Диссертация (Энергетический баланс импульсного пересоединения), страница 8

×àñòü ïëàçìû íàõîäÿùåéñÿ íàä OR - îáëàñòüþ äâèæåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ óñêîðåííûõ ïëàçìåííûõ ïîòîêîâ. Ýòà äâèæóùàÿñÿ ïëàçìà òàêæå äîëæíà ïåðåíîñèòüèìïóëüñ, êàê è ïëàçìà çàêëþ÷åííàÿ âíóòðè OR - îáëàñòè.53Ðèñ. 1.5: Ïîâåäåíèå ôóíêöè òîêàΨâ îáëàñòè âòåêàíèÿ.×òîáû ðàñ÷èòàòü èìïóëüñ ïëàçìû, äâèæóùåéñÿ â îáëàñòè âòåêàíèÿ, èñïîëüçóåìòîò æå ïðèåì ÷òî è ïðè ðàñ÷åòå ýíåðãèè â IR - îáëàñòè:∫∫ρvx(1) dVpx =IR∂Ψ=ρdV = ρIR ∂z∫∞Ψ(t, x, 0)dx.(1.80)0Çíà÷åíèå ôóíêöèè òîêà íà ãðàíèöå ðàñ÷èòûâàåì èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ(1.54)∫xΨ(t, x, 0) = −vz0 dx′ =(1)0xcxE(t − ).B0vA(1.81) ðåçóëüòàòå ñóììàðíûé èìïóëüñ ïëàçìû äâèæóùåéñÿ â IR - îáëàñòè îêàçûâàåòñÿðàâíûì:pxIRρc=B0∫0∞xρcvA2xE(t − ) = −G(t).vAB0(1.82)Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå èìïóëüñà ñ èìïóëüñîì ïëàçìû çàêëþ÷åííîé âíóòðè OR - îáëàñòè (1.78) âèäèì ÷òî îíè ðàâíû ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà.

Òî åñòü èìïóëüñêîòîðûé ïåðåíîñèòñÿ óñêîðåííûìè ïîòîêàìè ïëàçìû ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóåòñÿñóììàðíûì èìïóëüñîì ïëàçìû äâèæóùåéñÿ â îáëàñòè âòåêàíèÿ. Õîòÿ ñêîðîñòèïëàçìû äðåéôóþùåé â IR - îáëàñòè â ε ðàç ìåíüøå ñêîðîñòè ïëàçìû âíóòðè OR- îáëàñòè, åå ñóììàðíûé èìïóëüñ îêàçûâàåòñÿ òàêèì æå âñëåäñòâèå ðàçíèöû ìàñ54øòàáîâ îáëàñòåé.Áîëåå äåòàëüíî ïðîàíàëèçèðîâàòü, êàê ñóììèðóåòñÿ èìïóëüñ â îáëàñòè âòåêàíèÿ, ìîæíî ìåíÿÿ ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ â (1.82). Âûáèðàÿ ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ (x : [0, x], z : [0, ∞]), ïîëó÷èì ôóíêöèþ, îïèñûâàþùóþ ñóììàðíûé èìïóëüñâ çàâèñèìîñòè îò x:ρcpx (x) =B0 vA()xxG(t) − G(t − ) − 2vA xΦ(t − ) .vAvA(1.83)Ôóíêöèÿ ïîêàçûâàþùàÿ èìïóëüñ ïðîñóììèðîâàííûé â ñòîëáå (x : [x, x + dx], z :[0, ∞]):pxcol=ρcxxE(t − ).B0vA(1.84)Èç ðèñ.

1.6, ãäå èçîáðàæåíû îáå ýòè ôóíêöèè ÿñíî âèäíî ÷òî, òîëüêî äâèæóùàÿñÿ ñòðîãî íàä óäàðíûìè âîëíàìè ïëàçìà äàåò âêëàä â ñóììàðíûé èìïóëüñ.Äåéñòâèòåëüíî, íà ðèñ. 1.5, èçîáðàæàþùåì ôóíêöèè òîêà, ìîæíî óâèäåòü, ÷òî âîáëàñòè âòåêàíèÿ ïåðåä OR - îáëàñòüþ è ïîçàäè íåå ïëàçìà äðåéôóåò â îáîèõíàïðàâëåíèÿõ è åå ñóììàðíûé èìïóëüñ îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì íóëþ.Òàêèì îáðàçîì, åñëè ó÷åñòü, ÷òî â ðåçóëüòàòå ïåðåñîåäèíåíèÿ îáðàçóþòñÿ íåïðîñòî îòäåëüíûå OR - îáëàñòè, à ñëîæíûå îáúåêòû âêëþ÷àþùèå â ñåáÿ, è OR îáëàñòè è äâèæóùóþñÿ â ñòîëáå íàä íèìè ïëàçìó, òî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïåðåíîñàèìïóëüñà â ðåçóëüòàòå ïåðñîåäèíåíèÿ íå ïðîèñõîäèò.Îäíàêî ñ ýíåðãåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ âîçíèêàþùèå îáúåêòû ãîðàçäî áîëååèíòåðåñíû, òàê êàê ïîìèìî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè óñêîðåííîé ïëàçìû îíè ïåðåíîñÿò â âîçíèêàþùåé íàä OR - îáëàñòüþ âîëíå ñæàòèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â äâà ðàçàáîëüøå ìàãíèòíîé ýíåðãèè.556420-2-4-6-4-3-2-101234-4-3-2-101234-4-3-2-101234432101.61.20.80.40Ðèñ.

1.6: Ðàñïðåäåëåíèå èìïóëüñà ïëàçìû â ðåçóëüòàòå ïðîöåññà ïåðåñîåäèíåíèÿ â íåñæèìàåìîéïëàçìå â ñëó÷àå ñèììåòðè÷íûõ íà÷àëèíûõ óñëîâèé: a) ôîðìû OR - îáëàñòåé, b) èìïóëüñ ïëàçìûâ ñòîëáå(x : [x, x + dx], z : [0, ∞]),c) èìïóëüñ ïëàçìû â îáëàñòè56(x : [0, x], z : [0, ∞]).1.3Ðåøåíèÿ â ñëó÷àå íåñèììåòðè÷íûõ ïîëåéÍà ñëåäóþùåì ýòàïå íàøåãî èññëåäîâàíèÿ óñëîæíèì ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó ïóòåì ââåäåíèÿ àñèììåòðèè ìàãíèòíûõ ïîëåé ïî ðàçíûå ñòîðîíû ðàññìàòðèâàåìîãîòîêîâîãî ñëîÿ. Òàêîå óñëîæíåíèå íå ïðèâåäåò ê èçìåíåíèþ èñõîäíûõ óðàâíåíèé,îäíàêî íåñêîëüêî èçìåíèò ñïîñîá ðåøåíèÿ.Èòàê, ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.1) - (2.5) ñ ñîîòíîøåíèÿìè íà ðàçðûâå (2.8) - (2.12) è íà÷àëüíûì óñëîâèåì â âèäå òàíãåíöèàëüíîãî ðàçðûâà, ðàçäåëÿþùåãî äâà ïîëóïðîñòðàíñòâà ñ îäíîðîäíûìè àíòèïàðàëëåëüíûìè ìàãíèòíûìèïîëÿìè ñ íàïðÿæåííîñòÿìè Ba (èíäåêñ a - above) è Bb (èíäåêñ b - below) è ïîêîÿùåéñÿ ïëàçìîé.

Ïðîäîëæàÿ èññëåäîâàíèå â òåðìèíàõ "ñëàáîãî"ïåðåñîåäèíåíèÿ èòåîðèè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ, áóäåì è äàëåå èñïîëüçîâàòü ïåðåíîðìèðîâàííûå ïåðåìåííûå (2.17) - (2.20).Àíàëîãè÷íî òîìó êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ñëó÷àå ñèììåòðè÷íûõ ïîëåé, ñíà÷àëàíàéäåì òàíãåíöèàëüíûå êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ñêîðîñòè âíóòðè OR - îáëàñòè. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ íà ðàçðûâå (2.11), (2.12) äëÿ ïåðâîãî è ÷åòâåðòîãîêâàäðàíòà ïîëó÷èì:(0)1 Bn(Ba − B̃x(0) ) + ṽx(0) = 0,(0)4πρ vn(1.85)(0)1 Bn(B̃x(0) − Bb ) + ṽx(0) = 0,(0)4πρ vn(1.86)(0)Bn(0)vnṽx(0) + (Ba − B̃x(0) ) = 0,(1.87)ṽx(0) + (B̃x(0) − Bb ) = 0,(1.88)(0)Bn(0)vnÒîãäà çíà÷åíèÿ x-êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ñêîðîñòè ïëàçìû:B̃x(0) =Ba + Bb,257(1.89)1 Ba − Bb,(1.90)24πρãäå çíàê ïëþñ ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîìó è ÷åòâåðòîìó êâàäðàíòàì, à ìèíóñ - âòîðîìóṽx(0) = ± √è òðåòüåìó.Âîçìóùåíèÿ, âíîñèìûå OR - îáëàñòüþ â îêðóæàþùóþ ïëàçìó ìàëû, ñëåäîâàòåëüíî èõ ìîæíî íàéòè èç ñèñòåìû óðàâíåíèé, ëèíåàðèçîâàííîé îòíîñèòåëüíîõàððàêòåðíûõ âåëè÷èí â îáëàñòè âòåêàíèÿ.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ (2.1), (2.2) è ïîñëå ëèíåàðèçàöèè áóäåì èìåòü:()∂1ρ+ v(0) ∇ v(1) = −∇P + (B(0) ∇)B(1) ,(1.91)∂t4π∂ (1)B+ (v(0) ∇)B(1) = (B(0) ∇)v(1) ,(1.92)∂tÄëÿ óìåíüøåíèÿ ÷èñëà íåèçâåñòíûõ â ñèñòåìå óðàâíåíèé ââîäèì âåêòîð ñìåùåíèÿ ξ(t, x), òàêèì îáðàçîì ÷òî:(1)v(=(1)B)∂+ v(0) ∇ ξ,∂t(1.93)= (B(0) ∇)ξ.(1.94)Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè âåêòîðà ñìåùåíèÿ óñëîâèå âìîðîæåííîñòè âûïîëíÿåòñÿàâòîìàòè÷åñêè.Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé:(∂+ v(0) ∇ρ∂t)2ξ = −∇P (1) +1(B(0) ∇)2 ξ,4π∇·ξ =0(1.95)(1.96)Ïðèìåíèì óðàâíåíèå (1.95) ê ïîëóïëîñêîñòÿì íàä (èíäåêñ a) è ïîä (èíäåêñ b)òîêîâèì ñëîåì.

Èñïîëüçóÿ ïðîåêöèè ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé íà îñü Z à òàêæåó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîëíîå äàâëåíèå ïîïåðåê ðàçðûâà íå ìåíÿåòñÿ:(1)∂Pa∂z(1)∂Pb|z=0 =∂z58|z=0 ,(1.97)ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ âåêòîðîâ ñìåùåíèÿ â íèæíåé è âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòÿõ:∂21∂212ξ−(B∇)ξ+ξ−(Bb ∇)2 ξb z = 0aaabzzz22∂t4πρ∂t4πρ(1.98)Èñïîëüçóÿ óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ íàðàçðûâå (1.8), ìîæíî ñâÿçàòü çíà÷åíèÿ âåêòîðîâ ñìåùåíèÿ â IR è OR - îáëàñòÿõ.Èõ ñîîòíîøåíèÿ áóäóò èìåòü âèä:ξa z =ξb z =(0)ãäå fa(0)è fbB̃x(0) ξ˜z)√(0) (0)+ 4πρ ṽx fa (t, x) ,(1.99)B̃x(0) ξ˜z)√(0) (0)− 4πρ ṽx fb (t, x) ,(1.100)1 ((0)Ba1 ((0)Bb- ôóíêöèè îïèñûâàþùèå ôîðìó óäàðíûõ âîëí â íèæíåì è âåðõíåìïîëóïðîñòðàíñòâàõ ñîîòâåòñòâåííî.(0)Âûðàæåíèÿ ñâÿçûâàþùèå ôóíêöèè fa(0)è fbè çíà÷åíèå âåêòîðà ñìåùåíèÿâíóòðè OR - îáëàñòè ìîæíî ïîëó÷èòü èç óñëîâèÿ íà ôðîíòå âîëíû (1.11), (1.12)ïðåîáðàçóÿ åãî ñëåäóþùèì îáðàçîì äëÿ ïåðâîãî è ÷åòâåðòîãî êâàäðàíòîâ:))∂ (˜Ba ∂ ( ˜(0)(0)√ξz − fa +ξz − f a=0∂t4πρ ∂x(1.101)))Bb ∂ ( ˜∂ (˜(0)(0)ξz − fb−√ξz − fb= 0.∂t4πρ ∂x(1.102)Ðåøåíèåì ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé áóäóò ÿâëÿòñÿ ïðîèçâîëüíûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè ñ àðãóìåíòàìè ÿâëÿþùèìèñÿ êîíñòàíòàìè äâèæåíèÿ ñëåäóþùåãîâèäà:()|x|√ξ˜z − fa(0) = Φ t +,Ba / 4πρ)(|x|(0)√.ξ˜z − fb = Φ t −Bb / 4πρ59(1.103)(1.104)Òàêèì îáðàçîì, âûðàçèâ çíà÷åíèÿ âåêòîðîâ ñìåùåíèÿ â îáëàñòè âòåêàíèÿ ÷åðåççíà÷åíèÿ âåêòîðà ñìåùåíèÿ â OR - îáëàñòè()|x|√ξz a = ξ˜z −,Ba / 4πρ() ()B−B|x|ab√ξz b = ξ˜z +Φ t−,2BbBb / 4πρïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ξ˜z :( 2)( 2)Ba + Bb2 ∂ 2 ˜∂−ξz = 2Φ′ (t)vx δ(x)22∂t8πρ∂xBa − Bb2Ba)(Φ t+(1.105)(1.106)(1.107)ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ ôèêñèðîâàííîãî àðãóìåíòà.()ṽ|x|xξ˜ = Φ t −,wc√Ba2 + Bb2.w=8πρ(1.108)(1.109)Òåïåðü, èñïîëüçóÿ (1.103), (1.104), ìîæåì ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ôîðìû óäàðíûõ âîëí:fafb(0)(0)()()|x||x|ṽx√−Φ t+= Φ t−wwBa / 4πρ()()ṽx|x||x|√= Φ t−−Φ t−.wwBb / 4πρ(1.110)(1.111)ßñíî âèäíî, ÷òî îáëàñòè ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âäîëü òîêîâîãî ñëîÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ, àíàëîãè÷íî òîìó êàê ýòî íàáëþäàëîñü â ñëó÷àå ñèììåòðè÷íûõ ïîëåé.

Îäíàêî, ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ôðîíòîâ îòäåëüíî âçÿòîé OR - îáëàñòèðàçëè÷íû, è ñëåäîâàòåëüíî, ïî ìåðå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âäîëü ñëîÿ åå ïðîäîëüíûéðàçìåð óâåëè÷èâàåòñÿ, à ïîïåðå÷íûé îñòàåòñÿ íåèçìåííûì (ðèñ. 1.7 ).Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîíÿòü, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ôóíêöèÿ Φ âåðíåìñÿ ê óðàâíåíèÿì (1.101), (1.102) è ïåðåïèøåì èõ â âèäå:()∂∂−w(ξ˜z − f (0) ) = 0.∂t∂x60(1.112)210a)-1-2-10-5051021b)0-1-2-10-5051021c)0-1-2-10-5051021d)0-1-2-10Ðèñ.

1.7: ÔîðìàOR-50510îáëàñòåé äëÿ ðàçëè÷íûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè ïðè ïåðåñîåäèíåíèè â íåñæè-ìàåìîé ïëàçìå â ñëó÷àå íåñèììåòðè÷íûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé.61Èç (1.112) ñëåäóåò, ÷òî Φ ≡ ξ˜z − f (0) îïèñûâàåò äâèæåíèå âäîëü òîêîâîãî ñëîÿ ñîñêîðîñòüþw.×òîáû îïðåäåëèòü êàêàÿ ýòî ñêîðîñòü, ñîñ÷èòàåì òàíãåíöèàëüíîåýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ñèñòåìå îòñ÷åòà äâèæóùåéñÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ ðàçðûâà:1BnEt = − (vt − u)Bn = − wcc(1.113)Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî èñïîëüçîâàííàÿ íàìè, äâèæóùàÿñÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà, íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé Õîôìàíà-Òåëëåðà, â êîòîðîé v∥B è ðàçðûâ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿâäîëü òîêîâîãî ñëîÿ ñî ñêîðîñòüþw.Ïîñêîëüêó, ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íà ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà äîëæíî áûòü òàêèì æåêàê äèôôóçèîííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:E=−Bnw,c(1.114)ãäå E ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â äèôôóçèîííîé îáëàñòè, êîòîðîå çàäàåòñÿ êàê íà÷àëüíîå óñëîâèå.Èñïîëüçóÿ (1.112) âûðàçèì íîðìàëüíóþ êîìïîíåíòó ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÷åðåçôóíêöèþ Φ:Bn = Bz − Bx(0)∂∂∂ (0)f = Bx(0) (ξ˜ − f (0) ) = Bx(0) Φ.∂x∂x∂x(1.115)Ñîïîñòîâëÿÿ (1.114) è (1.115) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè Φ:(0)Bx ∂Φ(t),E(t) = −c ∂t(1.116)ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì Φ |t=0 = 0, êîòîðîå îçíà÷àåò îòñóòñòâèå âîçìóùåíèÿ òîêîâîãî ñëîÿ äî íà÷àëà ïåðåñîåäèíåíèÿ.

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ:Φ(t) =∫c(0)BxtE(τ )dτ,(1.117)0îïèñûâàåò ôóíêöèþ Φ(t), ôèçè÷åñêèé ñìûñë êîòîðîé ñîñòîèò â òîì ÷òî îíà îïðåäåëÿåò øèðèíó OR - îáëàñòè. Ïåðåïèøåì åå èñïîëüçóÿ îáçíà÷åíèå ïåðåñîåäèíèâ62øåãîñÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà F0 (t) =∫t0E ∗ (τ )dτ è ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíûå âûðàæå-íèÿ äëÿ ôîðìû óäàðíûõ âîëí:[ (F0 t +(0))()]|x|ṽ|x|x√fa (0) =− F0 t −wwB/4πρaBx[ ()()]cṽx|x||x|(0)√fb = (0) F0 t −− F0 t −.wwBb / 4πρBxc(1.118)(1.119)Ïîëó÷åííûå âûøå âûðàæåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ ñìåùåíèÿ ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòüçíà÷åíèÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé è ñêîðîñòåé ïëàçìû â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè êàê â îáëàñòè âòåêàíèÿ òàê è â îáëàñòè âûòåêàíèÿ:()(0)ṽx|x|=c 2 E t−ww[)]()((0)|x|4πρ|x|1ṽx√E t−− 2 E t−= c (0) Ba2wwBB/4πρaB̃xa[())]((0)ṽx1|x|4πρ|x|√= c (0) BaE t−− 2 E t+2wwBB/4πρbB̃xbB̃z(1)Ba (1)zBb (1)z(1.120)(1.121)(1.122)Îñíîâíîå îòëè÷èå ðåçóëüòàòîâ ïîëó÷åííûõ â ñëó÷àå íåñèììåòðè÷íîé êîíôèãóðàöèè ïîëåé îò ñèììåòðè÷íîãî ñëó÷àÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ðàçëè÷èè ôîðì OR îáëàñòåé (ðèñ.