Диссертация (Энергетический баланс импульсного пересоединения), страница 6

Ñóùåñòâîâàíèå ìàëîãî ïàðàìåòðà äàåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿðåøåíèÿ ìåòîäîâ òåîðèè âîçùìóùåíèé è ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäà ïî ñòåïåíÿì ε.Êðîìå òîãî, "ñëàáîñòü"ïðîöåññà ïåðåñîåäèíåíèÿ, îçíà÷àåò ÷òî OR - îáëàñòüñèëüíî âûòÿíóòà âäîëü îñè x, ò.å åå ðàçìåð â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîìê òîêîâîìó ñëîþ, ìíîãî ìåíüøå, ÷åì ðàçìåð âäîëü íåãî.

Ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïåðåñîåäèíåíèÿ òåîðèþ ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ, ïðè÷åì34ðîëü ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ áóäåò èãðàòü òîíêàÿ OR - îáëàñòü. Ïðè ýòîì ñóùåñòâåííûì îòëè÷èåì OR - îáëàñòè îò îáû÷íîãî ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíà îòäåëåíà îò îáëàñòè âòåêàíèÿ ÷åòêîé ãðàíèöåé ôðîíòàìèóäàðíûõ âîëí Ïåò÷åêà. Ñîãëàñíî òåîðèè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ, ðåøåíèå ñëåäóåò èñêàòü îòäåëüíî äëÿ ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ è âñåãî îñòàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïðè÷åìòàê, ÷òîáû îíè áûëè ñîãëàñîâàííû â íåêîòîðîé ïåðåõîäíîé îáëàñòè.

 äàííîìñëó÷àå, òðåáóåòñÿ, ÷òîáû îíè óäîâëåòâîðÿëè ôèçè÷åñêèì óñëîâèÿì íà ôðîíòàõóäàðíûõ âîëí Ïåò÷åêà, îãðàíè÷èâàþùèõ OR - îáëàñòè. èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé ïëàçìå, âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå òàíãåíöèàëüíûõðàçðûâîâ è óäàðíûõ âîëí Ïåò÷åêà (Ïóäîâêèí Ì.È., Ñåìåíîâ Â.Ñ.). Òàíãåíöèàëüíûå ðàçðûâû ñóùåñòâóþò ïðè óñëîâèè ðàâåíñòâà íóëþ íîðìàëüíûõ êîìïîíåíòñêîðîñòè ïëàçìû è ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Íà ãðàíèöå òàêîãî ðàçðûâà ñóùåñòâóåò ñêà÷îê òàíãåíöèàëüíîé êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ñêà÷îêòàíãåíöèàëüíîé êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ïëàçìû. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê íà ôðîíòå ðàçðûâà îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ñêà÷êà òàíãåíöèàëüíîé êîìïîíåíòû íàïðÿæåííîñòèìàãíèòíîãî ïîëÿ. Òàíãåíöèàëüíûé ðàçðûâ òîïîëîãè÷åñêè ðàçäåëÿåò íà äâå ÷àñòèñèëîâûå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ è, ñîîòâåòñòâåííî, âåùåñòâî ïëàçìû.

 çàäà÷åïåðåñîåäèíåíèÿ òàêîé òàíãåíöèàëüíûé ðàçðûâ ìîäåëèðóåò òîêîâûé ñëîé.Åäèíñòâåííàÿ óäàðíàÿ âîëíà, ñóùåñòâóþùàÿ â íåñæèìàåìîé ïëàçìå óäàðíàÿâîëíà Ïåò÷åêà îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìîé ñîîòíîøåíèé íà ôðîíòå âîëíû:{{Bn } = 0,(1.8){vn } = 0,(1.9){P } = 0,1Bn Bt − ρvn vt4π35(1.10)}= 0,(1.11){Bn vt − vn Bt } = 0.(1.12)Òàê æå êàê è íà òàíãåíöèàëüíîì ðàçðûâå, íà ôðîíòå óäàðíîé âîëíû Ïåò÷åêàñóùåñòâóåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê è, òàê êàê ôðîíò äâèæåòñÿ çàõâàòûâàÿ âñå íîâûåîáëàñòè ïëàçìû, íàä ïëàçìîé â ýòèõ îáëàñòÿõ ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà ïî åå óñêîðåíèþ.Òàêèì îáðàçîì ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðåîáðàçóåòñÿ â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþïëàçìû â ïðîöåññå ïåðåñîåäèíåíèÿ.Ðåøåíèÿ äëÿ OR - îáëàñòè äîëæíû áûòü ïîëó÷åíû â âèäå àñèìïòîòè÷åñêèõðÿäîâ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó ε.

Îêîí÷àòåëüíîå ðåøåíèå òàêîé çàäà÷è áóäåò ïðåäñòàâëåíî â âèäå:U = U (0) + εU (1) + ε2 U (2) + · · · ,(1.13)Ũ = Ũ (0) + ε2 Ũ (2) + · · · ,(1.14)Z = εF (0) + ε2 F (1) + · · · .(1.15)Çäåñü U îáîçíà÷àåò âåêòîð ÌÃÄ ïàðàìåòðîâ â îáëàñòè âòåêàíèÿ, à Ũ àíàëîãè÷íûéâåêòîð â OR - îáëàñòè:B̃x  B̃z   Ũ =  ṽx  .  ṽ  z P̃Bx  Bz   U = vx  , v  z P(1.16)Óðàâíåíèå (1.15) îïèñûâàåò ôîðìó ôðîíòà ïåò÷åêîâñêîé óäàðíîé âîëíû.Êðîìå òîãî, ñîãëàñíî òåîðèè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ, äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ âíóòðèïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ óäîáíî èñïîëüçîâàòü íîâûå ïåðåíîðìèðîâàííûå ïåðåìåííûå(À.Õ.

Íàéôå, 1976, Èëüèí À.Ì., 1989). Ýòî íåîáõîäèìî äëÿ òîãî, ÷òîáû îòðàçèòü36áûñòðîå èçìåíåíèå ïàðàìåòðîâ â òîíêîì ïîãðàíè÷íîì ñëîå. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèåêîîðäèíàò äîëæíî áûòü ïðèìåíåíî êàê ê íåçàâèñèìûì ïåðåìåííûì (x, z), òàê èê ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèì ïàðàìåòðàì Ũ .Bx′ = Bx ,Bz,εvzvz′ = ,ε(1.17)Z′ = Z,(1.19)Bz′ =vx′ = vx ,x′ = x,P ′ = P.(1.18)(1.20)Ïåðâûì øàãîì ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ, äîëæíî ñòàòü ïîëó÷åíèå îöåíîê íóëåâîãîïðèáëèæåíèÿ Ũ (0) â OR-îáëàñòè, ñ èñïîëüçîâàíèåì èçâåñòíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèéU (0) .Òàíãåíöèàëüíûå êîìïîíåíòû ñêîðîñòè è ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæíî íàéòè, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî îíè ïîñòîÿííû â OR - îáëàñòè. Òîãäà, èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèèâèäíî, ÷òîB̃x(0) = 0.(1.21)(0)Ñêîðîñòü ṽx ìîæíî ïîëó÷èòü èç ñîîòíîøåíèé íà ôðîíòå óäàðíîé âîëíû (1.11),(1.12), óñòàíàâëèâàÿ íàïðàâëåíèå íîðìàëüíîãî âåêòîðà íà ïîâåðõíîñòè ôðîíòàóäàðíîé âîëíû èç OR - îáëàñòè íàðóæó:(0)1 BnB0 + ṽx(0) = 0,(0)4πρ vn(1.22)(0)Bn(0)vnṽx(0) + B0 = 0.(1.23)Òîãäà, çíà÷åíèå ìîäóëÿ ñêîðîñòè :(ṽx(0))2B02=.4πρ37(1.24)Èñõîäÿ èç íàïðàâëåíèÿ íà÷àëüíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ B0 , è èç òîãî, ÷òî ïëàçìà(0)(0)âñåãäà âòåêàåò â OR-îáëàñòü, ìîæíî îïðåäåëèòü çíàêè âåëè÷èí Bn è vn è ñëåäî(0)âàòåëüíî çíàê ṽx .

Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì, ÷òî â ïåðâîì è ÷åòâåðòîì êâàäðàíòàõ(0)(0)ṽx > 0, à âî âòîðîì è òðåòüåì ṽx < 0, òî åñòü, â ïðîöåññå ïåðåñîåäèíåíèÿ ïëàçìàóñêîðÿåòñÿ â OR - îáëàñòè â íàïðàâëåíèè îò äèôôóçèîííîé îáëàñòè.Òàê êàê òàíãåíöèàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå ïîñòîÿííû ïî âñåé OR - îáëàñòè, òî èçóðàâíåíèé ñîëåíîèäàëüíîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ è íåðàçðûâíîñòè ñëåäóåò:(0)∂ B̃z= 0,∂z(0)∂ṽz= 0,∂z(1.25)(1.26)è íîðìàëüíûå êîìïîíåíòû áóäóò òàêæå ïîñòîÿííû âäîëü îñè z .

Èç ñîîáðàæåíèé(0)ñèììåòðèè ṽz (t, x, 0) = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, âî âñåé OR - îáëàñòè:(1.27)ṽz(0) = 0.Íîðìàëüíóþ êîìïîíåíòó ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæíî ïîëó÷èòü èñõîäÿ èç óðàâíåíèÿ âìîðîæåííîñòè (1.2).  OR - îáëàñòè åãî ïðîåêöèÿ íà îñü z ïðèîáðåòàåò âèä:(0)∂ B̃z∂t(0)∂ B̃z= −vA.∂x(1.28)Ðåøåíèåì òàêîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ,çàâèñÿùàÿ îò âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòû ñëåäóþùèì îáðàçîì:)(x.B̃z(0) (t, x, z̃) = F t −vA(1.29)Êîíêðåòíûé âèä ýòîé ôóíêöèè ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ íà ëèíèè ïåðåñîåäèíåíèÿ.

Äåéñòâèòåëüíî, êîíâåêòèâíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â îêðåñòíîñòè ëèíèè ïåðåñîåäèíåíèÿ äîëæíî ñîâïàäàòü ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì â äèôôóçèîííîé38îáëàñòè:εεE(0, t) = vA B̃z(0) (t, 0, 0) = vA F (t).cc(1.30)Îêîí÷àòåëüíî, èç (1.29) è (1.30) ïîëó÷èì()xB̃z(0) (t, x, z̃) =E t−.vA εvAc(1.31)Èç (1.31) ìîæíî ëåãêî ïîëó÷èòü çíà÷åíèå êîíâåêòèâíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âëþáîé òî÷êå OR - îáëàñòè:()xE(t, x, z̃) = E t −.vA(1.32)Íà îñíîâå ýòîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â ïðîöåññå ïåðåñîåäèíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ãåíåðèðóåìîå â äèôôóçèîííîé îáëàñòè, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëüòîêîâîãî ñëîÿ ñ àëüôâåíîâñêîé ñêîðîñòüþ.Ïîëíîå äàâëåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü èç óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ.

Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿB0èv0â z ïðîåêöèþ óðàâíåíèÿ (1.1), ïîëó÷èì:(0)∂Pε2 (0) ∂ B̃z=B̃.∂ z̃4π z ∂ z̃(1.33)Ñëåäîâàòåëüíî, ïîäñòàâèâ â (1.33) ðàçëîæåíèå ïîëíîãî äàâëåíèÿ P â àñèìïòîòè÷åñêèé ðÿä, ïîëó÷èì:∂P (0)= 0,∂ z̃∂P (1)= 0.∂ z̃(1.34)(1.35)Ïîëíîå äàâëåíèå íåïðåðûâíî íà ôðîíòå óäàðíîé âîëíû (1.10), çíà÷èò ïîëíîå äàâëåíèå â OR - îáëàñòè ïîñòîÿííî, òàêæå êàê è â îáëàñòè âòåêàíèÿ.Îêîí÷àòåëüíî, ðåøåíèå íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ â OR - îáëàñòè äàåòñÿ ôîðìó-39ëàìèB̃x(0) = 0,ṽx(0) = vA ,(1.36)B̃z(0)ṽz(0) = 0.(1.37))(cx= E t−,vAvAÒåïåðü, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî ïîëó÷èòü ðåøåíèå äëÿ ôîðìû óäàðíîé âîëíû. Ïóñòü ôîðìà ôðîíòà óäàðíîé âîëíû çàäàíà óðàâíåíèåìZ = εf (0) (t, x).(1.38)Òîãäà íîðìàëüíûé è òàíãåíöèàëüíûé ê ôðîíòó óäàðíîé âîëíû âåêòîðà áóäóò()∂f (0) (t, x),1 ,n = −ε∂x()∂f (0) (t, x)t = 1, ε.∂x(1.39)(1.40)À ñêîðîñòü ôðîíòà óäàðíîé âîëíû()∂f (0) (t, x)D = 0, ε.∂t(1.41)Íà îñíîâå ðåøåíèÿ (1.36), (1.37) ìîæíî ïîëó÷èòü íîðìàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòè è ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñèñòåìå îòñ÷åòà ñâÿçàííîé ñ ôðîíòîì óäàðíîé âîëíû(vn(0)Bn(0)∂f (0)∂f (0)vA += (ṽx(0) , εṽz(0) ) · n − Dn = −ε∂x∂t()cx= (B̃x(0) , εB̃z(0) ) · n = E t −.vAvA),(1.42)(1.43)Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ýòèõ çíà÷åíèé â (1.23) ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèåîòíîñèòåëüíî f (0)()c∂f (0)∂f (0)x+ vA=E t−∂t∂xεB0vA(1.44)Òàê êàê ôðîíò óäàðíîé âîëíû äîëæåí áûòü ñîåäèíåí ñ äèôôóçèîííîé îáëàñòüþ,è ñëåäîâàòåëüíî F (0) (t, 0) = 0, òî ðåøåíèå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:()cxf (0) (t, x) =x E t−.εB0 vAvA40(1.45)Îêîí÷àòåëüíî, óðàâíåíèå ôðîíòà óäàðíîé âîëíû áóäåò:()xc.z=x E t−B0 vAvA(1.46)Äëÿ èëëþñòðàöèè ïðîöåññà ïåðåñîåäèíåíèÿ, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ðåçóëüòàòîâ âûáåðåì äèôôóçèîííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â âèäå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè,òàê ÷òîáû îíî èìåëî ôîðìó èìïóëüñà ñëåäóþùèì îáðàçîì:E(t) = εt2 e−αt(1.47)Ôîðìû óäàðíûõ âîëí îãðàíè÷èâàþùèõ îáëàñòè óñêîðåííîé ïëàçìû èçîáðàæåíû íà ðèñ.

1.1Âûðàæåíèå äëÿ ôîðìû ôðîíòà (1.45) è èçâåñòíûå íîðìàëüíûå ñîñòàâëÿþùèåìàãíèòíîãî ïîëÿ è ñêîðîñòè ïîçâîëÿþò ïîñòàâèòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ â îáëàñòè âòåêàíèÿ U (1) . Òîãäà ðåøåíèå â îáëàñòèâòåêàíèÿ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû ÌÃÄ óðàâíåíèé ñ ýòèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.

Ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ âäîëüíàïðàâëåíèÿ íà÷àëüíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ B0 ïàðàëëåëüíîãî îñè x. Ýòà âîëíà îáðàçîâàíà â ðåçóëüòàòå âûðîæäåíèÿ àëüôâåíîâñêîé è ìåäëåííîé ìàãíèòîçâóêîâîéâîëí, àíàëîãè÷íî âûðîæäåíèþ óäàðíûõ âîëí ñîîòâåòñòâóþùèõ òèïîâ.  ïåðâîìïðèáëèæåíèè â îáëàñòè âòåêàíèÿ, èç óðàâíåíèÿ ôîðìû ôðîíòà (1.45) ñëåäóåò,÷òî ôðîíò óäàðíîé âîëíû ìîæíî ñ÷èòàòü ñîâïàäàþùèì ñ ïðÿìîé z = 0. Òîãäà âïîëóïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííîé ïðÿìîé z = 0, ðåøåíèå çàäà÷è äàåòñÿ èíòåãðàëîìÏóàññîíà:zvz(1) (x, z, t) =πBz(1) (x, z, t)z=π∫+∞−∞∫+∞−∞41vz0 (t, x′ )dx′ ,′22(x − x ) + z(1.48)Bz0 (t, x′ )dx′ .(x − x′ )2 + z 2(1.49)3t=0.52100a)-1-2-3-23-1012t=1.02100b)-1-2-3-232-1012t=2.0100c)-1-2-3-23-1012t=3.02100d)-1-2-3-2Ðèñ.

1.1: ÔîðìàOR-1012- îáëàñòåé äëÿ ðàçëè÷íûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè ïðè ïåðåñîåäèíåíèè â íåñæè-ìàåìîé ïëàçìå â ñëó÷àå ñèììåòðè÷íûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé.42(1)(1)Çäåñü vz0 (t, x) = vz (t, x, 0) è Bz0 = Bz (t, x, 0) ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Èõ ìîæíîïîëó÷èòü èç èçâåñòíîãî ðåøåíèÿ â OR - îáëàñòè. Ñêîðîñòü è ìàãíèòíîå ïîëå ïåðâîãî ïîðÿäêà ñî ñòîðîíû îáëàñòè âòåêàíèÿ äîëæíû áûòü òàêèìè, ÷òîáû óñòðàíèòüíåâÿçêó â ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ íà ôðîíòå óäàðíîé âîëíû{vn − Dn } = 0,(1.50){Bn } = 0,(1.51)ãäå Dn ñêîðîñòü ôðîíòà óäàðíîé âîëíû â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ òîêîâûìñëîåì. Èç ýòèõ óñëîâèé äëÿ ïðàâîé OR - îáëàñòè ñëåäóåò:)xx ′xE(t − ) − E (t − ) ,vAvAvA()cxx ′xcx−E(t − ) − E (t − ) + εBz(1) = E(t − ).vAvAvAvAvAvAεvz(1)c=−B0((1.52)(1.53)ãäå E ′ - ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè E ïî çàäàííîìèó àðãóìåíòó.(1)(1) ðàâåíñòâàõ (1.52), (1.53) âåëè÷èíû Bz è vz îòíîñÿòñÿ ê îáëàñòè âòåêàíèÿ èáåðóòñÿ íà ôðîíòå óäàðíîé âîëíû. Òî åñòü çàâèñèìîñòü ýòèõ âåëè÷èí îò x è t è äàåòòðåáóåìûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.