Диссертация (Энергетический баланс импульсного пересоединения), страница 9

1.7).  ñëó÷àå ñèììåòðè÷íîé ãåîìåòðèè ïîëåé, îáðàçîâàâøèåñÿ âðåçóëüòàòå ïåðåñîåäèíåíèÿ OR - îáëàñòè, ðàñïîðîñòðîíÿþòñÿ âäîëü òîêîâîãî ñëîÿïðîñòåïåííî óâåëè÷èâàÿ ñâîé ïîïåðå÷íûé ðàçìåð è îñòàâàÿñü ñèììåòðè÷íûìè. Âòîì ñëó÷àå, êîãäà çíà÷åíèÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé ðàçëè÷íû ïî ðàçíûå ñòîðîíû òîêîâîãî ñëîÿ, îáðàçóþøèåñÿ OR - îáëàñòè íå ñèììåòðè÷íû è èõ ïåðåäíèå ôðîíòûäâèæóòñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè ïî ðàçíûå ñòîðîíû òîêîâîãî ñëîÿ. Ïîïåðå÷íûéðàçìåð OR - îáëàñòè óâåëè÷èâàåòñÿ òîëüêî â òå÷åíèè àêòèâíîé ôàçû ïåðåñîåäèíåíèÿ, òî åñòü òîëüêî äî òåõ ïîð ïîêà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â äèôôóçèîííîé îáëàñòèîòëè÷íî îò íóëÿ.

Êàê òîëüêî äèôôóçèîííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îáðàùàåòñÿ â íîëü63FR-îáëàñòè íà÷èíàþò ðàçëåòàòüñÿ íå èçìåííÿÿñü â ïîïåðå÷íîì ðàçìåðå, õîòÿ èõîáúåì ïðîäîëæàåò ðàñòè çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ ïðîäîëüíîãî ðàçìåðà.1.4Ýíåðãåòèêà íåñèììåòðè÷íîãî ïåðåñîåäèíåíèÿÈñïîëüçóåì ïîëó÷åííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ðåøåíèÿ çàäà÷è ïåðåñîåäèíåíèÿ äëÿ àíàëèçà ïðåîáðàçîâàíèé ýíåðãèè â ñëó÷àå íåñèììåòðè÷íîé íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèè ìàãíèòíûõ ïîëåé.Òàê æå êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ïðîñòåéøåì ñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå, ñíà÷àëàðàñ÷èòàåì êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ, êîòîðóþ ïðèîáðåòàåò ïëàçìà, óñêîðåííàÿ íàóäàðíûõ âîëíàõ è äâèæóùàÿñÿ âíóòðè OR - îáëàñòåé.

Äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòîâ,âû÷èñëèì îáúåìû îãðàíè÷åííûå óäàðíûìè âîëíàìè ïî ðàçíûå ñòîðîíû òîêîâîãîñëîÿ:()∫ tBac(0)Va =fa dx = (0) √− ṽxG(t),F (τ )dτ = √4πρ4πρ00B̃x()∫ t∫ ∞Bbcc(0)(0)Vb =−fb dx = (0) √+ ṽxG(t),F (τ )dτ = √4πρ4πρ00B̃x∫∞c(0)(1.123)(1.124)ãäå ôóíêöèÿ G(t) áûëà ââåäåíà ðàíåå (1.60)Êàê îêàçàëîñü, îáúåìû, îãðàíè÷åííûå óäàðíûìè âîëíàìè, ðàâíû, íåñìîòðÿ íàòî ÷òî èõ ôîðìû ðàçëè÷íû. Ýòî ñóùåñòâåííî îáëåã÷àåò íàøó çàäà÷ó, òàê êàê èçðàâåíñòâà îáúåìîâ ñëåäóåò ðàâåíñòðâî êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé ïëàçìû çàêëþ÷åííîé â ýòè îáúåìû. Òàêèì îáðàçîì ñóììàðíàÿ êèíåíòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ óñêîðåííîéïëàçìû ðàâíà:12W̃K = ρṽx(0)2∫∞(0fa(0) (t, x)−)(0)fb (t, x)dx = √c2ρṽx(0) G(t).4πρ(1.125)Ðàñóæäàÿ òàê æå, êàê è â ñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå, ðàñ÷èòàåì èçìåíåíèå ìàãíèòíîéýíåðãèè â OR - îáëàñòè.

Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îáúåìû ÷àñòåé OR - îáëàñòè ïî64ðàçíûå ñòîðîíû îñè X îêàçàëèñü ðàâíûìè, èçìåíåíèÿ òàì ìàãíèòíûõ ýíåðãèéáóäóò ðàçëè÷íû, òàê êàê ðàçëè÷íû èñõîäíûå çíà÷åíèÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé.(W̃B a =8π(W̃B b =Ba2−(0) 2Bx8π(0) 2Bx)∫8π−Bb28π)∫(0) 2c Ba2 − Bx(0)√fa dx =8π4πρORG(t)(1.126)G(t)(1.127)(0) 2c Bb2 − Bx(0)fb dx = √8π4πρORÎäíàêî, äëÿ ñðàâíåíèÿ óáûëè ìàãíèòíîé ýíåðãèè â îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé óäàðíûìè âîëíàìè, ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé óñêîðåííîé ïëàçìû, íàñ èíòåðåñóåò ñóììàðíîå èçìåíåíèå ìàãíèòíîé ýíåðãèè â OR îáëàñòè â öåëîì.

Îíî îêàçûâàåòñÿðàâíûì:(0) 2c Ba2 + Bb2 − 2Bxc2√(1.128)W̃B =G(t) = √ρṽx(0) G(t).8π4πρ4πρÑðàâíèâàÿ (1.125) è (1.128), âèäèì, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïëàçìû óñêîðåííîéíà ôðîíòàõ óäàðíûõ âîëí, â òî÷íîñòè ðàâíà óáûëè ìàãíèòíîé ýíåðãèè â îáëàñòèîãðàíè÷åííîé ýòèìè âîëíàìè. Òàêèì îáðàçîì, òàê æå êàê è â ñëó÷àå ñèììåòðè÷íîéíà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèè ïîëåé, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, ïîëó÷àåìàÿ â ðåçóëüòàòå ïåðåñîåäèíåíèÿ, ÷åðïàåòñÿ òîëüêî èç îáëàñòè îãðàíè÷åííîéóäàðíûìè âîëíàìè è âíóòðè OR - îáëàñòè ïîëíîñòüþ ñîáëþäàåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèéáàëàíñ.

Âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè ïðîèñõîäÿò âíóòðè îáúåìà è íå çàòðàãèâàþòâíåøíþþ IR - îáëàñòü.OR - îáëàñòü ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêóþ çàìêíóòóþ èçîëèðîâàííóþ ñèñòåìó, âíóòðè êîòîðîé ýíåðãèÿ ïåðåõîäèò èç îäíîãî âèäà â äðóãîé è â öåëîì ñîõðàíÿåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, òàê æå êàê è â ñèììåòðè÷íîé çàäà÷å ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ âîáëàñòè âûòåêàíèÿ, â öåëîì, íå èçìåíÿåòñÿ. Íåîáõîäèìî, îäíàêî, ïðîâåñòè àíàëèçïåðåðàñïðåäåëåíèÿ ýòîé ýíåðãèè ïî IR - îáëàñòè. íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ áûëà ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî.

 ïðîöåññå ïåðåñîåäèíåíèÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé èõ êîíôèãóðàöèÿ â îáëàñòè65âòåêàíèÿ ìåíÿåòñÿ, è ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ ïåðåðàñïðåäåëÿåòñÿ.Ðàññ÷èòàåì èçìåíåíèå ìàãíèòíîé ýíåðãèè â îáëàñòè âòåêàíèÿ â ðåçóëüòàòå ïðîöåññà ïåðåñîåäèíåíèÿ ïî ðàçíûå ñòîðîíû òîêîâîãî ñëîÿ ïî îòäåëüíîñòè:1∆WB =8π∫ (IR)∫Ba,b(1) 22(Ba,b + B̃x ) − Ba,b dV = −B̃x(1) dxdz,4π IR(1.129)Äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòîâ èñïîëüçóåì ïîòåíöèàë A, êîòîðûé ââîäèòñÿ òàê æå êàêâ ñëó÷àå ñèììåòðè÷íûõ ïîëåé (1.69):Ba,b∆WB =4π∫Ba,b∂Adxdz =4πIR ∂z∫∞A(t, x, z = 0)dx.(1.130)0Çíàÿ çíà÷åíèå z êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ðàññ÷èòàåì çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëàA, íà ãðàíèöå OR - îáëàñòåé ïî ðàçíûå ñòîðîíû òîêîâîãî ñëîÿ()()](0) [|x|ṽx √Ba|x|√4πρF t −Aa |z=0 = c (0)−F t−(1.131)wwBa / 4πρB̃x)()]((0) [Bb|x|ṽx √|x|√− F t−(1.132)Ab |z=0 = −c (0)4πρF t +wwB/4πρbB̃xÒåïåðü, ïîäñòàâëÿÿ (1.131) è (1.132) â (1.70), ìîæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü ðàñïðåäåëåíèå ìàãíèòíîé ýíåðãèè â IR - îáëàñòè.Èíòåãðèðîâàíèå ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé ïî âñåé IR - îáëàñòè (îò 0 äî ∞) äàñòíîëü, ÷òî ïîäòâåðæäàåò ñîõðàíåíèå ìàãíèòíîé ýíåðãèè â îáëàñòè âòåêàíèÿ â öåëîì.Äëÿ äåòàëüíîãî àíàëèçà óäîáíî ðàññìîòðåòü èçìåíåíèå ìàãíèòíîé ýíåðãèè â îáëàñòè âòåêàíèÿ, ïðîèíòåãðèðîâàííîå â ñòîëáå îò x äî x+dx è èçìåíåíèå ìàãíèòíîéýíåðãèè, ïðîèíòåãðèðîâàííîå îò 0 äî x â íèæíåé è âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòÿõ:()](0) [xBa,b (x)Ba,b ṽx √√∆WBcola,b = c4πρF t ±−F t−4π B̃x(0)wwBa,b / 4πρ)](0) [ (2(Ba,bṽxxx)√∆WB a,b (x) = cG t±−G t−,4π B̃x(0)wBa,b / 4πρ66(1.133)(1.134)ãäå çíàê ïëþñ ñîîòâåòñòâóeò âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè c èíäåêñîì a, à çíàê ìèíóñ íèæíåé ñ èíäåêñîì b.Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ.

(1.8). Èç ãðàôèêîâ õîðîøî âèäíî,÷òî ïëîòíîñòü ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðåçêî âîçðàñòàåò ïåðåä ïåðåäíèì ôðîíòîì óäàðíîé âîëíû, íî â ñàìîé ïåðåäíåé åå òî÷êå èçìåíåíèå ïëîòíîñòè ìàãíèòíîéýíåðãèè îáðàùàåòñÿ â íîëü. Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî, ïî-âèäèìîìó, áûñòðàÿìàãíèòîçâóêîâàÿ âîëíà, êîòîðàÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïåðåä OR - îáëàñòüþ, êàê ðàçè ÿâëÿåòñÿ íîñèòåëåì îáíàðóæåííîãî íàìè èçáûòêà ìàãíèòíîé ýíåðãèè.  ñâîþî÷åðåäü, ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïåðåäíåãî ôðîíòà óäàðíîé âîëíû, ïëîòíîñòü ýíåðãèèìàãíèòíîãî ïîëÿ íà÷èíàåò ïîñòåïåííî óìåíüøàòüñÿ.

Òàêèì îáðàçîì, ìû íàáëþäàåì âîëíó ñæàòèÿ ñ áîëüøèì êîëëè÷åñòâîì ýíåðãèè, êîòîðàÿ ñêîìïåíñèðîâàíàóìåíüøåíîé ýíåðãèåé â îáëàñòè ðàçëåòà, ÷òî íàïðÿìóþ ñâÿçàíî ñ óìåíüøåíèåìòàì ìàãíèòíîãî ïîëÿ, âñëåäñòâèè åãî ïåðåñîåäèíåíèÿ.Ïîñêîëüêó, íàèáîëüøàÿ ïëîòíîñòü ìàãíèòíîé ýíåðãèè íàáëþäàåòñÿ íàä è ïîäóäàðíûìè âîëíàìè, èíòåðåñíî ðàññ÷èòàòü ñóììàðíûé ïîëîæèòåëüíûé ïðèðîñòìàãíèòíîé ýíåðãèè íàä OR - îáëàñòüþ:WB Σa,b()√(0)wc ṽx4πρ(Ba,b )2 G t(1 ±=) ,(0)8π B̃xBa,b(1.135)è àñèìïòîòè÷åñêè, ïðè t >> 1:WB Σa,b√(0)c ṽxw 4πρ2∼(Ba,b ) (1 ±)F0 · t.4π B̃x(0)Ba,b(1.136)Ïðè ñðàâíåíèè (1.125) è (1.4) âèäíî, ÷òî êîëëè÷åñòâî ýíåðãèè â âîëíå ñæàòèÿïî-ïðåæíåìó ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé òîãî æå ïîðÿäêà, ÷òî è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿóñêîðåííîé ïëàçìû â OR - îáëàñòè, õîòÿ ñ óâåëè÷åíèåì àñèììåòðèè ìàãíèòíûõïîëåé êîýôôèöèåíò îïðåäåëÿþùèé îòíîøåíèå WB Σ ê W̃K óìåíüøàåòñÿ.Äëÿ òîãî ÷òîáû îöåíèòü êîëëè÷åñòâî ìàãíèòíîé ýíåðãèè â âîëíå ñæàòèÿ ïî6721a)0-1-2-10-505101.51b)0.50-0.5-10-505100-1-2c)-3-4-5-10-50510Ðèñ.

1.8: Ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè â ðåçóëüòàòå ïðîöåññà ïåðåñîåäèíåíèÿ â íåñæèìàåìîó ïëàçìå âñëó÷àå íåñèììåòðè÷íûõ íà÷àëèíûõ óñëîâèé: a) ôîðìûñòîëáå(x : [x, x + dx], z : [0, ∞])[0, ∞])íàäORíàäOROR- îáëàñòåé, b) èçìåíåíèå ýíåðãèè â- îáëàñòüþ, c) èçìåíåíèå ýíåðãèè â îáëàñòè- îáëàñòüþ.68(x : [0, x], z :ñðàâíåíèþ ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé óñêîðåííîé ïëàçìû ðàñ÷èòàåì ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ýíåðãèé â áåçðàçìåðíîì âèäå, íîðìèðóÿ âñå íà ñëåäóþùèå âåëè÷èíû: ìàãíèòíîå ïîëå B0 , ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå Ea = B0 vA /c, ïëîòíîñòü ρ0 , ñêîðîñòü√ïëàçìû vA = B0 / 4πρ0 , âðåìÿ õàðàêòåðíîãî èçìåíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàX -ëèíèè T0 , õàðàêòåðíûé ðàçìåð L = Va T0 è ïëîòíîñòü ýíåðãèè B02 /8π .

Âûáèðàÿçíà÷åíèå âåëè÷èí íà÷àëüíûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé íàä è ïîä òîêîâûì ñëîåì òàêèìîáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî:|Ba |2 + |Bb |2 = 1,(1.137)à ïëîòíîñòü ïëàçìû ρ0 ïîëîæèâ ðàâíîé åäèíèöå ïîëó÷èì:IRWΣORWKBaBbWaIRWbIRWΣIRWKOR0.71-0.711.051.052.101.251.700.67-0.740.981.092.071.241.670.62-0.780.891.132.021.231.640.57-0.820.791.151.941.211.600.51-0.860.651.151.801.171.540.44-0.890.511.131.641.121.460.37-0.930.361.081.441.051.370.28-0.960.221.011.230.971.260.20-0.980.100.911.010.861.170.09-0.990.020.790.810.741.090.01-1.002 ∗ 10−40.680.680.631.07K=Òàáëèöà 1.1: Çíà÷åíèÿ ìàãíèòíîé è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèé â ðàçëèñíûõ ÷àñòÿõ îáëàñòåé âûòåêàíèÿ è âòåêàíèÿ ïëàçìû.Èç òàáëèöû (2.1) õîðîøî âèäíî, ÷òî êîëè÷åñòâî èçáûòî÷íîé ýíåðãèè â âîëíåñæàòèÿ óìåíüøàåòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè àñèììåòðèè ìàãíèòíûõ ïîëåé îò çíà÷åíèÿ69óäâîåííîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè óñêîðåííîé ïëàçìû äëÿ ñèììåòðè÷íûõ ïîëåé,äî òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ýòîé ýíåðãèè äëÿ ñèëüíîé àñèììåòðèè.

Êðîìå òîãî, ìîæíîçàìåòèòü, ÷òî ñî ñòîðîíû áîëüøåãî ïîëÿ â âîëíå ñæàòèÿ ñîäåðæèòñÿ áîëüøàÿ÷àñòü ýíåðãèè. Òî åñòü è äëÿ óñêîðåíèÿ ïëàçìû, è äëÿ âîëíû ñæàòèÿ ýíåðãèÿ, âîñíîâíîì, ÷åðïàåòñÿ èç îáëàñòè ñ áîëüøèì ìàãíèòíûì ïîëåì.70Ãëàâà 2Òðåõìåðíàÿ ìîäåëü èìïóëüñíîãîïåðåñîåäèíåíèÿ.Cëåäóþùèì ýòàïîì ðàçâèòèÿ ðàññìàòðèâàåìîé íàìè ìîäåëè ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîä îòäâóìåðíîé çàäà÷è ê òðåõìåðíîé. Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ ýòîé, ãîðàçäî áîëåå ñëîæíîé ìîäåëè, ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîñòü ëèíèè ïåðåñîåäèíåíèÿ è âîçìîæíîñòüðàññìîòðåíèÿ êàê àíòèïàðàëëåëüíûõ, òàê è ñêðåùåííûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé.Äåéñòâèòåëüíî, ñëó÷àè àíòèïàðàëëåëüíûõ ïîëåé âñòðå÷àþòñÿ â ïðèðîäå êðàéíåðåäêî, ïîýòîìó âàæíîå çíà÷åíèå èìååò âîïðîñ î òîì, êàêèå èçìåíåíèÿ âûçîâåò íàëè÷èå êîìïîíåíòû ïîëÿ, íàïðàâëåííîé âäîëü ëèíèè ïåðåñîåäèíåíèÿ.

Åñëè â ñëó÷àåàíòèïàðàëëåëüíûõ ïîëåé àëüâåíîâñêàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿëàñü ëèøü â îäíîì íàïðàâëåíèè, òî òåïåðü íàïðàâëåíèÿ è ñêîðîñòè âîëí áóäóò ðàçëè÷íû äëÿ âåðõíåãî èíèæíåãî ïîëóïðîñòðàíñòâ. Ïðè ýòîì êàæäàÿ ïàðà âîëí áóäåò âçàèìîäåéñòâîâàòüäðóã ñ äðóãîì. Êðîìå òîãî, óäàëÿÿñü îò ëèíèè ïåðåñîåäèíåíèÿ, âîëíû áóäóò ðàçáåãàòüñÿ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà, ðàñòÿãèâàÿ ñèëîâûå ëèíèè, íàõîäÿùèåñÿ âíóòðèOR - îáëàñòè.712.1Ðåøåíèå çàäà÷è ïåðåñîåäèíåíèÿ â ñêðåùåííûõ ïîëÿõÐàññìîòðèì â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèè áåñêîíå÷íûé òîêîâûé ñëîé, ðàçäåëÿþùèé ïðîñòðàíñòâî íà äâå ÷àñòè ñ ðàçëè÷íûìè ìàãíèòíûìè ïîëÿìè.  íåêîòîðîé îáëàñòè ýòîãî òîêîâîãî ñëîÿ, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ëèíèþ êîíå÷íîé äëèíûâ íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 âîçíèêàåò äèôôóçèîííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëåE(t, y).

Âîçíèêàþò ÌÃÄ âîëíû, êîòîðûå íà÷èíàþò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âäîëü òîêîâîãî ñëîÿ â íàïðàâëåíèè ìàãíèòíûõ ïîëåé. Àíàëîãè÷íî äâóìåðíîìó ñëó÷àþ, îáðàçîâàâøèåñÿ óäàðíûå âîëíû îãðàíè÷èâàþò ñîáîé OR - îáëàñòè, âíóòðè êîòîðûõäâèæåòñÿ óñêîðåííàÿ ïëàçìà.Ïîÿâëåíèå â çàäà÷å òðåòüåé êîîðäèíàòû íå ïðèâåäåò ê èçìåíåíèþ èñõîäíûõóðàâíåíèé, è ìû áóäåì ðåøàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.1) - (2.5) ñ ñîîòíîøåíèÿìèíà ðàçðûâå (2.8) - (2.12), ðàññìàòðèâàÿ â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ òàíãåíöèàëüíûé ðàçðûâ, ðàçäåëÿþùèé äâà ïîëóïðîñòðàíñòâà ñ îäíîðîäíûìè ìàãíèòíûìèïîëÿìè ñ íàïðÿæåííîñòÿìèBa= (Bax , Bay , 0),z>0(2.1)Bb= (Bbx , Bby , 0),z<0(2.2)è ïîêîÿùåéñÿ ïëàçìîé.