Лекции по механике (Лекции PDF), страница 5

Построеный таким образом вектор ω~ являетсяdtединственным и не зависит от выбора точки A, называемой полюсом.Определение. Вектор ω~ , проекции которого определяются формулами (36) называется вектором угловой скорости твердого тела.~ Эта формула называется основной формулой кинематики А.Т.Т.В итоге получаем V~B = V~A + ω~ × AB.и выражает Теорему о распределении скоростей при движении абсолютно твердого тела.Скорость произвольной точки А.Т.Т. равняется геометрической сумме вектора скорости полюса и скорости точки во вращении вокруг полюса.24.2 Теорема о независимости угловой скорости от выбора полюсаТеорема.

Угловая скорость абсолютно твердого тела не зависит от выбора полюса.Рис. 55Доказательство.Предположим, что это не так, т.е. ω~ A 6= ω~ B.По теореме о распределении скоростей в твердом теле (с. 22)~V~M = V~A + ω~ A × AM~V~M = V~B + ω~ B × BM(39)(40)~ Подставим это выражение в (40) :Но V~B = V~A + ω~ A × AB.~ +ω~V~M = V~A + ω~ A × AB~ B × BM(41)~ =ω~ +ω~ или ω~ − AB)~ −ω~ = 0. НоИз (39) и (41) следует ω~ A × AM~ A × AB~ B × BM~ A × (AM~ B × BM~ = AB~ + BM~ , следовательно ω~ −ω~ = 0 или (~ωA − ω~ = 0.AM~ A × BM~ B × BM~ B ) × BMПоэтому ω~A = ω~ B . Что и требовалось доказать.24.3 Поступательное движениеОпределение.

Движение А.Т.Т. называется поступательным если любой отрезок проведенный втеле движется параллельно своему первоначальному положению.Теорема. (о поступательном движении тела) При поступательном движении А.Т.Т. траектории всехего точек при наложении совпадают, а скорость и ускорение всех точек А.Т.Т. равны между собой.Доказательство.Проведем в теле произвольный отрезок AB. Точки A и B произвольные.A¸~r Bzµz0rA6~0x0ªРис.

56~rBy0-Согласно определению траектория точки В получаетсяиз траектории точки смещением на постоянный вектор~ Следовательно траектории точек и совпадают приAB.наложении. Найдем скорости и ускорения.~d~rBd~rA ~~ =⇒ d~rB = d~rA + dAB; VB =~rB = ~rA + ABV~A =dtdtdtdtdtПо определению поступательного движенияСледовательно~d(AB)=0dtV~B = V~A(42)~aB = ~aA(43)Дифференцируя (42) по времени, находимЧто и требовалось доказать.При поступательном движении А.Т.Т. достаточно знать (или задать) движение одной точки этоготела. Примером поступательного движения может служить движение кабины "Чертова колеса".24.4 Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной осиA¸~ABzµBz0rA6~0~rBy0-Определение. Вращением тела вокруг неподвижной осиназывается такое движение, при котором какие-либодве точки тела остаются неподвижными.

Можно показать, что при этом все точки на оси, проходящей через две закрепленные точки, остаются неподвижными.Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси.Выберем произвольную точку A на неподвижной оси.Для любой точки B, находящейся не на оси, имеем (см.Распределение скоростей в абсолютно твердом теле)x0ª~V~B = V~A + ω~ × AB(44)Рис. 57Но VA = 0 по построению. Следовательно,~V~B = ω~ × AB(45)(формула Эйлера). Построим связанную с телом систему координат в точке A. Ось Az неподвижнаи направлена по неподвижной оси; ~i, ~j, ~k — единичные векторы, направленные вдоль осей связаннойсистемы.Тогда согласно раздела (см. Распределение скоростей в абсолютно твердом теле имеем следующиезначения составляющих угловой скорости:d~kd~k ~d~i ~d~jωx = − · ~j = 0; ωy =· i = 0; ωz =· j = − · ~idtdtdtdt0т.е.

, ω~ = 0 ωz(46)ω~VB6 MA~ABz¸rA6~Следовательно, вектор угловой скорости вращениянаправлен по оси вращения. Скорость точки B направлена перпендикулярно плоскости, проходящей~ Значение этой скорости (сочерез векторы ω~ и AB.гласно определению векторного произведения) равно:h µBz0z 6~rB-xªyy0-0d~~ · sin (ω|V~B | = |~ω | · |AB|~ , AB)= ωx · h-x0ª(47)т.е., произведению модуля угловой скорости вращения на расстояние от точки B до оси вращения.Рис. 58С учетом того, что точка A находится на неподвижной оси, ускорение точки B определяетсявыражением:~ddABd~ωdV~B~ = d~ω × AB~ +ω~ +ω~= ω~ × AB~×=× AB~ × [~ω × AB]dtdtdtdtdtВектор ~ε =(48)d~ωназывается вектором углового ускорения.

Окончательно имеем:dt~a =ω~~6dV~B~ +ω~ = a~τ + a~n= ~ε × AB~ × [~ω × AB]dt(49)M VB~aτAM¸¾z~ABz~an µB0rA6~z 6~rB-xª0x0ª-yy0-В выражении (49) aτ называется вращательным ускорением в точке B, направление которого совпадает с направлением скорости точки B, an называется осестремительным ускорением в точке B и направлен к оси вращения.Рис. 59Рис. 60d~i ~· j как функцию угла поворота осей x и y вокруг неподвижной осиВычислим значение ωz =dtz.

Так как~i = cos ϕ · ~i0 + sin ϕ · j~0(50)~j = − sin ϕ · ~i0 + cos ϕ · j~0ωx = [− sin ϕ · ϕ̇ · ~i0 + cos ϕ · ϕ̇ · j~0 ] × [− sin ϕ · ~i0 + cos ϕ · ~j] = ϕ̇(51)(52)т.е. ωz = ϕ̇, тогда модуль вектора углового ускорения равен ε = ϕ0024.5Плоское движение. Мгновенный центр скоростейОпределение. Плоским движением абсолютно твердого тела называется такое движение, при котором любая точка тела остается в плоскости, параллельной некоторой заданной плоскости. При этомдостаточно рассматривать движение сечения твердого тела, которое параллельно некоторой плоскости: все остальные сечения движутся так же.

Само тело вовсе не обязательно должно быть плоским.Говорить о скорости тела или его ускорении в общем случае не имеет смысла: тело состоит из множества точек, каждая из которых может иметь свою скорость и ускорение. Исключение составляетпоступательное движение тела, при котором равны скорости и ускорения всех точек. Кроме того,в некоторых задачах иногда говорят, например, о скорости катящегося цилиндра или о скоростиавтомобиля, подразумевая при этом скорость точек центральной оси цилиндра или скорость кузоваавтомобиля, принимая его за точку.Угловая скорость и ускорение для плоского движения — векторные величины, но их направления всегда перпендикулярны плоскости движения. Введем декартову систему координат, в которойплоскость xy совпадает с плоскостью движения. Тогда угловая скорость ω~ и ускорение ~ε направленывдоль оси z. В решении задач удобно использовать скалярные величины — проекции этих векторовна ось z: ωz и εz .

Индекс z иногда будем опускать.Рассмотрим движение некоторого сечения абсолютно твердого тела (плоской фигуры), котороепараллельно плоскости экрана (предполагается, что Вы работаете с плоским экраном!).Для любой точки B рассматриваемого сечения имеет место~V~B = V~A + ω~ × ABПри этом вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости экрана:ω~ = 0 · ~i + 0 · ~j + ωz · ~kОпределение. Мгновенным центром скоростей плоской фигуры называется точка на плоскости,связанной с этой фигурой, скорость которой в данный момент времени равняется нулю.Теорема Если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то мгновенный центр скоростейвсегда существует и определяется единственным образом.Доказательство существованияA.1. Если скорость произвольной точки А в данный момент времени равна нулю, то эта точка —мгновенный центр скоростей.~2.

Если V~A =6 0, рассмотрим некоторую точку . Для скорости точки имеем V~P = V~A + ω~ × AP~ × V~A~ =ωтогда:Выберем APω2ω~ × V~A1V~P = V~A + ω~×= V~A + 2 [~ω × [~ω × V~A ]]2ωωz(53)Используя свойство двойного векторного умножения перепишем (53) как:1V~P = V~A + 2 (~ω · (~ω · V~A )) − V~A · (~ω · ω~)ωz(54)И поскольку вектор ω~ перпендикулярен вектору V~A , последнее выражение примет вид:1V~P = V~A + 2 (−V~A · ωz2 ) = V~A − V~A = 0ωz~ можно вычислить:Т.о.,V~P = 0, а точка P — мгновенный центр скоростей. Модуль вектора APAP =~1~A | · sin π = |VA ||~ω|·|Vωz22ωz(55)Рис.

61B.Для некоторой точки A, скорость которой не равна нулю, введем систему координат так, что ось~ > 0 Выберем на оси Ax точку P . ЕеAy направлена по вектору V~A . Тогда имеем: VAx = 0 и VAy = |A|координаты: (x, 0). Скорость точки P :¯¯¯~~~VP = VA + ω~ × AP = VA · ~j + ¯¯¯¯~i0x¯~j ~k ¯¯¯0 ωz ¯¯ = VA · ~j + ωz · x · ~j = (VA + ωz · x) · ~j0 0 ¯(56)VAx, то Vp = 0 что и требовалось доказать.ωzДля нахождения мгновенного центра скоростей нужно повернуть вектор скорости точкина 90¯¯¯ VA ¯градусов по направлению вращения тела и на полученном луче отложить отрезок AP = ¯¯ ¯¯.ωzДоказательство единственности мгновенного центра скоростейПредположим, что мгновенных центров скоростей у тела — два, т.е., имеем V~P = 0 и V~k = 0.

Тогда~ следовательно ω~для любой точки будем иметь V~C = V~P + ω~ × P~C = V~K + ω~ × KC,~ × P~C = ω~ × KC.~ = 0 и P~C − KC~ = 0. Значит P~C = KC,~ что и требовалось доказать.Тогда ω~ × (P~C − KC)Если x = −24.6 Распределение скоростей при плоском движенииРис. 62Если точка — мгновенный центр скоростей, то для некоторой точки имеем:V~A = V~P + ω~ × P~M(57)И с учетом того, что V~P = 0 скорость точки определяется выражением:V~A = ω~ × P~M(58)Если ω~ 6= 0, то в каждый момент времени распределение скоростей плоской фигуры такое же, как ипри вращательном движении вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей: скороститочек плоской фигуры перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центромскоростей, а величины скоростей пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центраскоростей:VA = ωz · AP(59)24.7 Распределение ускорений при плоском движенииРис.

63Скорость точки B определяется выражением:~V~B = V~A + ω~ × AB(60)~dV~BdV~A d~ωdAB~ +ω=+× AB~×dtdtdtdt(61)Продифференцируем по времени:d~ωdϕ ~dω ~d2 ϕ ~= ~ε — вектор углового ускорения тела. Так как ω~ =k =k, то ~ε =k2dtdtdtdt1Размерность: [ε] = 2сВ выраженииПри плоском движении вектор углового ускорения перпендикулярен плоскости движения, а еговеличина равна второй производной по времени угла поворота тела вокруг полюса.~dAB~=ω~ × ABdt(62)~ +ω~~aB = ~aA + ~ε × AB~ × (~ω × AB)(63)Поэтому выражение можно переписать:~ =ω~ − AB~ · (~ω · ω~ 2 , выражение можно переписать вУчитывая, что ω~ × (~ω × AB)~ · (~ω · AB)~ ) = −ABωвиде:~~ − ω 2 AB(64)~aB = ~aA + ~ε × AB~ = ~aτBA — касательное (вращательное) ускорение точки B относительно полюсаВ выражении ~ε × AB~ = ~an — нормальное (осестремительное) ускорение точки B относительно полюса A.A; (-ω 2 AB)BAС учетом последних замечаний имеем:~aB = ~aA + ~aτBA + ~anBA(65)Формула выражает теорему о распределении ускорений при плоском движении:~aBº~aBAI~aτBA 6~aA11¾A~anBA B~aAТеорема.