Диссертация (Линейное уравнение Больцмана приближение, методы численного решения прямых задач и задач оптимизации, обобщение), страница 8

Решение задачис произвольными источником и начальным распределением получаются линейной суперпозицией решений рассмотренных задач. Решения одно- и двухмерных задач могутбыть получены из трехмерных методом спуска. Задача для однородного 1 уравнения с локализованным начальным распределением в одномерном пространстве быларассмотрена в статье [239].30312.1Модели диффузииЭтот раздел основан на результатах статьи [239].Уравнение диффузии широко используется для описания неаномальной диффузии [64, 161] и броуновского движения [90, 187, 223].

Уравнение диффузии основано назаконе Фика, который фактически пренебрегает инерцией (массой) частиц вещества.Поэтому уравнение диффузии является адекватной моделью диффузии, описывающейее с высокой степенью точности, лишь в слабо неоднородных средах и/или для процессов, медленных по сравнению с характерным временем релаксации частиц вещества,иными словами, когда выполняется условие локального термодинамического равновесия. Если это условие не выполняется, уравнение диффузии может оказаться совершенно неадекватной моделью диффузии, описывающей ее неверно [221].Заметим, что в теории теплопроводности двойником закона Фика является законФурье [64, 115, 161].

Этот закон приводит к уравнению теплопроводности, математически эквивалентному уравнению диффузии. Причем сначала был предложен как раззакон Фурье, а закон Фика был постулирован позднее по аналогии с первым [64].Простейшая модификация закона Фика, учитывающая инерцию частиц — уравнение Каттанео [150, 151, 257], которое изначально было предложено как замена закону Фурье для более точного описания теплопроводности. Однако уравнение Каттанеоможно применить также и к диффузии. Такая модификация закона Фика приводит ктелеграфному уравнению (обобщающему уравнение диффузии), которое обеспечиваетконечную скорость распространения [28, 30, 150–152, 274].

Это телеграфное уравнениенесколько отличается от классического телеграфного уравнения (принципиально одномерного), предложенного лордом Кельвином для описания распространение электромагнитных волн в телеграфных линиях (в длинных волноводах) [19, 22, 45]. Однако потипу это такое же уравнение: волновое уравнение с затуханием, — поэтому телеграфноеуравнение, основанное на уравнении Каттанео, также принято называть телеграфным,хотя оно расматривается не только в одномерном, но также и в двух- и трехмерномпространстве.

Телеграфное уравнение было предложено как замена уравнению диффузии для описания диффузии и теплопроводности. Однако для телеграфного уравненияне выполняется принцип максимума, и, следовательно, оно не сохраняет неотрицательность решений [162, 212].Задолго до Каттанео Джеффрисом было предложено соотношение для реологического описания земной коры [148, 220], которое (соотношение) может рассматриваться как комбинация закона Фика и уравнения Каттанео. Будем называть это соотношение законом (соотношением) типа Джеффриса. Этот закон приводит к уравнениюв частных производных третьего порядка, называемому уравнением типа Джеффриса [150, 151], известное также как простейшее уравнение (приближение первого поряд-32ка) модели двухфазного запаздывания (dual-phase-lag model) в теории теплопроводности [257, 264, 265].

Модель, основанная на уравнении типа Джеффриса была использована для описания вязкоупругих жидкостей [150, 153, 215], дисперсии Тейлора [79, 153]и теплопроводности [39, 150–152, 181, 182, 257, 264, 265, 267, 284].2.1.1Уравнение диффузииМакроскопический закон сохранения вещества выражается уравнением непрерывности [200]+ div = ,(2.1)где ≡ (, ) — концентрация (или молекулярная плотность) частиц, = (1 , 2 , 3 )— координата, — время, ≡ (, ) — поток частиц, ≡ (, , ) — плотностьисточников или поглощения частиц.В простейшем приближении поток связан с концентрацией феноменологическимзаконом Фика [64, 161, 200] = − ∇,(2.2)где — коэффициент диффузии.Подстановка закона Фика в уравнение непрерывности дает уравнение диффузии− Δ = .(2.3)Уравнение диффузии необходимо дополнить начальным условием|=0 = 0 ,(2.4)где 0 ≡ 0 () — распределение концентрации частиц в момент времени = 0.Заметим, что уравнение диффузии является простейшим приближением к линейному уравнению Больцмана, см.

уравнение (2.22) ниже.2.1.2Телеграфное уравнениеВ модели диффузии, описываемой уравнением диффузии, скорость частиц бесконечна. Следовательно, уравнение диффузии нарушает физический принцип причинности, согласно которому скорость частиц не может превышать скорость света. Причинаэтого парадокса классической теории диффузии заключается в том, что закон Фикапренебрегает инерцией частиц, поскольку градиент концентрации вызывает поток ча-33стиц мгновенно, см. закон Фика (2.2). Уравнение Каттанео [150, 151, 257]+ = − ∇,(2.5)где — время релаксации, модифицирует закон Фика, учитывая инерцию частиц. Действительно, уравнение Каттанео может быть записано в эквивалентном интегральномвиде∫︁ −(−′ )/e =−∇(, ′ ) d′ + e−/ 0 ,(2.6) 0где 0 ≡ 0 () — начальное распределение потока.

Из уравнения (2.6) очевидно, чтоуравнение (2.5) на самом деле учитывает предысторию: поток в уравнении (2.6) зависит от градиента концентрации ∇ в предшествующие моменты времени, причемзависимость от прошлого ослабевает экспоненциально. Если устремить время релаксации в уравнении Каттанео к нулю, в пределе получится закон Фика.Уравнение непрерывности (2.1) и соотношение (2.6) приводят к интегро-дифференциальному уравнению −∫︁0′e−(− )/ Δ(, ′ ) d′ + e−/ div 0 = .Это уравнение вместе с начальным условием (2.4) эквивалентно телеграфному уравнению (или волновому уравнению с демпфированием (затуханием)) с реакцией [129, 190](︂)︂ 2 2 + 1−− Δ = + , (2.7)с начальными условиями|=0 = 0 ,⃒ ⃒⃒= − div 0 + 0 , ⃒=0(2.8)где 0 ≡ 0 (, 0 ) = |=0 — распределение источников в момент времени = 0.

При = 0 телеграфное уравнение (2.7) становится уравнением диффузии (2.3).Заметим, что телеграфное уравнение является 1 приближением к линейномууравнению Больцмана [101], см. уравнение (2.24) ниже.Телеграфное уравнение является гиперболическим, поэтому оно обеспечивает конечную скорость распространения. Оно было предложено в качестве замены уравнениям диффузии и теплопроводности [30, 150–152, 274]. Однако для телеграфного уравнения не выполняется принцип максимума (именно потому, что оно гиперболическое, ане параболическое).

Следовательно, оно не сохраняет неотрицательность начальных играничных условий и, поэтому, может давать нефизичные решения [57, 162, 212].342.1.3Уравнение типа ДжеффрисаСоотношение, комбинирующее закон Фика и уравнение Каттанео, имеет вид [150,151]где[︂]︂ ∇ ∇+ = − 1− ∇ ≡ − 2+ ∇ ,1 > 0,(2.9) ≡ 1 + 2 > 0, 1— еще одно (второе) время релаксации. Соотношение (2.9) может быть записано в эквивалентном интегро-дифференциальном виде2 = = −1 ∇ − 2∫︁0′e−(− )/ ∇(, ′ ) d′ + e−/ (1 ∇0 + 0 ) ,(2.10)где 0 ≡ 0 () и 0 ≡ 0 () — распределения концентрации и потока, соответственно,в момент времени = 0. Соотношения (2.9) и (2.10) называются законом типа Джеффриса в честь Х. Джеффриса, который предложил похожие соотношения для реологического описания земной коры [148, 220].

Закон Фика (2.2) и уравнение Каттанео (2.5)(или (2.6)) являются частными случаями закона типа Джеффриса. Действительно, если перейти в соотношениях (2.9) и (2.10) к пределу при → 0, получится закон Фикав котором = 1 + 2 . Если же положить в этих соотношениях 1 = 0, получитсяуравнение Каттанео.Уравнение непрерывности (2.1) и интегро-дифференциальный закон типа Джеффриса (2.10) приводят к интегро-дифференциальному уравнению− 1 Δ − 2∫︁0′e−(− )/ Δ(, ′ ) d′ + e−/ (1 Δ0 + div 0 ) = .Это уравнение вместе с начальным условием (2.4) эквивалентно уравнению в частныхпроизводных третьего порядка(︂)︂ 2 Δ 2 + 1−− 1− Δ = + (2.11)с начальными условиями (2.8).

Уравнение (2.11) называют уравнением типа Джеффриса [150]. Уравнение диффузии (2.3) и телеграфное уравнение (2.7) — это частныеслучаи уравнения (2.11) при = 0 и 1 = 0, соответственно.Уравнение (2.11) было использовано вместо уравнения диффузии для описаниякартины экспрессии gap-генов в эмбрионе плодовой мушки Drosophila melanogaster впериод его раннего развития [126]. В итоге было получено лучшее приближение к экс-35периментальным данным в сравнении с моделью, которая основывается на уравнениидиффузии.2.2Приближения к линейному уравнению Больцманав рамках метода сферических функцийЭтот раздел основан на результатах статьи [239].2.2.1Метод сферических функцийРассмотрим линейное уравнение Больцмана, оно называется также линейным транспортным уравнением или уравнением переноса излучения [51, 101, 196].

Это уравнениеописывает, например, перенос частиц (нейтронов), перенос теплового излучения (илирадиационный теплоперенос — перенос тепловой энергии электромагнитными волнами).Односкоростное (или моноэнергетическое) линейное уравнение Больцмана имеетвид∫︁1 11 ( · ′ )(, , ′ ) d ′ ++ · ∇ + ( + s ) = s,(2.12) 4S2где ≡ (, , ) — плотность частиц в фазовом пространстве, — пространственныепеременные, — время, ∈ S2 — направление движения частиц, S2 — единичная сферав R3 , — скорость частиц, — коэффициент поглощения, s — коэффициент рассеяния, — ядро рассеяния (или столкновений), удовлетворяющее условию∫︁S2( · ′ ) d = 1,(2.13) ≡ (, ) — изотропный источник частиц.Один из наиболее распространенных методов приближенного решения линейногоуравнения Больцмана — метод сферических функций [101, 196, 211].

В этом методефазовая плотность частиц представляется в виде ряда по сферическим функциям(, , ) =∞ ∑︁∑︁ (, ) (),=0 =−где — сферические функции [12, 45, 56], коэффициенты имеют вид (, )=∫︁S(, , ) () d,(2.14)36где черта сверху означает комплексное сопряжение.Заметим, что разложение (2.14) может быть выражено также через плотностьчастиц∫︁(, , ) d(2.15) (, , ) d.(2.16)(, ) =S2и поток частиц (, ) = ∫︁S2Действительно, заметим, что00 (, ) 00 ≡и1∑︁=−11(, ),41 (, ) 1 () ≡3 (, ) · ,4 2Тогда разложение (2.14) примет вид∞ ∑︁∑︁31 (, ) ().(, ) + (, ) · +(, , ) =44 2=2 =−Ядро рассеяния также раскладывается в ряд по сферическим функциям:( · ′ ) =∞∑︁=0где = 2∑︁ () ( ′ ),(2.17)=−∫︁1−1() () d,(2.18) — полиномы Лежандра, причем 0 = 1 из-за условия нормировки (2.13), что эквивалентно соотношению∫︁ 11() d =.2−1Разложения (2.14) и (2.17) подставляются в линейное уравнение Больцмана.