между осями.42.4 Тензоры инерции простейших абсолютно твердых тел1. Однородный дискРис.

81Имеем однородный диск массы m и радиуса R. Разобьем диск на кольца с радиусами rν и массамиmν . ТогдаIzz =nXrν2 mν =nXrν2 γ∆Sν ,ν=1ν=1где ∆Sν — площадь кольца с внутренним радиусом rν и внешним rν + ∆rν . Плотность однородногоPдиска: γ = m/(πR2 ), а ∆Sν = 2πrν ∆rν . Поэтому Izz = 2m/R2 nν=1 rν3 ∆rν . При n →∈ ∞Izz = 2m/R2ZR0r3 dr = mR2 /2.И окончательно имеем для момента инерции диска относительно оси z выражение:Izz = mR2 /2.Поскольку диск бесконечно тонкий неравенство Ixx + Iyy ≥ Izz переходит в равенство Ixx + Iyy = Izz .Но в силу симметрии моменты инерции относительно осей x и y равны, поэтому имеем:Ixx = Iyy = Izz /2 = mR2 /4.В силу наличия плоскостейIxy = Ixz = Izy = 0, поэтомусимметрииmR24I=00центробежные0mR24000mR24моменты1 0 0mR20 1 0 .=40 0 22.

СтерженьРис. 820I= 000ml23000ml231 0 0ml20 1 0 .=30 0 1инерцииравнынулю43Кинетическая энергия43.1Кинетическая энергия материальной точкиОпределение. Кинетическая энергия материальной точки — скалярная мера механического движения, равная:mi vi2Ti =2т.е. половина произведения массы точки на квадрат ее скорости.43.2 Кинетическая энергия системы материальных точекОпределение.

Кинетическая энергия системы n материальных точек равна сумме кинетическихэнергий всех точек:nnXXmi vi2Ti =T =2i=1i=1• Теорема Кенига:Кинетическая энергия системы материальных точек в ее абсолютном движениискладывается из кинетической энергии центра масс системы, в предположении,что в нем сосредоточена масса всей системы, и кинетической энергии системыв ее движении относительно центра масс.Доказательство:Pnmi~ri— радиус-вектор центра массi=1 miCx y z — кенигова система координат, так как ~ri = Pi=1n0 0 0системы. Поэтому~ri0Pnmi~ri0=0i=1 mi= Pi=1n(129)d~ri0+ ~vCdtВыражение для кинетической энергии системы имеет вид:пер~viабс = ~viотн + ~vi=Ãnn´³1Xd~ri01Xабс 2=mi ~vimiT =+ ~vC2 i=12 i=1dtилиÃn1Xd~ri0T =mi2 i=1dtТак как!2nX(130)!2nXnnnd~ri01X1 2X1X2отн 2mimi+mi (~vC ) =mi (~vi ) + ~vC· ~vC +dt2 i=12 i=12 i=1i=1ÃnnXd~ri0d Xd~ri0mimi~ri0 · ~vC· ~vC =· ~vC =midtdtdt i=1i=1i=1(см (129)).