Лекции по механике (Лекции PDF), страница 3

. . , G~ m }.Дано: {F~1 , F~2 , . . . , F~n } ∼ {G~ F~ ) = R(~ G),~~ O (F~ ) = L~ O (G)~Доказать: R(LПо теореме о приведении произвольной системы сил к двум силам любую систему сил можно привести к двум силам. Поэтому можно вместо исходных рассматривать новые системы сил: {F~1 , F~2 } и~ 1, G~ 2 } (здесь F~1 , F~2 , G~ 1, G~ 2 — не те же самые, что в исходных системах).{GРассмотрим три рисунка одного тела, на которое действуют системы сил.µ~1GF~1~0G1µµ~1GF~1µªI~0G2F~2 RI~2RGF~2 RII~2RGIIIРис. 20Рис.

21Рис. 22~ 01 , G~ 02 } ∼Имеем I ∼ III (по условию), I ∼ II (по построению), следовательно, II ∼ III и {F~1 , F~2 , G{0}.~ F~ + G~ 0) = 0 и L~ O (F~ + G~ 0 ) = 0 по теореме об эквивалентности нулю системы сил.Тогда R(00~1 + G~ 2 = F~1 + F~2 − G~1 − G~ 2 = 0, следовательно, F~1 + F~2 = G~1 + G~2 иОтсюда 1) F~1 + F~2 + G~ F~ ) = R(~ G).~R(~ O (F~ ) + L~ O (G~ 0 ) = 0, L~ O (F~ ) − L~ O (G)~ =0иL~ O (F~ ) = L~ O (G).~ Что и требовалось доказать.2) L14.2Доказательство достаточности~ F~ ) = R(~ G),~ L~ O (F~ ) = L~ O (G).~ Доказать: {F~1 , F~2 , . . .

, F~n } ∼ {G~ 1, G~ 2, . . . , G~ m }.Дано: R(Рассмотрим те же самые рисунки (20-22). Здесь I ∼ II (по построению).~ 02 } ∼ 0.~ 01 , GПокажем, что {F~1 , F~2 , G~ F~ ) = R(~ G),~ L~ O (F~ ) = L~ O (G),~ следовательно, R(~ F~ ) = −R(~ G~ 0 ), L~ O (F~ ) = −L~ O (G~ 0)По условию R(~ F~ ) + R(~ G~ 0) = 0 и L~ O (F~ ) + L~ O (G~ 0 ) = 0. И по теореме об эквивалентности нулю системы силили R(~ 01 , G~ 02 } ∼ 0.{F~1 , F~2 , G~ 01 , G~ 02 } ∼ 0, то II ∼ III. Значит, и I ∼ III.

Что и требовалось доказать.Но если {F~1 , F~2 , G1515.1Приведение системы сил к простейшей системеИнварианты~ системы сил не зависит от выбора центра приведения и называетсяОпределение. Главный вектор Rпервым статическим инвариантом I1 .~ · L~O систеОпределение.

Скалярное произведение главного вектора и главного момента I2 = Rмы сил не зависит от выбора центра приведения и называется вторым статическим инвариантом.~ · L~O0 = R~ · L~O + R~ · O~0 O × R,~ но R~ · O~0 O × R~ = 0, поскольку вектор R~ перТак как I2 (O0 ) = R0~~пендикулярен векторному произведению O O × R.15.2 Классификация пространственных систем силIIIIII~ = 0, L~O = 0RСистема эквивалентна нулю~~~OR = 0, LO 6= 0Система приводится к паре сил с моментом L~ 6= 0, L~O = 0 Система приводится к единственной силе в точке O (система имеет равноа) R~ Примерами таких систем являются: система сходящихсядействующую R).сил, плоская система сил, не сводящаяся к паре, система параллельных сил.~ =0,L~O 6=0R6b) R·Система приводится к единственной силе в новой точке .~ L~ =0OIV16~ =0,L~O 6=0R6~ L~O 6=0R·Система приводится к моменту и силе в новойточке C, что называется динамическим винтом.Виды связейОпределение.

Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, называют связью.Определение. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным егоперемещениям, называется силой реакции связи или просто реакцией связи. Направлена реакциясвязи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.Виды связей:1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора.B~1Nµ~Nµ6~N2AРис. 23Рис. 24~ гладкой поверхности или опоры направРеакция Nлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой~ 1 ⊥ AB.точке.

N2. Нить. Реакция натянутой нити направлена вдоль нити к точке ее подвеса.~MTРис. 253. Цилиндрический шарнир. Реакция цилиндрического шарнира может иметь любое направлениев плоскости, перпендикулярной оси шарнира.~R±αРис. 264.

Сферический шарнир и подпятник. Реакция сферического шарнира может иметь любое направление в пространстве.µ~RРис. 27µ~RРис. 285. Невесомый стержень.K~N±~NРеакция невесомого шарнирно прикрепленногостержня направлена вдоль оси стержня или вдольпрямой, соединяющей шарниры (рис. 30).Рис. 2917Рис. 30Система сходящихся силzF~26µF~3]~1-yj F7F~N~...wFªОпределение. Система сил, все линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся.Система сходящихся сил имеет равнодействующую, вектор силы которой определяется сложением векторов сил по правилупараллелограмма и проходит через точку, в которой сходятсялинии действия системы сил.xРис.

31Теорема. (Вариньон) Момент равнодействующей силы для системы сходящихся сил относительнопроизвольной точки равен сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точки.18Система параллельных силОпределение. Система сил, в которой векторы сил имеют параллельные линии действия, являетсяпараллельной системой сил.18.1 Случай двух параллельных сил, направленных в одну сторону??F~BF~AРис. 32Дана система двух параллельных сил (рис. 32). Проведем через точки и прямую и добавим ксистеме эквивалентную нулю систему из двух равных по величине и противоположно направленных~ и G~ 0 (рис. 33). Новая система из четырех сил G,~ G~ 0 , F~A , F~B эквивалентна системе из двухсил G~ иR~ 0 , которыеисходных сил.

Но новую систему можно заменить системой из двух сил (рис. 34) Rможно перенести по линиям действия в точку пересечения S и сложить по правилу параллелограммаS(рис. 35).R~0R®~R~¾AGB-~0G?F~B?F~A~0G~¾AGB-~R® ?F~A~0RF~B~?RABC?RR®Рис. 33Рис. 34Рис. 35~~~Результирующая сила R = FA + FB эквивалентна исходной системе сил (рис. 35). Модуль результирующей R = FA + FB .Сила параллельна исходной системе сил и равна по величине сумме их значений. Из геометрииследует, чтоACFB=.BCFAТаким образом, система двух параллельных сил, направленных в одну сторону, приводится кодной силе, эквивалентной системе из этих параллельных сил; причем линия действия новой силыпараллельна линиям исходных сил и делит расстояние между ними в отношении, обратно пропорциональном их величинам, а величина силы равна сумме величин исходных сил.18.2 Случай двух параллельных сил, направленных в противоположные стороныАналогично можно показать, что система двух параллельных сил, не равных по величине и на~ направленной параллельноправленных в противоположные стороны, эквивалентна одной силе R,исходным силам в сторону большей силы, причем линия действия эквивалентной силы делит отрезок, соединяющий точки приложения исходных сил внешним образом (рис.

36) в соотношении:FBAC=.BCFAF~B6~R6ABC?F~AРис. 36Модуль результирующей R = FB − FA .19 Трение19.1R~AKСила трения скольженияЕсли два тела I и II взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точкеA, то всегда реакцию RA , действующую, например со стороны тела II иприложенную к телу I, можно разложить на две составляющие: NA , направленную по общей нормали к поверхности соприкосновении тел в точкеA, и Fc , лежащую в касательной плоскости. Составляющая NA называетсянормальной реакцией, сила Fc называется силой трения скольжения— она препятствует скольжению тела I по телу II. В соответствии с третьим законом Ньютона на тело II со стороны тела I действует равная помодулю и противоположно направленная сила реакции.N~A6I~F¾cAРис.

37IIЕе составляющая, перпендикулярная касательной плоскости, называется силой нормальногодавления.Сила трения Fc = 0, если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие.Сила трения всегда лежит на общей касательной плоскости к поверхностям соприкосновения.Величину силы трения, как и всякой другой реакции опоры, можно найти из условия равновесияпокоящегося тела. Предельное же значение силы трения определяется из закона экспериментальноустановленного Ш.Кулоном в 1781 г.Ftr = f N.Величина предельной силы трения зависит от материала соприкасающихся тел и нормальной реакции. При трении дерева о дерево 0.4 < f < 0.7, металл о металл 0.15 < f < 0.25.

Все сказанноеотносится к так называемому "сухому трению", т.е. трению, не зависящему от скорости движения.Для сил трения в самом общем случае существует большое число экспериментальных и теоретических зависимостей.19.2Сила трения каченияРассмотрим цилиндр, покоящийся на горизонтальной плоскости, когда на него действует горизонтальная сила Q; кроме неё действуют сила тяжести P , а также нормальная реакция N и горизонтальная реакция плоскости (сила сцепления с плоскостью) Fc .

Заметим, гладкая плоскость не имеетсилы Fc , а N имеется всегда при наличии контакта.Ir~P~F~c ¾?~6NI~QQP~F~¾c?-~6N?MtrF~c ¾~P~Q-?~6Nδ δРис. 38Рис. 39Рис. 40Как показывает опыт, при достаточно малом модуле силы Q цилиндр остаётся в покое. Но этотфакт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением сил, изображенных на рис. 38. Согласноэтой схеме равновесие невозможно, так как главный момент всех сил, действующих на цилиндр−Qr, отличен от нуля. Для устранения отмеченного несоответствия с опытом необходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и учесть, что в действительности цилиндр и плоскостьвблизи точки контакта деформируется и существует некоторая площадка контакта конечной ширины 2δ.

Если под действием внешних сил цилиндр будет катится направо, то реакция опоры будеттакже смещена направо. Цилиндр будет катиться направо, поворачиваясь в каждый момент вокругнекоторой точки плоскости, к которой приложены реакции N и Fc (рис. 39). Считая деформациюмалой, заменим эту систему сил системой, изображенной на рис. 40.

К цилиндру приложена парасил с моментом Mtr = N δ. Этот момент называется моментом силы трения качения. Коэффициенттрения δ качения имеет размерность длины.20 Центры тяжести простейших фигур20.1 Центр тяжести треугольникаЦентр тяжести треугольника с вершинами A, B, C находится в точке пересечения его медиан.xo = (xA + xB + xC )/3, yo = (yA + yB + yC )/3.y6BycCA-xxcРис. 4120.2 Центр тяжести дуги окружностиy6xc =RααxoR sin αα-xРис. 42В частности, для дуги полуокружности будем иметь xc =2Rπ20.3 Центр тяжести кругового сектораy6xc =Rααxo2R sin α3α-xРис. 43В частности, для сектора в виде полукруга получим xc =4R3π21ДинамаВторой статистический инвариант:I2 = F~O · M~O = Fx Mx + Fy My + Fz Mz(15)Определение.