Диссертация (Линейное уравнение Больцмана приближение, методы численного решения прямых задач и задач оптимизации, обобщение), страница 6

также [184]. (Не следует путать сопряженнуюзадачу и сопряженное по Лагранжу дифференциальное уравнение, хотя уравнение всопряженной задаче — сопряженное по Лагранжу.) Градиент функционала невязкиимеет вид* ′ () = 2 [′ ()] [() − ] ,где ′ () — производная Фреше оператора в «точке» (производная Фреше — линейный оператор), [′ ()]* — сопряженный оператор. Последний может быть получен22линеаризацией прямой задачи, и построением так называемой сопряженной задачи. Вэтом случае нет необходимости в аналитическом представлении оператора .

В работах[278, 279] метод сопряженной задачи использовался для решения обратных задач оптимизации (оптимального проектирования) при кристаллизации с учетом конвекции ифазовых превращений, однако в ряде случаев вывод сопряженной задачи была неверен(см.

также [282]). В работах [278, 279] целевой функционал минимизировался методомсопряженных градиентов в его регуляризованной форме, когда минимизация целевого функционала осуществляется не до минимума, а до некоторого уровня целевогофункционала, определяемого ошибкой в исходных данных (такой способ регуляризации относится к итерационной регуляризации).

В книге [208] обсуждаются разнообразные обратные задачи теплопереноса, которые включают в себя как теплообмен, таки конвективный и радиационный теплоперенос, при этом искомые функции задаютсяконечным числом параметров.В работах [104, 116, 142] был предложен способ решения «краевых» задач оптимизации систем переноса теплового излучения. В этих работах рассматривались двухмерные тестовые задачи теплообмена, в которых доминировал радиационный теплоперенос, а границы были диффузные. В задачах оптимизации, которые изучались вработах [104, 116, 142] требовалось найти распределение теплового потока на поверхности нагревателя или распределение его мощности, которое позволило бы получить нанагреваемой поверхности заданные распределения температуры и теплового потока.

Вработе [142] задача переноса излучения после дискретизации сводилась к плохо обусловленной системе линейных алгебраических уравнений (которая является дискретныманалогом интегрального уравнения Фредгольма первого рода). Эта система решаласьпри помощи усеченного разложения по сингулярным числам (Truncated Singular ValueDecomposition, TSVD), метода регуляризации Тихонова и метода сопряженных градиентов в его регуляризованной форме.

В работах [104, 116] исходная обратная задача(нелинейная, со сложным теплопереносом) решалась при помощи итераций (посколькурадиационный перенос доминировал), при этом на каждой итерации решалась задачапереноса излучения. Как пишут авторы работ [104, 116, 142], предложенный ими способприменим только на начальном этапе оптимизации, поскольку в этом способе численное решение может быть получено только на крупной сетке из-за того, что на каждомшаге итерации решается система линейных алгебраических уравнений, которая плохо обусловлена, при этом матрица системы в общем случае плотно заполнена. Послетого как «грубое» численное решение получено, его можно использовать в качестве начального приближения в последующих расчетах на мелкой сетке, причем дальнейшаяоптимизация происходит методом проб и ошибок при помощи решения прямой задачи.В работе [105] было проведено сравнение эффективности следующих методов регуляризации: усеченного разложения по сингулярным числам (TSVD), метода сопряжен-23ных градиентов в его регуляризованной форме и метода бисопряженных градиентов вего регуляризованной форме, — в трехмерных тестовых «краевых» задачах оптимизации для переноса излучения.

Авторы работы [91] предложили искать решения двухмерных задач оптимизации систем переноса излучения на множестве кусочно-постоянныхфункций с заданными точками разрыва (это вариант параметрической регуляризации[14, 60]). Такая задача оптимального проектирования сводится к задаче квадратичнойоптимизации в конечномерном пространстве, и она легко решается обычными методами. В работе [91] точки разрыва находились в узлах равномерной сетки, что не являетсяпринципиальным ограничением: координаты точек разрыва могут быть произвольны.Но обычно и число этих точек и их координаты априори неизвестны, а это уже принципиальное ограничение способа решения, предложенного в работе [91].Оптимизация граничных значений в двухмерных задачах радиационного теплопереноса рассматривалась в работе [139].

Искомая функция считалась кусочно-постояннойфункцией с известными фиксированными точками разрыва, искомыми параметрамибыли значения функции. Минимизация осуществлялась методом сопряженных градиентов. Градиент целевого функционала по искомым параметрам вычислялся при помощи решения вспомогательных задач, число которых равнялось числу этих параметров,что весьма неэффективно.В работе [173] рассматривалась «краевая» задача оптимизации, в которой в качестве «нагреваемой поверхности» выступала поверхность человеческого тела; решениеполученной после дискретизации задачи плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений находилось методом регуляризации Тихонова. В работе [214]в задаче оптимизации требовалось найти такое пространственное распределение интенсивности источников тепла, которое позволило бы получить заданные распределениетемпературы на нагреваемой поверхности и распределение теплового потока на ней;после дискретизации задачи для минимизации целевого функционала применялся метод сопряженных градиентов в его регуляризованной форме.

Способы решения задачоптимизации, описанные в статьях [173, 214], в сущности такие же как и в статье [142].Трехмерные задачи оптимизации в задачах переноса излучения рассматривались вработах [72, 137]. В обеих работах область переноса излучения представляла из себя прямоугольный параллелепипед, а среда была радиационно прозрачной. В обеих статьяхнагреватели состояли из дискретного набора нагревательных элементов, находящихсяна верхнем основании параллелепипеда, а нагреваемая поверхность находилась на нижнем основании параллелепипеда.

В задачи оптимизации требовалось найти такое распределение мощности нагревателей, которое которое позволило бы получить заданныена нагреваемой поверхности распределения как температуры, так и теплового потока.В работе [137] поверхности были диффузными, но не серыми (то есть со спектральнойзависимостью коэффициента отражения). Положения нагревательных элементов бы-24ли заданы. Задача оптимизации дискретизацией была сведена к плохо обусловленнойсистеме линейных алгебраических уравнений, решение которой было найдено при помощи усеченного разложения по сингулярным числам. В работе [72] поверхности былисерыми диффузными.

В отличие от работы [137] оптимизации подлежали не толькомощности нагревательных элементов, но и их положение. Поэтому задача решалась гибридным методом: положения нагревательных элементов определялись стохастическимметодом обобщенной экстремальной оптимизации [96], а их мощности находились припомощи усеченного разложения по сингулярным числам плохо обусловленной системылинейных алгебраических уравнений.

В работах [72, 137] постановка задач оптимального проектирования специфична, поэтому их распространение на более сложные задачиможет быть затруднено.Оптимизация граничных значений в двухмерных задачах сложного теплобмена рассматривалась в статьях [138, 197] (в первой статье рассматривался совместный кондуктивно-радиационный теплоперенос, во второй — совместный конвективнорадиационный теплоперенос). Методика решения обратной задачи в статье [138] быланалогична таковой в статье этих же авторов [139], когда для вычисления градиента целевого функционала требовалось решать вспомогательные задачи, число которыхравно числу искомых параметров, что весьма неэффективно.

В статье [197] градиентцелевого функционала вычислялся при помощи конечных разностей, что крайне неэффективно.1.3.2Оптимизация формы областиФорма области оказывает очень большое влияние на радиационный теплоперенос.Поэтому задачи геометрической оптимизации высокотемпературных систем представляют фундаментальный интерес.Задачи оптимизации формы области образуют целую ветвь такой классическойобласти, как вариационное исчисление. Для решения таких задач вариационное исчисление использовалось, например, в [5, 42, 209]. Однако в задачах переноса излучениявариационное исчисление может быть использовано лишь в тривиальных случаях, когда целевой функционал может быть представлен в аналитическом виде.Задачи геометрической оптимизации систем радиационного теплопереноса рассматривались в работах [8, 92, 93, 108, 259, 260].

Во всех работах решались двухмерные задачи, которые сводились к минимизации квадратичных целевых функционалов.В работе [8] оптимизации подлежали как граничные значения, так и геометрия системы. Параметрами проектирования были положения трех трубчатых радиаторов иравномерные потоки теплового излучения на их поверхностях. Целевым параметромбыл равномерный поток теплового излучения на нагреваемой поверхности. Радиаторы25рассматривались как с отражателями, так и без них.

Задачи минимизации решалисьмодификацией метода деформируемого многогранника (симплекса) Нелдера–Мида, см.[49]. В работах [92, 93] рассмативались задачи оптимизации формы областей систем радиационного теплопереноса, содержащих прозрачные для теплового излучения среды.В работе [92] оптимизируемые поверхности были диффузно отражающими, а в работе[93] оптимизируемые поверхности содержали плоские непрозрачные зеркально отражающие поверхности.

В работах [92, 93] формы как поверхности нагревателя, так инагреваемой поверхности были заданы. Задача оптимизации заключалась в том, чтобынайти форму части оставшейся (диффузно или зеркально отражающей) поверхности,которая позволила бы получить заданное распределение теплового потока на нагреваемой поверхности при заданном распределении теплового потока на поверхности нагревателя. Оптимизируемые поверхности были заданы конечным числом параметров:в работе [92] — неоднородными рациональными B-спланами (non-uniform rational Bsplines, NURBS), задаваемыми двумя параметрами (одна точка была фиксирована идве точки были подвижны); в работе [93] изучались две тестовые задачи, в первой задаче оптимизируемая поверхность задавалась двумя, а во второй задаче — четырьмяпараметрами.

В работе [92] прямая задача была сведена к интегральному уравнениюФредгольма второго рода относительно плотностей потока эффективного излучения(radiosities) (поток эффективного излучения — это поток излучения, излучаемый поверхностью), при этом ядро интегрального уравнения зависело от контрольных точек(параметров) B-сплайнов.

После дискретизации интегральное уравнение было своденок системе линейных алгебраических уравнений. В результате целевая функция зависелачерез плотности эффективного потока от параметров. Зависимость производных целевой функции от параметров находилась при помощи дифференцирования интегрального уравнения по параметрам. Таким образом, градиент и матрица Гессе целевой функции легко вычислялись, и задача минимизации решалась градиентными методами. Вработе [93] из-за наличия зеркальных поверхностей (подлежащих оптимизации) сведение к интегральному уравнению Фредгольма было проблематично, поскольку условияна зеркальных границах выражаются через интенсивности излучения, а не плотностипотока излучения.

Поэтому аналитическое представление градиента целевой функцииотстутствовало, и минимизация осуществлялась методом Кифера–Вольфовица (Kiefer–Wolfowitz), в котором градиент аппроксимируется при помощи конечных разностей.Автору неизвестно, чтобы этот способ был использован в задачах сложного теплопереноса.