Диссертация (Линейное уравнение Больцмана приближение, методы численного решения прямых задач и задач оптимизации, обобщение), страница 9

Врезультате, вследствие ортогональности сферических функций получается бесконечнаясистема уравнений в частных производных для функций (коэффициентов) . Этусистему называют моментной системой, поскольку функции это моменты плотности при разложении ее по сферическим функциям.Первым уравнением моментной системы является уравнение непрерывности дляплотности частиц, которое быть выведено непосредственно из уравнения Больцмана.Действительно, интегрируя уравнение Больцмана по единичной сфере с учетом условия37нормировки (2.13), получим уравнение+ div + = ,(2.19)где = — коэффициент поглощения в уравнении непрерывности.Заметим, что уравнение (2.19) совпадает с уравнением непрерывности (2.1) при = − .Второе (векторное) уравнение моментной системы получается в результате интегрирования по единичной сфере линейного уравнения Больцмана, умноженного на.

Второе уравнение связывает градиент плотности частиц ∇, поток , его частнуюпроизводную по времени / и коэффициенты 2 .2.2.2Диффузионное приближениеКлассическое диффузионное приближение получается, если коэффициенты , > 2, в разложении (2.14) считать пренебрежимо малыми, а коэффициенты 1 —квазистационарными. Последнее эквивалентно квазистационарности потока , когдачастная производная потока по времени / пренебрежимо мала по сравнению ссамим потоком . Отбрасывая во втором уравнении бесконечной системы пренебрежимо малые слагаемые (коэффициенты 2 и производную /), получим соотношениемежду плотностью частиц и потоком( + 1 ) +∇ = 03(2.20)где = s (1 − ) , = 1, 2, . . . ,(2.21)коэффициенты вычисляются по формуле (2.18), > 0. Уравнение непрерывности(2.19) и соотношение (2.20) приводят к уравнению диффузии− Δ + = (2.22)для плотности частиц, где=1 .

+ 1 3Заметим, что соотношение (2.20) совпадает с законом Фика (2.2), а уравнение38диффузии (2.22) совпадает с уравнением диффузии (2.3) при = − .2.2.3 приближенияКлассические приближения получаются, если коэффициенты , > > 1,в разложении (2.14) считать пренебрежимо малыми. В частности в 1 приближенииплотность частиц и поток связаны соотношением (это второе уравнение бесконечнойсистемы с отброшенными пренебрежимо малыми коэффициентами 2 )1 + ( + 1 ) + ∇ = 0, 3(2.23)которое обобщает соотношение (2.20).

Уравнение непрерывности (2.19) и соотношение (2.23) приводят к телеграфному уравнению 2+ (1 + )− Δ + = + 2(2.24)для плотности частиц, где=1 1, + 1 =1 . + 1 3Отметим, что соотношение (2.23) совпадает с уравнением Каттанео (2.5), а телеграфное уравнение (2.24) — с телеграфным уравнением (2.7) при = − .2.2.41/3 приближение√В 1 приближении (2.24) скорость распространения частиц равна / 3, истинная же скорость частиц равна . То есть 1 приближение дает неверную скорость.Простая ad hoc модификация 1 приближения была предложена в статье [204]: «Оказывается, что добавление 1 уравнения с коэффициентом 1/3 к уравнению диффузиис коэффициентом 2/3 дает правильную скорость распространения». Если сложить соотношение (2.23), умноженное на 1/3, с соотношением (2.20), умноженным на 2/3, тополучится соотношение1 + ( + 1 ) + ∇ = 0,(2.25)3 339которое будем называть 1/3 соотношением. Уравнение непрерывности (2.19) и 1/3соотношение (2.25) приводят к телеграфному уравнению 2 (︁ )︁ −Δ+=++1+3 233 (2.26)которое называется 1/3 приближением.

Оказывается, что 1/3 приближение не толькодает правильную скорость распространения частиц, но во многих случаях оказываетсялучше, чем 1 приближение [196, 198, 204], см. также [203] (здесь речь идет о распространении частиц в трехмерном пространстве).2.2.5 приближенияВ работе [248] были предложены диффузионные поправки к приближениям— приближения, где > 1, при этом диффузионное приближение можно считать0 приближением. приближения получаются, если коэффициенты , > + 1,в разложении (2.14) считать пренебрежимо малыми, а коэффициенты +1 — квазистационарными, то есть +1 / ≈ 0.

Если принять такие предположения, то коэффициенты +1 могут быть выражены через , и, следовательно, приближениеописывается коэффициентами , = 0, . . . , .2.2.61 приближениеОтметим, что 1 обозначает приближение к линейному уравнению Больцмана, а1 обозначает коэффициент.Важно подчеркнуть, что ни выведенное ниже соотношение (2.27) между плотностью частиц и потоком, ни уравнение (2.28) для плотности частиц в статье [248] не быливыведены. Соотношение (2.27) и уравнение (2.28) впервые были получены в статье [239].При = 1 коэффициенты 2 выражаются через 1 , а значит и через поток (опускаем это выражение). Подставляя коэффициенты 2 , выраженные через поток , во второе уравнение бесконечной системы уравнений, после весьма громоздкихпреобразований получим, что в 1 приближении плотность частиц и поток связанысоотношением1 1+ ( + 1 ) + ∇ =(3Δ + ∇div ) , 315 ( + 2 )(2.27)которое обобщает соотношение (2.23). Уравнение непрерывности (2.19) и соотноше-40ние (2.27) приводят к уравнению[︂]︂1 24Δ4−− 1+ Δ + ( + 1 ) + (2 + 1 )2 15 ( + 2 ) 5 ( + 2 ) 341 −Δ.

(2.28)= ( + 1 ) + 15 ( + 2 )Соотношение (2.27), может быть записано в видегде= 1+ = − ∇ +(3Δ + ∇div ) ,41 1, + 1 ≡ 1 + 2 =1 , + 1 31 =(2.29)4,5( + 2 ) 3коэффициенты вычисляются по формуле (2.21). Уравнение (2.28) в этом случаепринимает вид 2Δ+ (1 + )− 1− ( + 1 ) Δ + = + − 1 Δ,2(2.30)которое будем называть 1 уравнением. Уравнение (2.28) также будем называть 1уравнением.Важно отметить, что соотношение (2.29) качественно отличается от закона Джеффриса (2.9). Поэтому и 1 уравнение (2.30) качественно отличается от уравнения типаДжеффриса (2.11) даже при = − наличием в правой части слагаемого с Δ .Тем не менее дифференциальный оператор в левой части 1 уравнения такой же каки в уравнении Джеффриса.Начальные условия для уравнения (2.30) имеют вид|=0 = 0 ,⃒ ⃒⃒= −0 − div 0 + 0 , ⃒=0(2.31)где 0 ≡ 0 () и 0 ≡ 0 () — распределения плотности частиц и потока, соответственно, в момент времени = 0, 0 ≡ 0 () = |=0 — распределение источников в начальный момент времени [второе условие получено из уравнения непрерывности (2.19)].При отсутствии источников и поглощения, то есть при = 0 и = = 0, уравнение (2.30) принимает вид 2 Δ+−− Δ = 0,12что совпадает с уравнением типа Джеффриса (2.11) при = 0.(2.32)41В стационарном режиме соотношение (2.29) принимает вид = − ∇ + 1(3Δ + ∇div ) ,4(2.33)что качественно отличается от закона Фика.

В то же время и уравнение Каттанео (2.5)и закон типа Джеффриса (2.9) в стационарном режиме совпадают с законом Фика.Отметим, что эта модель похожа на модель Гуйера, Крумхансла (Guyer and Krumhansl) в теории второго звука [127, 128, 152, 257]. Следует подчеркнуть, что соотношение (2.29) похоже на, но не совпадает с уравнением Гуйера, Крумхансла.

Причиназаключается в том, что Гуйер и Крумхансл рассматривали линеаризованное уравнениеБольцмана, а не линейное (разница объясняется в [51]).2.3Задача Коши для 1 уравнения в трехмерном пространствеЭтот раздел основан на результатах статьи [244].2.3.1Локальный источник малой продолжительностиРассмотрим 1 уравнение (2.30) в трехмерном пространствеΔ 2+ (1 + )− 1− (1 + 2′ ) Δ + = + − 1 Δ,2 ∈ R3 , > −, (2.34)где 2′ = 2 + 1 , ≡ (, ) = ()[−,0] ()(2.35)— гауссов источник конечной длительности, то есть(︂)︂||2 () ≡ (︀√)︀3 exp − 2221и⎧1⎪⎨ , − < 6 0,[−,0] () = ⎪⎩0, > 0.(2.36)42Заметим, что начальный момент времени равен = −, источник равен нулю при > 0и нормирован на единицу.

Наложим нулевые начальные условия⃒ ⃒⃒= 0. ⃒=−|=− = 0,(2.37)Задача (2.34), (2.37) качественно отличается от аналогичной задачи для уравнения типа Джеффриса, рассмотренной в [240], где были получены нефизичные решения(с отрицательными значениями): отличие вызвано, как уже было отмечено выше, наличием в правой части уравнения (2.34) слагаемого с Δ , которого нет в уравнении типаДжеффриса.Решение задачи (2.34), (2.37) имеет вид (см.

вывод в разделе 2.A.1)1(, ) =(2)3∫︁R3ℱ(, ) e−i d,ℱ(, ·) =∫︁R3(, ·) ei dгде— преобразование Фурье, и для положительных [︃]︃2 1 ee−1−1ℱ(1 + ) e2 − (2 + ) e1 ,ℱ(, ) =1 − 22 1 ℱ ≡ ℱ () = e−2 ||2 /2 > 0,(2.38),и1,21≡ 1,2 () =2{︂[︀(︀)︀]︀ √︁2− 1 + 1 || + ± [1 − (1 ||2 + )]2 − 4 2′ ||2}︂(2.39)— характеристические значения (знак + перед квадратным корнем соответствует 1 ).Асимптотическое поведение характеристических значений имеет вид(︂)︂11 (2 − ) 1+1 () = − 2 +1||2||4при → ∞,(2.40a)(︂)︂1 (2 − ) 112 () = − 1 || − 1 − −+при → ∞,1||2||4(2.40b)2где1 2′1 = −, 112 =(︂)︂2′1+.1(2.41)Следовательно, асимптотическое поведение преобразования Фурье решения при → ∞43имеет видℱ(, ) ==e−2 [︂(︂(︂)︂)︂]︂)︂ }︂{︂(︂e−2 112 − 11 + 1 +1−ℰ ℱ 1 ++12ℰ||2||4при → ∞,гдеℰ ≡ ℰ(2 , ) =1 − e−2 .2 Это означает, что решение исходной задачи представляется в виде(, ) = i (, ) + m (, ),(2.42)i (, ) = e−2 ℰ ()(2.43)где— плотность неподвижных частиц,1 (, ) =(2)3m∫︁R3ℱm (, ) e−i d— плотность движущихся частиц, гдеmℱ (, ) = e−2 ℰ ℱ{︂)︂)︂]︂(︂[︂(︂(︂)︂ }︂e−2 2 − 111+1 + 1 +1−12ℰ||2||4при → ∞.

(2.44)Наличие слагаемого (2.43) означает, что часть частиц неподвижна, но их доля экспоненциально убывает со временем.При = 0 (точечный источник) слагаемое m может принимать отрицательныезначения в окрестности начала координат = 0. Действительно, вследствие сферической симметрии решение может быть представлено в виде1(, ) = 22 ||∫︁∞0 ℱ(, ) sin(||) d,где ℱ(, ) ≡ ℱ(, ), = ||. Такое же представление имеет место и для плотностидвижущихся частиц m . В результате, при = 0 получим, что1 (0, ) = 22m∫︁0∞2 ℱm (, ) d.44Учитывая асимптотическое поведение (2.44) собственных значений, можно заключить,что m (0, ) равно +∞, −∞ или ограничено в зависимости от того, является ли (2 −){1 + 1 [ + (1 − e−2 /ℰ)/2 ]} положительным, отрицательным или равным нулю.

Следовательно, при < 2 имеемm (0, ) = +∞при 0 < < *и = 0,m (0, ) ограничено при = *и = 0,при * < и = 0,m (0, ) = −∞где критическое время задается выражением11 =− +1 2*(︂)︂2 −1 ,e2 −1оно равно * = −1/1 при = 0. Критическое время убывает с возрастанием , но всегдаположительно.Сравним приближения к уравнению Больцмана с решением задачи Коши для негос источником (2.35). Рассматривается изотропное рассеяние, поскольку диффузионноеприближение используется в сильнорассеивающих средах. Рисунки 2.1–2.6 демонстрируют решения задачи Коши (2.34), (2.37) для 1 уравнения с безразмерными параметрами = 1 (скорость), = 0 (коэффициент поглощения) и s = 1 (коэффициентрассеяния).