Диссертация (Линейное уравнение Больцмана приближение, методы численного решения прямых задач и задач оптимизации, обобщение), страница 5

Эти квадратуры сравнимы по точности с квадратурами, однако они неинвариантны относительно группы вращений октаэдра. В статье [179] были предложены (Spherical surface Symmetrical equal Dividing) квадратуры с равными весамиво всех направлениях.

Количество «дискретных» направлений ограничено числом 96.Простые квадратуры на сфере были предложены в [195].18Точность различных квадратур сравнивалась в статьях [144, 159].Имеющиеся квадратурные формулы на сфере не позволяют в рамках метода дискретных ординат формулировать граничные условия в случае зеркального отраженияи преломления на границе. Действительно, направление отраженного от зеркальнойграницы или преломленного на ней луча не принадлежит, вообще говоря, заданномудискретному множеству направлений.

При этом имеющиеся квадратуры на сфере непредполагают аналитического представления интегрируемой функции. Следовательноинтенсивность излучения в направлении зеркально отраженного или преломленноголуча, в общем случае не определена. Поэтому требуется та или иная интерполяция дляфункций, заданных на сфере, что является нетривиальной задачей. Задача усложняетсяследующим обстоятельством. Если угол между «отраженным» направлением и отражающей плоскостью достаточно мал, то интенсивность излучения в этом направлениине может быть найдена интерполяцией, поскольку ближайшие «дискретные» направления лежат по другую сторону этой плоскости, а интенсивность излучения терпитразрыв по угловым переменным на этой плоскости.

Следовательно для таких направлений требуется уже не интерполяция, а экстраполяция. Это же справедливо и дляпреломленных лучей. Еще одна сложность связана с особенностью коэффициента зеркального отражения, который фактически является разрывной функцией угла паденияв окрестности критического угла полного внутреннего отражения. При этом коэффициент зеркального отражения может существенно изменяться в очень узком интервале.Поэтому в задачах переноса теплового излучения с прозрачными зеркальными границами раздела сред интенсивность излучения как функция угловых переменных также практически разрывна даже тогда, когда граничные значения являются гладкимифункциями, отсутствуют сосредоточенные источники излучения, и область пространственных переменных выпукла.

Это приводит к тому, что при численном решении такихзадач методом дискретных ординат с использованием обычных квадратур требуетсяочень много «дискретных» направлений. Но в таком случае размер «дискретных» задач чрезвычайно возрастает, если сравнивать их с аналогичными задачами, в которыхграницы диффузны. Если же количество «дискретных» направлений недостаточно, точисленное решение может качественно отличаться от точного.В [256] были построены квадратуры, основанные на лагранжевой интерполяциина сфере. Очевидно, что использование таких квадратур в задачах переноса излучения с граничными условиями проблематично, поскольку эти квадратуры используютвсе узловые точки. Совсем недавно квадратуры, также основанные на лагранжевойинтерполяции, были предложены в [54].Следует отметить, что задачи переноса излучения с зеркальными границами ипрозрачными зеркальными границами раздела сред ранее решались, см.

статьи [180,275, 276, 280], а также статьи [166, 175, 176], где рассматривались задачи совместного19кондуктивно-радиационного теплопереноса. Однако в этих работах рассматривалисьпространственные области очень простой формы.Таким образом, чтобы решать задачи переноса излучения с зеркальными границами, нужны квадратурные формулы, которые одновременно предоставляли бы возможности для интерполяции и экстраполяции на сфере.1.3Оптимальное проектирование в задачах переносаизлученияПеренос тепла излучением играет существенную — а часто и решающую — рольв высокотемпературных устройствах и системах, таких как высокотемпературные камеры и печи для обработки и изготовления различных материалов, инфракрасные нагреватели и отражатели, солнечные коллекторы.

Радиационный теплоперенос в такихсистемах значительно усложняет общий тепло- и массоперенос. Такие устройства и системы до сих пор нередко проектируются методом проб и ошибок, при этом существенноиспользуются инженерная интуиция и опыт, накопленный при проектировании аналогичных устройств.

Понятно, что такой способ проектирования требует чрезвычайнобольшого времени. Действительно, сложные системы описываются математическимимоделями, представленными системами уравнений в частных производных, описывающих различные виды тепло- и массопереноса, и решаемыми в сложных многомерныхобластях. Соответствующие прямые задачи (заключающиеся в математическом моделировании поведения системы) не могут быть решены аналитически, и должны решатьсячисленно. Для такого численного моделирования требуются большие вычислительныересурсы.

Поэтому проектирование ограничивается небольшим числом вариантов параметров и конфигураций. В результате, найденные таким способом параметры и конфигурация установки могут значительно отличаться от оптимальных. Таким образом,метод проб и ошибок это крайне неэффективный подход к решению задач оптимальногопроектирования.Хорошим примером сложных высокотемпературных устройств являются установки для роста оксидных кристаллов методом Чохральского [66]. Рост таких кристалловэто сложный процесс, включающий в себя теплопроводность, конвекцию и радиационный теплоперенос (перенос тепла излучением). Оксидные кристаллы полупрозрачныдля теплового (инфракрасного) излучения, и оно вносит весьма существенный, если нерешающий, вклад в общий тепло- и массоперенос [74, 75, 281].

Статья [10] описываетнекоторые сложности, которые встречаются при решении задач оптимизации установокдля роста полупрозрачных кристаллов.20Задача оптимизации может быть представлена как обратная задача() = ,(1.4)где оператор (оператор прямой задачи) символизирует прямую задачу, — оптимизируемые параметры (или параметры проектирования) — параметры (в широком смысле,то есть величины или функции), определяющие состояние (или поведение) системы, — заданные параметры (или проектные параметры) — параметры (в широком смысле),характеризующие состояние (или поведение) системы.

Уравнение (1.4) означает, что«значения» проектных параметров находятся в результате решения прямой задачипри фиксированных «значениях» оптимизируемых параметров . В задаче оптимизации (в обратной задаче) требуется найти «значения» оптимизируемых параметров ,которые позволяют получить заданные «значения» параметров . Проектным параметром здесь может быть распределение плотности теплового потока на некоторой(например, нагреваемой) поверхности или на фронте кристаллизации. Оптимизируемым параметром может быть, например, распределение температуры на поверхностинагревателя или теплового потока на ней или мощности нагревателей. Задачи, в которых надо найти граничные значения на какой-либо поверхности, называем «краевыми».Искомым «параметром» может быть также форма (геометрия) установки. Задачи, вкоторых надо найти оптимальную форму установки называем «геометрическими».

Существует и «смешанные» задачи, в которых требуется оптимизировать как граничныезначения в прямой задаче, так и форму (геометрию) установки, но здесь рассматриваются только «краевые» и «геометрические» задачи.Основная проблема, на которую наталкивается решение задачи (1.4), заключаетсяв ее математической некорректности [41], которая здесь присуща самой задаче оптимизации. Напомним, что математическая задача называется корректной, если ее решениесуществует (условие существования), единственно (условие единственности) и непрерывно зависит от (исходных) данных (условие устойчивости) [20]. Если хотя бы одно изэтих условий не выполнено, математическая задача называется некорректной. Cогласнотеореме Банаха об обратном операторе [17, 26] при выполнении условия единственности условия существования и устойчивости не являются независимыми: если условиесуществования выполнено, то выполнено и условие устойчивости, а если не выполненоусловие устойчивости, то не выполнено и условие существования.

В рассматриваемыхзадачах решение неустойчиво относительно возмущений в данных (то есть оченьмаленькие изменения в данных могут привести к очень большим изменениям в решении ). Мы можем поставить обратную задачу (1.4) как задачу минимизации: найти21решение , которое минимизирует функционал невязки , то есть решить задачу() = ‖() − ‖2 → min,(1.5)где ‖ · ‖ обозначает норму в заданном функциональном пространстве. Однако задачаминимизации (1.5), так же как и исходная обратная задача (1.4), некорректна. Длярешения обеих задач требуются устойчивые методы (методы регуляризации) [41, 43].Еще одна существенная особенность состоит в том, что оператор может находиться в результате решения задачи теплообмена, включающего в себя как переностепла излучением, так и кондуктивный теплоперенос (теплопроводность), а также конвекцию) в области достаточно сложной формы.

Поэтому в общем случае оператор неможет быть представлен в аналитическом виде, а может быть найден только численно,что требует, вообще говоря, весьма существенных затрат времени.Методы решения некорректных задач (методы регуляризации) разработаны оченьхорошо и описаны во многих монографиях, см., например, [1–3, 14, 41, 43, 44, 60, 102,125, 130, 131, 146, 158, 208, 219, 272]. Однако в литературе сравнительно слабо затронутвопрос реализации методов регуляризации в случаях, когда оператор прямой задачи неможет быть представлен в аналитическом виде.

Исключения — монографии [1, 2] и —лишь отчасти — учебник [208].1.3.1Оптимизация граничных значенийЗадача оптимизации граничных значений на нагревателе в простой двухмернойгеометрии (для системы двух бесконечно длинных параллельных полос) рассматривались в работе [36]. Для решения некорректной задачи использовался метод регуляризации Тихонова. Важной особенностью использованного подхода был выбор регуляризатора (стабилизирующего функционала).

В качестве такового была использована энергия собственного излучения поверхности нагревателя. Такой способ решения позволилнайти решение, соответствующее минимальной излучаемой нагревателем энергии.В монографиях [1, 2] для решения некорректных обратных задач теплопроводности регуляризованной градиентной минимизацией функционала невязки был использован метод сопряженной задачи, см.