Диссертация (Линейное уравнение Больцмана приближение, методы численного решения прямых задач и задач оптимизации, обобщение), страница 10

Рассеяние изотропно, то есть ядро рассеяния постоянно и равно = (4)−1 ,следовательно, = s . Рисунки демонстрируют также диффузионное приближение,выражаемое уравнением диффузии− Δ = , ∈ R3 , > −,с начальными условиями|=− = 0,и 1/3 приближение, выражаемое телеграфным уравнением 2 +− Δ = +,23 3 ∈ R3 , > −,с начальными условиями (2.37). Во всех случаях поглощение отсутствует, и источник один и тот же. 1 приближение на рисунках не представлено, поскольку 1/3 приближение лучше, и нефизичное поведение 1 приближения выражено гораздо сильнее.Неожиданно 1 приближение демонстрирует фактически «неотрицательное» поведение.

Решения отрицательны в окрестности начала координат, однако это не проявляется на рисунках. Это означает, что доля «отрицательной» плотности очень мала454πr2 u(r,t)или даже пренебрежимо мала. Поведение 1 приближения кардинально отличаетсяот такового 1/3 приближения, которое демонстрирует явную нефизичность с отрицательными значениями. Мы оценили, насколько хорошо 1 решения аппроксимируютрешения линейного уравнения Больцмана, полученные методом Монте Карло, в сравнении с 0 (диффузионное приближение) и 1/3 решениями. Невязка вычислялась в2 норме. Невязка для 1 приближения в несколько раз меньше, чем невязка для 1/3приближения. Кроме того, невязка для 1 приближения сравнима с таковой для диффузионного приближения при малых временах и значительно меньше при бо́льших.uBouD0uP1/3uD1t =11.51.00.54πr2 u(r,t)0.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.400.350.300.250.200.150.100.050.00uBouD0uP1/3uD1t =40123r4560.80.70.60.50.40.30.20.10.00.350.300.250.200.150.100.050.00uBouD0uP1/3uD1t =201234uBouD0uP1/3uD1t =50 1 2 3 4 5 6 70.50.40.30.20.10.00.250.200.150.100.050.00ruBouD0uP1/3uD1t =3012354uBouD0uP1/3uD1t =10024r68104πr2 u(r,t)4πr2 u(r,t)Рисунок 2.1.

Диффузионное (0 ), 1/3 и 1 приближения в сравнении с решением линейногоуравнения Больцмана (см. текст), = ||. Источник точечный и мгновенный, то есть = 0 и = 0.uBot =115uD010uP1/3uD1505100.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0864202uBouD0uP1/3uD10.350.300.250.200.150.100.050.000.80.60.40.20.0t =40123r456uBouD0uP1/3uD1t =20123t =54uBouD0uP1/3uD10 1 2 3 4 5 6 7r2.52.01.51.00.50.00.51.00.250.200.150.100.050.00uBouD0uP1/3uD1t =3012354uBouD0uP1/3uD1t =10024r6810Рисунок 2.2. Диффузионное, 1/3 и 1 приближения в сравнении с решением линейногоуравнения Больцмана. Параметры источника: = 0.05, = 0.1.4πr2 u(r,t)4πr2 u(r,t)468uBot =1uD06uP1/34uD12020.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.40.30.20.10.0uBouD0uP1/3uD1t =40123r45600.350.300.250.200.150.100.050.00uBouD0uP1/3uD1t =232101234uBouD0uP1/3uD1t =50 1 2 3 4 5 6 71.41.21.00.80.60.40.20.00.250.200.150.100.050.00ruBouD0uP1/3uD1t =3012354uBouD0uP1/3uD1t =100246r8104πr2 u(r,t)4πr2 u(r,t)Рисунок 2.3.

Диффузионное, 1/3 и 1 приближения в сравнении с решением линейногоуравнения Больцмана. Параметры источника: = 0.1, = 0.uBot =16uD0uP1/34uD12020.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.40.30.20.10.0uBouD0uP1/3uD1t =40123r4563.02.52.01.51.00.50.00.50.350.300.250.200.150.100.050.00uBouD0uP1/3uD1t =20123t =54uBouD0uP1/3uD10 1 2 3 4 5 6 7r1.21.00.80.60.40.20.00.250.200.150.100.050.00uBouD0uP1/3uD1t =3012354uBouD0uP1/3uD1t =10024r6810Рисунок 2.4. Диффузионное, 1/3 и 1 приближения в сравнении с решением линейногоуравнения Больцмана.

Параметры источника: = 0.1, = 0.1.4πr2 u(r,t)4πr2 u(r,t)47uBo5t =1uD04uP1/33uD121010.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.40.30.20.10.0uBouD0uP1/3uD1t =40123r4562.52.01.51.00.50.000.350.300.250.200.150.100.050.00uBouD0uP1/3uD1t =21234uBouD0uP1/3uD1t =50 1 2 3 4 5 6 71.00.80.60.40.20.00.250.200.150.100.050.00ruBouD0uP1/3uD1t =3012354uBouD0uP1/3uD1t =100246r810Рисунок 2.5. Диффузионное, 1/3 и 1 приближения в сравнении с решением линейногоуравнения Больцмана.

Параметры источника: = 0.1, = 0.2.4πr2 u(r,t)2.0uBouD0uP1/3uD1t =11.51.00.54πr2 u(r,t)0.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.40.30.20.10.0uBouD0uP1/3uD1t =40123r4561.00.80.60.40.20.00.350.300.250.200.150.100.050.00uBouD0uP1/3uD1t =20123t =54uBouD0uP1/3uD10 1 2 3 4 5 6 7r0.50.40.30.20.10.00.250.200.150.100.050.00uBouD0uP1/3uD1t =3012354uBouD0uP1/3uD1t =10024r6810Рисунок 2.6. Диффузионное, 1/3 и 1 приближения в сравнении с решением линейногоуравнения Больцмана. Параметры источника: = 0.2, = 0.4.482.3.2Локальное начальное распределение, источник отсутствуетПусть в задаче (2.30), (2.31) источник отсутствует и начальный поток равен нулю,то есть = 0 и 0 = 0, соответственно.

В этом случае задача принимает вид уравненияΔ 2− 1− (1 + 2′ ) Δ + = 0,+ (1 + )2 ∈ R3 , > 0,(2.45)с начальными условиями|=0 = 0 (),⃒ ⃒⃒= −0 (). ⃒=0(2.46)Пусть начальное распределение плотности частиц гауссово, то есть0 () = (),(2.47)где задается формулой (2.36).Решение задачи (2.45)–(2.47) совпадает с решением (2.42) задачи (2.34), (2.37), вкоторой = 0, то есть источник мгновенный.Рисунки 2.1 и 2.3 демонстрируют решения задачи Коши (2.45)–(2.47) с безразмерными параметрами = 1 (скорость), = 0 (коэффициент поглощения) и s = 1(коэффициент рассеяния), рассеяние изотропно.2.4РезюмеВ рассмотренной задаче Коши 1 приближение к линейному уравнению Больцмана сравнивалось с диффузионным, 1 и 1/3 приближениями. При малых временах 1решения не аппроксимируют решения уравнения Больцмана, но то же самое справедливо и для диффузионного приближения. Однако при бо́льших временах 1 приближениезначительно лучше, чем диффузионное.

В отличие от 1 и 1/3 решений, которые демонстрируют очевидное нефизичное поведение, 1 решения обнаруживают фактически«неотрицательное» поведение. Кроме того, 1 приближение значительно лучше, чем 1и 1/3 решения при всех временах.Таким образом, 1 приближение может быть предложено в качестве уточнениядиффузионного приближения к линейному уравнению Больцмана.492.A2.A.1ПриложениеВывод решения задачи Коши (2.34), (2.37)Решение задачи получено в статье [244].Рассмотрим уравнение в трехмерном пространствеΔ 2− 1− (1 + 2′ ) Δ + = + − 1 Δ,+ (1 + )2 ∈ R3 , > 0, (2.48)с источником (, ) = ()[0,] (),где⎧1⎪⎨ , 0 < 6 ,[0,] () = ⎪⎩0, > .Заметим, что начальный момент времени равен = 0, источник равен нулю при > .Начальные условия для уравнения (2.48) нулевые, то есть|=0 = 0,⃒ ⃒⃒= 0.

⃒=0(2.49)Замена в задаче (2.48), (2.49) на + приведет к задаче (2.34), (2.37).Преобразование Фурье задачи (2.48), (2.49) дает(︀)︀]︀ ℱ [︀]︀ 2 ℱ [︀+ 1 + 1 ||2 + + (1 + 2′ ) ||2 + ℱ2[︀(︀)︀]︀= ℱ 1 + 1 ||2 [0,] () + ′[0,] () ,ℱ|=0 = 0,где⃒ℱ ⃒⃒= 0, ⃒=02 ||2 /2ℱ ≡ ℱ () = e−.

∈ R3 , > 0, (2.50)(2.51)50Преобразование Лапласа задачи (2.50), (2.51) дает1 + ( + 1 ||2 )ℱℒ(, ) = ℱ ℒ[0,] ( − 1 )( − 2 ))︂(︂(︂)︂ℱ ℒ[0,] 1112+ + 1 ||−≡1 − 2 − 1 − 2(︂)︂ℱ ℒ[0,] 1 + 2 + ≡,−1 − 2 − 2 − 1гдеℒ(·, ) =∫︁∞(·, ) e− d0— преобразование Лапласа, и 1,2 характеристические значения (2.39). Выполняя обратное преобразование Лапласа, получим[︃]︃−2 −1 eeℱ1−1−ℱ(, ) =(1 + ) e2 − (2 + ) e1 ,1 − 22 1 Замена в правой части на + дает формулу (2.38).

> .Глава 3Методы численного решения задачпереноса излучения в областях сзеркальными границамиВ разделе 3.1 построены квадратурные схемы, названные PQLA (Piecewise QuasiLinear Angular, кусочно-квазилинейные угловые), = 1, 2, . . . , которые используюткусочно-квазилинейную интерполяцию на единичной сфере. Такие схемы дают квадратурные формулы на сфере для вычисления интеграла рассеяния и объемной плотностиэнергии излучения, и квадратурные формулы на полусферах для вычисления потокаизлучения на границах. Благодаря аналитическому представлению угловой зависимости, формулировка граничных условий в случае зеркального отражения и преломленияна границе в рамках метода дискретных ординат становится простой. Кроме того, аналитическое представление угловой зависимости интенсивности излучения может бытьиспользовано, если, например, требуется вычислять поток излучения в некотором пространственном угле.В последующих разделах этой главы предложены численные схемы решения осесимметричных задач радиационного теплопереноса в областях с (внешними) непрозрачными зеркальными границами и/или (внешними или внутренними) прозрачнымизеркальными границами, разделяющими среды с отличающимися показателями преломления.

Описанные схемы основаны на методе характеристик.В разделе 3.2 представлено уравнение переноса в осесимметричном случае и выведены различные граничные условия для него (для непрозрачных и прозрачных, дифузных и зеркальных границ). При этом и уравнение переноса, и граничные условиязаписаны не в цилиндрических, а в декартовых координатах, в которых характеристикиуравнения переноса — прямые линии.В разделе 3.3 описана упрощенная численная схема решения задач переноса излу5152чения. В этой схеме цилиндрические и конические грани ячеек, на которые разбиваетсяпространственная область, заменяются на плоские. В противном случае характеристикамогла бы пересекать одну и ту же неплоскую грань ячейки дважды.

Такое «разбиение»пространственной области упрощает применение метода характеристик, обеспечиваяпри этом достаточную во многих случаях точность численных решений.Численная схема, описанная в разделе 3.4, отличается от упрощенной тем, чтов ней пространственные ячейки остаются без изменений.