Диссертация (Линейное уравнение Больцмана приближение, методы численного решения прямых задач и задач оптимизации, обобщение), страница 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.12 Тестовая задача с диффузными границами . . . . . . . . . . . . .4.2.13 Тестовые задачи с диффузно-зеркальными границами . . . . . . .4.2.14 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .4.A Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.A.1 Некоторые формулы дифференциального исчисления на поверхностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1701721721741851851855 Обобщенное линейное уравнение Больцмана, описывающее неклассический перенос, и асимптотическое приближение к нему1885.1 Неклассический перенос частиц: модель . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.2 Обобщенное линейное уравнение Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.3 Интегральные уравнения для плотностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.4 Асимптотическое решение при малой средней длине пробега . . . . . . . 1945.4.1 Предположения . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.4.2 Уравнение и представление решения . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.4.3 Внешнее решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.4.4 Внутреннее решение . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 1985.4.5 Начальные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.4.6 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.5 Диффузионное приближение к односкоростному обобщенному линейномууравнению Больцмана . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.A Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.A.1 Асимптотическое разложение ядра . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.A.2 Разрешимость интегральных уравнений Фредгольма второго рода (5.27) . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Заключение208Список литературы210ВведениеАктуальность. Линейное кинетическое уравнение Больцмана, называемое такженестационарным уравнением переноса излучения или уравнением переноса нейтронов,описывает, например, перенос теплового излучения (радиационный теплоперенос — перенос тепловой энергии электромагнитными волнами) [32, 37, 50, 143, 196, 211] и переноснейтронов [16, 18, 29, 51, 101, 177]. Кроме того, линейное уравнение Больцмана используется для построения моделей переноса или передвижения биологических объектовили служит основой для построения таких моделей [61–63, 70, 71, 103, 136, 205–207, 277].Линейное уравнение Больцмана — это интегро-дифференциальное уравнение с частными производными относительно плотности частиц в фазовом пространстве, которая вобщем случае зависит от семи независимых переменных: время, три пространственныекоординаты, две угловые координаты (направление движения) и энергия (или скорость)частиц.Задачи для линейного уравнения Больцмана допускают аналитическое решение висключительных случаях, однако численное решение этих задач также представляетзначительные сложности.

Чтобы уменьшить сложность численного решения, по возможности применяются упрощения и приемы, использующие специфику конкретныхзадач и облегчающие решение линейного уравнения Больцмана. В сильнорассеивающих средах широко применяется диффузионное приближение, описываемое уравнением диффузии. Однако оно имеет свои ограничения даже в таких средах, и до сих порадекватная замена диффузионному приближению не найдена.Если приближения к линейному уравнению Больцмана не позволяют получитьприемлемые решения, задачи приходится решать численно.

К настоящему времени разработано много методов численного решения задач для линейного уравнения Больцмана. Тем не менее до сих пор существуют задачи, решение которых представляет особыесложности. К таким задачам относятся, например, задачи радиационного теплопереноса в областях, имеющих нетривиальную геометрию, с внешними или внутреннимипрозрачными зеркальными границами, разделяющими среды с отличающимися показателями преломления. Такие задачи представляют большой интерес, но ранее они нерассматривались. В нескольких статьях рассматривались задачи, в которых пространственные области имели очень простую форму, но использованные подходы, вообще67говоря, не распространяются на области более сложной формы.Еще более сложными являются задачи оптимизации (оптимального проектирования), в которых требуется определить оптимальные граничные значения или/и формуобласти в которой решается задача для линейного уравнения Больцмана.

Фактическиэто обратные задачи. Поэтому в задачах оптимизации к сложностям решения линейногоуравнения Больцмана добавляются сложности, связанные с математической некорректностью, сопутствующей обратным задачам. Такие задачи до сих пор часто решаютсяметодом проб и ошибок.Линейное уравнение Больцмана является классической мезоскопической модельюпереноса, в которой распределение длины свободного пробега частиц экспоненциально.Но экспоненциальное распределение длины свободного пробега имеет место только в«разреженных» средах, в которых рассеиватели некоррелированы в пространстве. Однако многие среды плотны, и препятствия в них не могут рассматриваться как некоррелированные. В таких случаях требуется обобщение линейного уравнения Больцмана,позволяющее описывать перенос с неэкспоненциальным распределением длины свободного пробега частиц.

Такое обобщенное уравнение до сих пор не выводилось.Цели и задачи работы: Изучение 1 приближения к линейному уравнениюБольцмана, разработка методов численного решения задач переноса излучения в областях с зеркальными границами, разработка методов численного решения задач оптимального проектирования в задачах переноса, обобщение линейного уравнения Больцмана на случай произвольного распределения длины свободного пробега частиц.Научная новизна:∙ 1 приближение к линейному уравнению Больцмана предложено в качестве уточнения диффузионного приближения.∙ Построены квадратурные схемы на единичной сфере, основанные на кусочно-квазилинейной интерполяции, которые позволяют трактовать зеркальное отражение ипреломление при решении задач переноса излучения.∙ Построены численные схемы решения осесимметричных задач радиационного теплопереноса с непрозрачными диффузными и зеркальными границами, и прозрачными зеркальными границами, разделяющими среды с отличающимися показателямипреломления.∙ Разработан единый подход к численному решению задач оптимизации граничныхзначений или формы области в задачах переноса излучения с диффузными и зеркальными границами.∙ Предложено обобщение линейного уравнения Больцмана на случай произвольногораспределения длины свободного пробега частиц.Теоретическая и практическая значимость.

Предложенные квадратурныесхемы вносят существенный вклад в теорию квадратурных схем. Разработанные чис-8ленные схемы решения задач переноса излучения вносят существенный вклад в теориюметодов решения таких задач. Эти схемы были реализованы в комплексе программ,который был использован при моделировании роста полупрозрачных кристаллов израсплава низкоградиентным методом Чохральского, что позволило объяснить особенности роста этих кристаллов. Получено свидетельство о государственной регистрациипрограммы для ЭВМ. Обобщенное линейное уравнение Больцмана — это новая математическая модель, позволяющая описывать кинетику частиц с произвольным распределением длины свободного пробега.Положения, выносимые на защиту:1. 1 приближение предложено в качестве уточнения диффузионного приближения клинейному уравнению Больцмана.2.

Построены квадратурные схемы на единичной сфере, основанные на кусочно-квазилинейной интерполяции, которые позволяют трактовать зеркальное отражение ипреломление при решении задач переноса излучения методом дискретных ординат.3. Построены численные схемы решения осесимметричных задач радиационного теплопереноса с непрозрачными диффузными и зеркальными границами, и прозрачными зеркальными границами, разделяющими среды с отличающимися показателямипреломления.4. Разработан комплекс программ решения осесимметричных задач переноса излучения в областях с диффузными и зеркальными границами и прозрачными зеркальными границами раздела сред с различающимися показателями преломления.5. Разработан единый подход к численному решению задач оптимизации граничныхзначений или формы области в задачах переноса излучения с диффузными и зеркальными границами.6. Предложено обобщение линейного уравнения Больцмана на случай произвольногораспределения длины свободного пробега частиц и выведено асимптотическое решение задачи Коши для этого обобщенного уравнения при малой средней длинесвободного пробега частиц.Апробация результатов.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на Девятой Российской национальной конференции по росту кристаллов (Москва, 2000), The Third International Symposium on Radiative Transfer (Antalya, Turkey,2001), The Fourth International Conference on Single Crystal Growth and Heat & MassTransfer (Обнинск, Россия, 2001), на Десятой Российской национальной конференциипо росту кристаллов (Москва, 2002), на Третьей Российской национальной конференциипо теплообмену (Москва, 2002), Eurotherm Seminar «Computational Thermal Radiation inParticipating Media» (Mons, Belgium, 2003), The Fourth International Symposium on Radiative Transfer (Istanbul, Turkey, 2004), Eurotherm Seminar «Computational Thermal Radiation in Participating Media II» (Poitiers, France, 2006), на Четвертой Российской нацио-9нальной конференции по теплообмену (Москва, 2006), на Пятой международной конференции по обратным задачам (Казань–Москва, 2007), The Fifth International Symposiumon Radiative Transfer (Bodrum, Turkey, 2007), на Международной конференции «Days onDiffraction 2013» (С.-Петербург, 2013), на Международном симпозиуме «Systems Biologyand Bioinformatics» (С.-Петербург, 2016), на семинарах в Физико-техническом институте им.

А. Ф. Иоффе и Санкт-Петербургском политехническом университете.Публикации. По теме диссертации опубликовано 27 статей, из них 16 статей врецензируемых научных журналах, индексируемых Scopus и/или Web of Science и/иливходящих в перечень ВАК [10, 27, 34, 35, 76, 107, 226, 228, 230, 233, 235, 239, 241, 243,244, 281], 10 статей в трудах научных конференций и научных сборниках [33, 73, 227,229, 231, 232, 234, 236–238] и 1 препринт [242].Личный вклад автора.

Подавляющее большинство результатов, изложенныхв диссертации, получено лично автором. Вклад автора в результаты, полученные встатьях, в которых он является первым автором, является определяющим. Отдельныерезультаты, полученные в результате совместной работы, отмечены в тексте диссертации.БлагодарностиВыражаю глубокую благодарность В. С.