Диссертация (Линейное уравнение Больцмана приближение, методы численного решения прямых задач и задач оптимизации, обобщение), страница 7

В работе [259] изучалась задача оптимизации формы системы радиационноготеплопереноса с радиационно-взаимодействующей средой и диффузными поверхностями. Оптимизируемая поверхность задавалась несколькими параметрами при помощикубической интерполяции. Для решения прямой задачи использовался прямой бессеточный метод коллокации, это позволило избежать перестроения вычислительной сетки в26процессе решения.

Аналитическое представление целевой функции отстутствовало, поэтому ее градиент аппроксимировался при помощи конечных разностей. Для решениязадачи минимизации был использован метод сопряженных градиентов. В работе [108]рассматривалась задача геометрической оптимизации системы радиационного теплопереноса с радиационно-прозрачной средой и диффузными поверхностями. Оптимизируемая поверхность представлялась B-сплайнами.

Для решения задачи минимизации былиспользован метод стаи (или роя) частиц (particle swarm optimization) — метод глобальной минимизации. В работе [260] рассматривалась оптимизация формы областив задаче кондуктивно-радиационного теплопереноса. Метод решения был аналогиченподходу этих же авторов в работе [259].Целевые функционалы, соответствующие сложным системам, имеют обычно много локальных минимумов, требуется же найти глобальный минимум. Кажется естественным использовать в задачах минимизации таких функционалов методы поискаглобального поиска, такие как численный отжиг, генетические алгоритмы, и многиедругие. Например, в статье [120] были использованы генетические алгоритмы для оптимизации процесса роста кристаллов.

Однако методы глобальной оптимизации требуют очень много вычислений целевого функционала, порядка многих тысяч (см., например, статью [213]), в то время как одно вычисление целевого функционала можеттребовать значительного времени (иногда очень много времени). Поэтому в таких задачах число вычислений целевого функционала может стать запретительно большим.Как следствие, использование методов поиска глобального минимума в реальных, а неупрощенных модельных задачах, может стать невозможным.Методы локальной минимизации значительно эффективнее «глобальных» методов в окрестности локального минимума, но их использование для поиска глобальногоминимума в общем случае проблематично.

Одним из выходов может служить опыт иинтуиция проектировщика, когда (и если) он может указать проектные параметры ,близкие к оптимальным. Заметим также, что в отличие от обычных обратных задачв задачах оптимального проектирования глобальный минимум не всегда обязательнонужен. Некоторый оптимум (соответствующий локальному минимуму), удовлетворяющий техническому заданию, также может быть приемлем.Наиболее эффективные методы локальной минимизации используют градиент минимизируемой функции. Но здесь возникает следующая проблема.

В геометрическихзадачах оптимизации подлежат поверхности, а не функции. Как определить градиент(целевого) функционала, зависящего от формы поверхности? В отличие от функциймножество поверхностей не имеет никакой естественной структуры линейного векторного пространства, поскольку поверхности нельзя складывать как вектора, и, поэтому,обычное определение градиента не может быть использовано. Тем не менее оказывается, что градиент такого функционала может быть определен в рамках вариационного27исчисления поверхностей (shape sensitivity analysis) [254] как обобщение понятия производной по направлению (см. также [132]).

Применение вариационного исчисленияповерхностей (shape sensitivity analysis) к различным обратным задачам восстановления (реконструкции) формы области и задачам оптимизации формы области можнонайти, например, в [58, 77, 100, 132, 135, 147, 254].В задачах оптимизации формы, не являющихся тривиальными, явное аналитическое представление градиента целевой функции отсутствует. Градиент может бытьаппроксимирован при помощи конечных разностей, см. [202], однако это требует многократных вычислений целевой функции, что в сложных задачах приводит к очень большим временным затратам, см., например, статью [93].

Поэтому такой путь крайне неэффективен. Другой путь вычисления градиента — автоматическое дифференцирование,однако и этот способ имеет существенные ограничения, см. [202]. Более эффективныйспособ вычисления градиента целевого функционала — метод сопряженной задачи, см.[1, 2, 184], в котором градиент вычисляется в результате решения прямой и сопряженнойзадач. Затраты на решение сопряженной задачи не больше таковых для прямой задачи,то есть метод сопряженной задачи позволяет вычислить градиент целевого функционала не более, чем за два вычисления целевого функционала. Если же учесть, что обычнозначение целевого функционала в точке все равно требуется, то оказывается, что егоградиент в этой точке вычисляется в результате решения сопряженной задачи.Поскольку методы локальной минимизации гораздо эффективнее вблизи локальных минимумов, представляется естественным комбинировать глобальные и локальныеметоды [268].

Эффективность такого подхода была подтверждена в статье [222], в которой наилучшие результаты были получены комбинированными методами, сочетающими методы глобального поиска и локальные методы минимизации.1.4Неклассический переносКлассическая кинетическая модель переноса частиц описывается линейным уравнением Больцмана [51, 101]+ · ∇ + = + ,(1.6)где (, , ) — плотность частиц в фазовом пространстве, — пространственные пременные, — время, — вектор скорости, = || — абсолютная величина скорости, ≡ (, , ) =∫︁V(, , ′ ) ′ s (, ′ )(, , ′ ) d ′28— интеграл рассеяния (столкновений), ≡ (, ) — коэффициент ослабления, s ≡s (, ) — коэффициент рассеяния, — ядро рассеяния, ≡ (, , ) — плотностьисточников частиц.Если рассеяние и источники отсутствуют, то есть s = 0 и = 0, и среда однородна, то есть = const, решение уравнения (1.6) имеет вид(, , ) = e− ( − , 0 , ),(1.7)где = ( − 0 ) — свободный пробег частицы, = / — направление движения.

Формула (1.7) означает, что длина свободного пробега частицы имеет экспоненциальноераспределение, или, что равносильно, последовательность столкновений представляет из себя пуассоновский случайный процесс [47, 48, 225]. Это очень ограничительноепредположение, и во многих случаях оно нарушается, см. [46, 65, 94, 95, 163, 164]. Вчастности, наблюдаются распределения со степенной асимптотикой в бесконечности.Кинетические модели, основанные на линейном уравнении Больцмана, широко используются также для описания различных процессов переноса (движения) в биологии[61–63, 70, 71, 103, 205–207, 277]. В таких моделях обычно делается предположение обэкспоненциальном распределении длины свободного пробега частиц, молекул или особей, но это скорее исключение, чем правило.

Действительно, экспоненциальное распределение длины свободного пробега применимо только в «разреженных» средах, когдапрепятствия (рассеиватели) некоррелированы в пространстве. Однако многие биологические среды (очень) плотны, и препятствия в них не могут рассматриваться какнекоррелированные. В таких случаях предположение об экспоненциальном распределении может не выполняться.

Распределения длины свободного пробега могут бытьнеэкспоненциальны и по другим причинам. Примеры неэкспоненциальных распределений при движении животных даны в [68, 210, 270].Частный случай движения биологических объектов — внутриклеточный транспорт грузов (органелл, везикул, и др.) по сети микротрубочек и актиновых нитей (по цитоскелету) [224].

В процессе перемещения грузов активное перемещение по цитоскелетучередуется с пасивной диффузией в цитоплазме. В то же время цитоскелет не статичен,а очень динамичен. Поэтому кинетические модели представляются вполне естественным способом мезоскопического описания внутриклеточного транспорта. Насколько известно автору все до сих пор использовавшиеся кинетические модели внутриклеточноготранспорта предполагают экспоненциальное распределение длины свободного пробега[70, 71, 98, 253, 258].

Однако клеточная цитоплазма чрезвычайно плотно заполнена,и, следовательно, препятствия не могут рассматриваться как некоррелированные. Поэтому предположение об экспоненциальном распределении длины свободного пробегасомнительно, см., например, [59].29Экспоненциальное (показательное) распределение это единственное непрерывноераспределение, которое обладает свойством «отсутствия последействия» (точнее «отсутствия памяти», memoryless) [48, 225]. Напомним, что случайная величина обладаетсвойством «отсутствия последействия» (memoryless), если выполняется равенство { > ′ + | > ′ } = { > },где , ′ — произвольные.

Иным словами (в рассматриваемой интерпретации) каким быни был (уже) свободный пробег частицы ′ , распределение оставшегося свободного пробега не зависит от ′ , и оно такое же, как если бы частица только начинала свободныйпробег.Таким образом, в случае неэкспоненциального распределения длины свободногопробега движение частиц не может быть описано плотностью, зависящей только отпеременных , и . Необходимо введение дополнительной переменной — длины свободного пробега.Модель переноса, в которой распределение длины свободного пробега частиц произвольно, была предложена в статье [55]. В ней были также получены интегро-дифференциальное уравнение в частных производных и диффузионное приближение к немув предположении, что распределение длины свободного пробега асимптотически экспоненциально. Аналогичная модель в рамках модели случайных блужданий с непрерывным временем была предложена в статье [271], см.

также [191].Глава 21 приближение к линейномууравнению БольцманаВ разделе 2.1 описаны модели диффузии, причем вывод соответствующих уравнений никак не связан с линейным уравнением Больцмана. Эти модели представленыдля полноты картины, чтобы сравнивать с ними приближения к линейному уравнениюБольцмана.В разделе 2.2 описываются приближения к линейному уравнению Больцмана врамках метода сферических функций. В частности, выводится уравнение, описывающее1 приближение.В разделе 2.3 рассматривается задача Коши для 1 уравнения в трехмерном пространстве.

Рассматриваются два случая: задача для локализованного источника малойпродолжительности с однородными граничными условиями, и задача для однородного уравнения с локализованным начальным распределением. Рассматриваются именноэти задачи, поскольку подобные задачи для телеграфного уравнения выявили нефизичность его решений [162, 212]. (Авторы статьи [212] утверждают, что решение задачив трехмерном пространстве неотрицательно, однако изучение аналитической формулы,дающей решение, показывает, что это не так.) Отрицательность решений этих задач внаибольшей степени проявляются именно в трехмерном пространстве.