Диссертация (Линейное уравнение Больцмана приближение, методы численного решения прямых задач и задач оптимизации, обобщение), страница 4

Если набрана достаточно большая статистика (смоделировано большое количество траекторий), то метод позволяет получать решения с высокойстепенью статистической точности независимо от сложности задачи переноса излучения, что делает его универсальным средством для получения эталонных решений. Ностохастическая природа метода является и его недостатком, поскольку получение решений с высокой точностью требует больших вычислительных затрат. Это делает методнепригодным для решения задач, в которых перенос тепла излучением является лишьодним из видов тепло- и массопереноса.К детерминистическим методам относятся метод сферических функций ( приближение) [101, 143, 192, 196, 211, 269], метод дискретных ординат ( приближение) [50, 88, 143, 196, 269] и метод конечных объемов [85, 86, 88, 143, 196, 216], зональныйметод [143, 185, 196], метод дискретного переноса [89, 143, 183, 196, 252], и др. метод является частным случаем метода моментов, в котором разложение ин-15тенсивности излучения происходит по сферическим функциям.

В результате получается бесконечная система уравнений в частных производных, связывающих коэффициенты разложения (моменты): система моментных уравнений. Принципиальным недостатком метода является то, что приближения низкого порядка дают сравнительноточные решения лишь в средах с почти изотропным рассеянием, при этом точностьприближений с ростом их порядка растет очень медленно, а математическая сложностьсистемы моментных уравнений растет чрезвычайно быстро.

Кроме того, получение граничных условий для моментных уравнений высоких порядков (из граничных условийдля уравнения переноса) также чрезвычайно трудоемко. Поэтому применение имеетлишь 1 приближение (в задачах с почти изотропным рассеянием), 3 приближениеприменяется эпизодически, а приближения более высоких порядков практически неприменяются. приближения четных порядков не используются, поскольку они дают неудовлетворительные результаты, причина — одно из собственных чисел матрицыпотоков равно нулю.Метод дискретных ординат (метод «многих потоков») был предложен Чандрасекаром [50] как обобщение так называемого метода «двух потоков» Шустера [249] иШварцшильда [250] и сначала нашел применение в теории переноса нейтронов [80, 82,168, 172, 174, 177], а затем при решении задач переноса теплового излучения [110–112, 114, 145, 217, 218, 245–247, 262, 263].Метод дискретных ординат основан на дискретизации угловой зависимости интенсивности излучения.

Решение задачи переноса излучения ищется для конечного числанаправлений (узловых точек на единичной сфере, дискретных ординат), причем каждому направлению сопоставляется квадратурный вес и интегралы по угловым переменным аппроксимируются квадратурными суммами. В результате такой дискретизации уравнение переноса сводится к системе уравнений в частных производных первогопорядка, содержащих в качестве независимых переменных только пространственныекоординаты.

Граничные условия для уравнения переноса преобразуются в граничныеусловия для полученной системы уравнений в частных производных. После дискретизации по угловым переменным осуществляется дискретизация по пространственнымпеременным методами конечных объемов или конечных разностей, или другими методами.Метод конечных объемов решения задач переноса, как и метод дискретных ординат, основан на дискретизации угловой зависимости, но здесь она осуществляетсяметодом конечных объемов в области угловых переменных (при помощи интегрирования по контрольным объемам).

Поэтому метод конечных объемов можно рассматриватькак разновидность метода дискретных ординат [88, 196]. Кроме того, пространственнаядискретизация полученной системы уравнений в частных производных первого порядказдесь также осуществляется методом конечных объемов.16Зональный метод, в отличие от методов сферических функций и дискретных ординат, использует разбиение пространственной области и ее границы на зоны: изотермические объемные и поверхностные ячейки. Затем подсчитывается баланс энергиитеплового излучения между каждыми двумя зонами.

В результате получается системауравнений относительно неизвестных температур или тепловых потоков. Так же, как иметод Монте Карло, зональный метод универсален и способен давать решения высокойточности, однако он также требует для этого и больших вычислительных затрат.Метод дискретного переноса комбинирует особенности метода дискретных ординат, зонального метода и метода Монте Карло.В настоящее время наиболее распространенным подходом к численному решениюуравнения переноса излучения является (наряду с 1 приближением) метод дискретныхординат (и метод конечных объемов, как его разновидность).

Причина популярностиметода — в его алгоритмической простоте, гибкости и способности получать численныерешения с довольно высокой степенью точности для широкого круга задач переноса(во многих случаях при умеренных вычислительных затратах). Кроме того, метод дискретных ординат сравнительно легко сопрягается с другими вычислительными методами тепло- и массопереноса, использующими конечные разности, конечные элементыили конечные объемы. Это позволяет включать программы для численного решениязадач переноса излучения в имеющиеся пакеты (комплексы) программ для решениязадач тепло- и массопереноса.Одним из наиболее удачных способов пространственной дискретизации в методе дискретных ординат является метод характеристик.

Для решения задач переносаизлучения метод характеристик был впервые предложен в статье [11]. Первоначально он развивался для решения задач переноса нейтронов [29, 168], где рассматривалисьзадачи в декартовой геометрии [53, 69, 186] или в упрощенных сферической и цилиндрической геометриях [29]. Следует отметить, что задачи преноса нейтронов существенноотличаются от задач переноса теплового излучения, поскольку в них отсутствует отражение и преломление на границах. В применении к задачам переноса излучения подход,практически идентичный методу характеристик, был предложен в статьях [246, 247],в которых рассматривались задачи в двухмерной и трехмерной декартовых геометриях, соответственно.

В декартовых координатах метод характеристик концептуальнопрост, поскольку дифференциальный оператор в уравнении переноса действует только на пространственные переменные (угловые переменные являются параметрами), ипоэтому характеристики это прямые линии.Многие высокотемпературные устройства обладают осевой симетрией.

Поэтомумоделирование переноса излучения в осесимметричных областях представляет из себяважный класс задач. К решению таких задач в нескольких статьях применялись методыдискретных ординат и конечных объемов, однако в этих статьях рассматривался пере-17нос излучения либо в цилиндрических областях [6, 86, 156, 175, 176, 276], либо в простыхмодельных осесимметричных областях [157, 201]. Применение метода характеристик косесимметричным задачам переноса излучения затруднено, поскольку в цилиндрических координатах дифференциальный оператор в уравнении переноса действует какна пространственные, так и на угловые переменные.

Вариант метода характеристик,применимый к осесимметричным задачам переноса излучения, был предложен в статьях [6, 7]. Однако этот способ может быть использован только в цилиндрических областях, поскольку для разбиения пространственной цилиндрической области на ячейкибыли использованы цилиндрические поверхности.

Этот способ не может быть распространен на осесимметричные области, имеющие нетривиальную геометрию.Осесимметричные задачи радиационного теплопереноса в областях, имеющих нетривиальную (осесимметричную) геометрию, с прозрачными зеркальными границами,разделяющими среды с отличающимися показателями преломления, методом дискретных ординат до сих пор не решались. Для решения таких задач могут быть использованы метод Монте Карло и зональный метод.

Эти методы позволяют решить, вообщеговоря, любую задачу переноса излучения, однако они требуют очень больших, а иногдаи непозволительно больших затрат вычислительного времени.1.2.3Квадратурные формулы на сфереПервый шаг в методе дискретных ординат — дискретизация уравнения переносапо угловым переменным, то есть выбор квадратурной формулы на единичной сфере. Поскольку квадратурная формула оказывает существенное влияние на точностьполучаемого решения, к настоящему времени предложено довольно много различныхквадратур на сфере.В зарубежной литературе наиболее известны квадратуры [80–82, 113, 172, 174,273].

Также популярны квадратуры [261] и DCT (Double Cyclic Triangles) квадратуры, предложенные Кохом с соавторами [160].В. И. Лебедев в статьях [23–25] построил квадратуры Маркова, инвариантныеотносительно группы вращений октаэдра с инверсией и точные для полиномов степени,не большей , для = 9, 11, . . . , 29. Он построил также квадратуры Чебышева для = 11, 15 [24]. Некоторые квадратурные формулы на сфере указаны в лекциях [31].В статье [178] были предложены (Spherical Rings Arithmetic Progression)квадратуры.