Диссертация (Энергетический баланс импульсного пересоединения), страница 10

Ïðîäîëæàÿ èññëåäîâàíèå â òåðìèíàõ "ñëàáîãî"ïåðåñîåäèíåíèÿè òåîðèè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ, áóäåì è äàëåå èñïîëüçîâàòü ïåðåíîðìèðîâàííûå ïåðåìåííûå (2.17) - (2.20).Àíàëîãè÷íî òîìó êàê ýòî áûëî ñäåëàíî ðàíåå, ñíà÷àëà íàéäåì òàíãåíöèàëüíûåêîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ñêîðîñòè íóëåâîãî ïîðÿäêà âíóòðè OR - îáëàñòèèñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ íà ðàçðûâå (1.11),(1.12):(0)B̃=Ba72+ Bb,2(2.3)1 Ba − Bb,24πρ1 Ba − Bb= −√,24πρ(0)ṽr(0)ṽl=√(2.4)(2.5)ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ r äëÿ ïîëóïðîñòðàíñòâà x > 0 è l äëÿ ïîëóïðîñòðàíñòâàx < 0.Êðîìå òîãî, íóæíî çàìåòèòü, ÷òî z -êîìïîíåíòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, òàê æåêàê è ñêîðîñòü ïëàçìû, ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó x = 0:1(Bax Bby − Bay Bbx ),Ezr = − √2 4πρ(2.6)1Ezl = √(Bax Bby − Bay Bbx ).2 4πρ(2.7)Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòîâ áóäåì èñïîëüçîâàòü âåêòîð ñìåùåíèÿ ξ , ââåäåííûéâ (1.93), (1.94), ôóíêöèþ f (t, x, y) äëÿ îïèñàíèÿ ôîðìû óäàðíûõ âîëí, âåêòîðíîðìàëènè ñêîðîñòü ôðîíòà óäàðíîé âîëíûD:Z(t, x, y) = εf (0) (t, x, y)()∂f (0) (t, x, y)∂f (0) (t, x, y)n = −ε, −ε,1 ,∂x∂y∂f (0) (t, x, y)Dn = ε.∂t(2.8)(2.9)(2.10)Èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ íà ôðîíòå âîëíû (1.11), (1.12) ïîëó÷èì äëÿ ïåðâîãî êâàäðàíòà:()()BaBa∂∂r+√+√∇ fa =∇ ξ˜z∂t∂t4πρ4πρ(2.11)Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåì ñêëàäûâàÿ îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå äàåòñÿ íåêîòðîé ôóíêöèåé Φ ôèêñèðîâàííîãî àðãóìåíòà, è ÷àñòíîåðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ êîòîðîå äàåòñÿ ôóíêöèåé ξ˜z .

Ïðîèçâîäÿ àíàëîãè÷íûå äåéñòâèÿ äëÿ âñåõ ÷åòûðåõ êâàäðàíòîâ ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿäëÿ ôóíêöèé f (0) :73()xBay√far = ξ˜z (t, x, y) + Φra t −,−x+y ,(2.12)Bax / 4πρ Bax)(Bxby√,−x+y ,(2.13)fbr = ξ˜z (t, x, y) + Φrb t +Bbx / 4πρ Bbx()xBay√fal = ξ˜z (t, x, y) + Φla t +,−x+y ,(2.14)Bax / 4πρ Bax()Bxbyll√,−x+y .(2.15)fb = ξ˜z (t, x, y) + Φb t −Bbx / 4πρ BbxÄåéñòâóÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ïðåäûäóùåé ãëàâå, ôóíêöèþçàäàííîãî àðãóìåíòà Φ, ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç äèôôóçèîííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå∗E. Ïåðåõîäÿ â äâèæóùóþñÿ ñèñòåìó îòñ÷åòà Õîôìàíà-Òåëëåðà è èñïîëüçóÿ(1.93) è (1.94), ïîëó÷èì cëåäóþùåå óðàâíåíèå ñâÿçûâàþùåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå èôóíêöèþ Φ:E(t, y) = Ẽz∂Φ∂Φ+ B̃x ,∂y∂t(2.16)ãäå Ẽz îïðåäåëÿåòñÿ (2.6) è (2.7)Òîãäà, îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Φ áóäåò èìåòü âèä:Φ(t, y) =1B̃x∫(tEτ, y +0)Ẽz(τ − t) dτB̃z(2.17)Ñëåäóþùèì øàãîì â ðåøåíèè çàäà÷è, áóäåò íàõîæäåíèå ôóíêöèè ξ˜z (t, x, y).

Ïîâòîðÿÿ ñäåëàííîå â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ëèíåàðèçóåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ, ïðèìåíèì åãî ê íèæíåé è âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòÿì, è ó÷èòûâàÿ íåèçìåííîñòü ïîëíîãîäàâëåíèÿ ïîïåðåê ðàçðûâà, ïîëó÷èì:11∂vaz∂vbz−√(Ba ∇)Baz +−√(Bb ∇)Bbz = 0∂t∂t4πρ4πρ(2.18)Ðàñïèøåì óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ èñïîëüçóÿ âåêòîð ñìåùåíèÿ ξ˜z , ôóíêöèþ Φ è óðàâíåíèå (2.12) äëÿ ïåðâîãî êâàäðàíòà:Ba rz = (Ba · ∇)(ξ + Φra ) − (ṽr · ∇)Φra74(2.19)Çäåñü àðãóìåíò ôóíöèè Φ òîò æå ÷òî è â óðàâíåíèè (2.12), à åå ÿâíûé âèä îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (2.17).

Äàëåå ðàññìîòðèì âòîðîé ÷ëåí ïðàâîé ÷àñòè ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ.Ââåäåì ïåðåìåííûåx√,Ba,bx / 4πρBa,byx + y,Arg2 = −Ba,bxArg1 = t ±(2.20)(2.21)è ïåðåïèøåì ôóíêöèþ Φ ñëåäóþùèì îáðàçîì:(2.22)Φ = Φ(Arg1 , Arg2 ).Òîãäà èñïîëüçóÿ (2.3)-(2.5) è (2.6), (2.7) ïîëó÷èì1∂Φ+(v˜r · ∇)Φra = −∂Arg1 Bax(rr1r ∂Φar ∂ΦaB̃x+√Ẽ∂Arg14πρ z ∂Arg2).(2.23)Êðîìå òîãî, çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (2.16) ìîæåò áûòüîáîáùåíî è ïåðåïèñàíî â âèäå:(E(Arg1 , Arg2 ) = Ẽz∂∂+ B̃x∂Arg2∂Arg1)Φ(Arg1 , Arg2 ).(2.24)Ïîäñòàâëÿåì ïîëó÷åííîå â (2.23):)(√4πρ1(v˜r · ∇)Φra = √(Ba · ∇) Φar −FarBax4πρ(2.25)ãäå∫ t1E(τ, y)dτ(2.26)F (t, y) = √4πρ 0Òàêèì îáðàçîì âûðàæåíèå (2.19) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì()√4πρBa rz = (Ba · ∇) ξ˜z + Φra −Far(2.27)BaxÒåïåðü ðàññìîòðèì óñëîâèå {vn − Dn } = 0, è ïðåîáðàçóåì åãî ñ ó÷åòîì (2.3),(1.94),(2.12):va rz =∂ ξ˜z− (ṽr · ∇)Φra .∂t75(2.28)Èñïîëüçóÿ (2.25) è ó÷èòûâàÿ àðãóìåíòû ôóíêöèé Φ è F ïîëó÷àåì:va rz()√∂ ˜4πρ=ξz + Φra −Far .∂tBax(2.29)Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èâ âûðàæåíèÿ äëÿ îñòàëüíûõ òðåõ êâàäðàíòîâ, ïîäñòàâëÿåìïîëó÷åííîå â óðàâíåíèå (2.18):(∂2− (Ba · ∇)22∂t)() ( 2)()11∂ξ˜z + Φa −Fa +− (Bb · ∇)2ξ˜z + Φb −Fb = 02Bax∂tBbx(2.30) îáëàñòè âòåêàíèÿ, ãäå Φ = F = 0, óðàâíåíèå (2.30) ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèþÊåëüâèíàÃåëüìãîëüöà , êîòîðîå îïèñûâàåò ðàñïðîñòðîíåíèå ïîâåðõíîñòíûõ âîëíâäîëü òîêîâîãî ñëîÿ (Áóðèíñêàÿ Ò.Ì., Øåâåëåâ Ì.Ì., Ðîø Æ.Ë., 2011).

Îäíàêîâ OR-îáëàñòè ïîâåäåíèå ôóíêöèè ξ˜z òåñíî ñâÿçàíî ñ ôóíêöèÿìè Φ è F . Íåñìîòðÿíà ýòî ìû ìîæåì èíòåðïðåòèðîâàòü (2.30), êàê óðàâíåíèå ÊåëüâèíàÃåëüìãîëüöà,ãäå äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð äåéñòâóåò íà îáîáùåííûå ôóíêöèè, ñêà÷êè êîòîðûõ äåéñòâóþò êàê èñòî÷íèê äëÿ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè ξ˜z . Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíîðåøàòü óðàâíåíèå ÊåëüâèíàÃåëüìãîëüöà (2.30) äëÿ îáîáùåííûõ ôóíêöèé ìåòîäîì òåîðèè âîçìóùåíèé, ÷òî èçëîæåíî â (Âëàäèìèðîâ È.Ñ., 1981).

Ôèçè÷åñêèéñìûñë ïîëó÷åííîãî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì ÷òî, ïåðåñîåäèíåíèå ïðèâîäèò ê ñêà÷êàìôóíêöèé Φ è F , è ñëåäîâàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì äëÿ ξ˜z , òî åñòü, äåéñòâóåòêàê èñòî÷íèê ïîâåðõíîñòíûõ âîëí.Òàêèì îáðàçîì, çíàÿ ôóíêöèþ ξ˜z ìû ìîæåì îïðåäåëèòü z -êîìïîíåíòó ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ñêîðîñòè ïëàçìû ñîãëàñíî (2.27), (2.29) è ôîðìó ðàçðûâà ñîãëàñíî(2.8) è (2.12) - (2.15)Âîçìóùåíèÿ â îáëàñòè âòåêàíèÿ ìîæíî íàéòè â ïîòåíöèàëüíîì ïðèáëèæåíèè,ñ÷èòàÿ ìàãíèòíîå ïîëå áåçâèõðåâûì:∇ × B = 0,76(2.31)∇ · B = 0.(2.32)Òîãäà ìàãíèòíîå ïîëå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ãðàäèåíòà ïîòåíöèàëà φ :B= ∇φ, äëÿ êîòîðîãî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ óðàâíåíèå Ëàïëàñà:△φ = 0(2.33)Ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ íåãî çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:∂φ|z=0 = B̃z (t, x, y)∂z(2.34)ãäå B̃z îïðåäåëÿåòñÿ èç (2.27).Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà (2.33) è, ñîîòâåòñòâåííî, âîçìóùåíèå ìàãíèòíîãîïîëÿ â îáëàñòè âòåêàíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ äèñêðåòíîå áûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå:)(2π k ∂1,∇ → i sin△N ∂z(( )2 )42π k∂∇2 → − 2 sin2,△N∂z(2.35)(2.36)ãäå △ øàã äèñêðåòíîé ñåòêè, N ÷èñëî òî÷åê, kx è ky êîìïîíåíòû âîëíîâîãîâåêòîðà.

Òîãäà äëÿ âåðõíåãî ïîëóïðîñòðàíñòâà, z > 0 ïîëó÷àåì:][2πkixsinF [B̃z ] exp−µzBx(1) = F −1 −µ△N[]i2πky(1)−1−µzBy = F−sinF [B̃z ] expµ△N[](1)−1−µzBz = FF [B̃z ] exp(2.37)(2.38)(2.39)ãäåµ=22πkx2πky 1/2(sin2+ sin2) ,△NN(2.40)Ôîðìóëû äëÿ íèæíåãî ïîëóïðîñòðàíñòâà z < 0 ïîëó÷àþòñÿ çàìåíîé çíàêà ïåðåäiµ△è â ýêñïîíåíòå.772.2Ýíåðãåòèêà ïåðåñîåäèíåíèÿ â ñêðåùåííûõ ïîëÿõÏåðåä òåì êàê ïåðåéòè ê ðàññìîòðåíèþ ýíåðãåòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, ââåäåìäèôôóçèîííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëåE(t) =ε sin2 (πt) cos2 ( πy ), 0<t<1,20,t>1,-1<y<1;(2.41)y>1, y<-1,Ïðèñòóïàÿ ê èññëåäîâàíèþ ýíåðãåòèêè ïðîöåññà ïåðåñîåäèíåíèÿ, âåðíåìñÿ êîáëàñòè âûòåêàíèÿ îãðàíè÷åííîé óäàðíûìè âîëíàìè.Ðàñ÷èòàåì êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ óñêîðåííîé ïëàçìû âíóòðè OR - îáëàñòè:1122W̃K = ρṽx(0) V OR = ρṽx(0)22∫∞(−fa(0)r (t, x)0)(0)rfb (t, x)(2.42)dxdy,Òàê êàê èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèè f ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâîéíîå èíòåãðèðîâàíèåäèôôóçèîííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé èíòåãðàë:∫ t∫01−1′∫′tE(t , y)dt dy = Ez0(Φ(y)) |y−y dt′∫+ Bx(Φ(t′∫)) |t0 dy= BxYΦ(y, t)dyY(2.43)Òàêèì îáðàçîì, îáúåì OR - îáëàñòè ìîæíî ðàñ÷èòàòü ïî ôîðìóëå∫VOR=∞(Φ −Φarbr)∫dxdy = 2BxΦ(y, t)dy = G(t),(2.44)Y0è ñëåäîâàòåëüíî, êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ óñêîðåíîé ïëàçìû îêàæåòñÿ ðàâíîé12WKOR = ρṽx(0) G(t).2(2.45)Ðàñ÷åòíûå çíà÷åíèÿ èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîé ýíåðãèè â ýòîì æå îáúåìå îêàçûâàþòñÿ ðàâíûìè ïîëó÷åííûì âûøå çíà÷åíèÿì êèíåíòè÷åñêîé ýíåðãèè.

Òàêèì îáðàçîì, êàê è â ðàñìîòðåííûõ ðàíåå äâóìåðíûõ çàäà÷àõ, âíóòðè OR - îáëàñòè ñîáëþäàåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèé áàëàíñ. Âñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, êîòîðóþ ïåðåíîñèò78äâèæóùàÿñÿ ïëàçìà, ÷åðïàåòñÿ ëèøü èç îáëàñòè îãðàíè÷åííîé óäàðíûìè âîëíàìè.Ñ ýíåðãåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, OR - îáëàñòü àáñîëþòíî íåçàâèñèìà îò îáëàñòèâòåêàíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãèÿ IR - îáëàñòè îñòàåòñÿ â öåëîì íåèçìåííîé.Äëÿ áîëåå ïîäðîáíîãî àíàëèç ïåðåðàñïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè ðàññìîòðèì èçìåíèåíèåìàãíèòíîé ýíåðãèè â ñòîëáå (x : [x, x + dx], z : [0, ∞])∆WBIR∆WBIR1=8π1=−4π∫(2Ba,b− (Ba,b + B )(1) 2)dz.(2.46)IR∫(BIR(1)a,b x Bx+B(1)a,b y By)dz.(2.47)Èñïîëüçÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (2.33) - (2.34), è èíòåãðèðóÿ ïî z îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè ïîëó÷àåì1F (∆WBIR ) =4π()i2πki2πkxyBxa,bsin+ Bya,bsin.22∆µN∆µN(2.48)Ïðîèçâåäåííûå âûøåèçëîæåííûì ìåòîäîì ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî àíàëîãè÷íîïîëó÷åííîìó ðàíåå, â îáëàñòè âòåêàíèÿ, íàáëþäàåòñÿ âîëíà ñæàòèÿ, äîáàâî÷íàÿýíåðãèÿ â êîòîðîé ïîëíîñòüþ ñêîìïåíñèðîâàíà óáûëüþ ýíåðãèè â îáëàñòè ðàçëåòà,ãäå ìàãíèòíîå ïîëå îñëàáëåíî âñëåäñòâèè ïåðåñîåäèíåíèÿ (ðèñ.2.1).Áûëè ïðîàíàëèçèðîâàíû ðàçëè÷íûå êîíôèãóðàöèè ìàãíèòíûõ ïîëåé â òðåõìåðíîì ñëó÷àå.

Äëÿ ñèììåòðè÷íûõ ïîëåé (àíòèïàðàëëåëüíûõ è ðàâíûõ ïî ìîäóëþ) òàêæå êàê è äëÿ íåñèììåòðè÷íûõ (ðàçëè÷íûõ ïî ìîäóëþ) ïîëó÷èëñÿ ðåçóëüòàò, ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþùèé ñ äâóìåðíûì ñëó÷àåì. Êîëè÷åñòâî ýíåðãèè â âîëíåñæàòèÿ óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì àñèììåòðèè, ïðè÷åì îíî ìåíüøå ñî ñòîðîíû ìåíüøåãî ïîëÿ.Âñå ðàñ÷åòû ïðîèçâîäèëèñü â áåçðàçìåðíîì âèäå, àíàëîãè÷íî äâóìåðíîìó ñëó-⃗a è B⃗b÷àþ, ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ ïîñòîÿíñòâà ñóììû êâàäðàòîâ ìîäóëåé âåêòîðîâ B(1.137).79Ðèñ. 2.1: ÔîðìàOR- îáëàñòåé (ñðåäíÿÿ ïàíåëü) è ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ñòîëáå ïðè ïå-ðåñîåäèíåíèè íàä è ïîäOR- îáëàñòüþ â íåñæèìàåìîé ïëàçìå â òðåõìåðíîé ìîäåëè(âåðõíÿÿ èíèæíÿÿ ïàíåëü ñîîòâåòñòâåííî)80BaBbWaWbWΣW̃KWΣ /W̃K(0.71;0)(-0.71;0)0.630.631.260.622.00(0.62;0)(-0.78;0)0.520.661.180.611.90(0.51;0)(-0.86;0)0.370.661.030.591.75(0.37;0)(-0.93;0)0.190.620.810.531.53(0.20;0)(-0.98;0)0.050.520.570.431.32(0.09;0)(-0.99;0)0.020.460.480.371.30(0.001;0)(-0.99;0)8 ∗ 10−50.380.380.321.20Òàáëèöà 2.1: Çíà÷åíèÿ ìàãíèòíîé è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèé â ðàçëèñíûõ ÷àñòÿõ îáëàñòåé âûòåêàíèÿ è âòåêàíèÿ ïëàçìû. ïåðâîé òàáëèöå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ýíåðãèé â ñëó÷àå, êîãäà íàïðàâëåíèå ìàãíèòíûõ ïîëåé ïî îáå ñòîðîíû òîêîâîãî ñëîÿ íå ìåíÿåòñÿ, à èçìåíÿåòñÿ òîëüêî èõ ìîäóëü â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ àñèììåòðèè.Èç òàáëèöû (3.1) õîðîøî âèäíî, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì àñèììåòðèè ìàãíèòíûõ ïîëåé, êîëëè÷åñòâî ýíåðãèè â âîëíå ñæàòèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåéóñêîðåííîé ïëàçìû óìåíüøàåòñÿ.