Физика лекции (понятные) (Физика лекции 4 сем (PDF)), страница 11

Коэффициенты «А» и«В» Эйнштейна. Активные среды с инверсной заселённостьюэнергетических уровней.ОКГ. Особенности лазерного излучения. Основные типы лазеров иих применение.Лекция 13Квантовые системы из одинаковых частицКвантовые особенности поведения микрочастиц, отличающие их отсвойств макроскопических объектов, проявляются не только прирассмотрении движения одной частицы, но и при анализе поведениясистемы микрочастиц.

Наиболее отчётливо это видно на примерефизических систем, состоящих из одинаковых частиц, – систем электронов,протонов, нейтронов и т.д.Для системы из N частиц с массами т01 , т02 , … т0i , … m0N ,имеющих координаты (xi, yi, zi) , волновая функция может быть представленав видеΨ ( x1, y1, z1, … xi, yi, zi, … xN, yN, zN, t ) .Для элементарного объёмавеличинаdVi = dxi .dyi .dziw = x1 , y1 , z1 ,...xi , yi , zi ,...xN , y N , z N , t  dV1  ...dVi ...

 dVN2определяет вероятность того, что одна частица находится в объёме dV1 ,другая в объёме dV2 и т.д.Таким образом, зная волновую функцию системы частиц, можно найтивероятность любой пространственной конфигурации системы микрочастиц, атакже вероятность любой механической величины как у системы в целом, таки у отдельной частицы, а также вычислить среднее значение механическойвеличины.Волновую функцию системы частиц находят из уравнения ШрёдингераHˆ   i,tгдеĤ  оператор функции Гамильтона для системы частицN 2ˆH    i2  U i xi , yi , z i , t  +i 1  2mOiU x , y , z , xNi  j 1ijiiij, yj,zj  .Здесь222  2  2  2xi yi z i2iU i xi , yi , zi , t   силовая функция для i-ой частицы во внешнемполе, аU ij xi , y j , zi , x j , y j , z j   энергия взаимодействия i-ой и j-ойчастиц.13-2Неразличимость тождественных частиц в квантовоймеханикеЧастицы, обладающие одинаковыми массой, электрическим зарядом,спином и т.д.

будут вести себя в одинаковых условиях совершенноодинаковым образом.Гамильтониан такой системы частиц с одинаковыми массами moi иодинаковыми силовыми функциямиUiможно записать в виде,представленном выше.Если в системе поменятьi-уюиj-ую частицы, то в силутождественности одинаковых частиц состояние системы не должноизменяться. Неизменной останется полная энергия системы, а также всефизические величины, характеризующие её состояние.Принцип тождественности одинаковых частиц: в системеодинаковых частицреализуются лишь такие состояния, которые неменяются при перестановке частиц местами.Симметричные и антисимметричные состоянияВведём оператор перестановки частиц в рассматриваемой системе - P̂i j . Действие этого оператора заключается в том, что он переставляетместами i-ую и j-ую частицы системы.Принцип тождественности одинаковых частиц в квантовой механикеприводит к тому, что все возможные состояния системы, образованнойодинаковыми частицами, делятся на два типа:симметричные, для которыхPˆi j S x1 y1 z1 ,...xN y N z N , t   S x1 y1 z1 ,...xN y N z N , t иантисимметричные, для которыхPˆi j S x1 y1 z1,...xN yN z N , t   S x1 y1 z1 ,...xN yN z N , t Если волновая функция, описывающая состояние системы, в какойлибо момент времени является симметричной (антисимметричной) , то этоттип симметрии сохраняется и в любой другой момент времени.Бозоны и фермионыЧастицы, состояния которых описываются симметричными волновымифункциями, называются бозонами.

Системы, состоящие из таких частиц,подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. К бозонам относятсяфотоны, π- и к-мезоны,фононы в твёрдом теле,экситонывполупроводниках и диэлектриках. Все бозоны обладают нулевым илицелочисленным спином.Частицы, состояния которых описываютсяантисимметричнымиволновыми функциями, называются фермионами. Системы, состоящие изтаких частиц, подчиняются статистике Ферми – Дирака. К фермионамотносятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и все элементарныечастицы и античастицы с полуцелым спином.Связь между спином частицы и типом статистики остаётсясправедливой и в случае сложных частиц, состоящих из элементарных. Еслисуммарный спин сложной частицы равен целому числу или нулю, то этачастица является бозоном, а если он равен полуцелому числу, то частицаявляется фермионом.Пример: α-частица ( 24 Не ) состоит из двух протонов и двух нейтроновт.е.

четырёх фермионов со спинами12+ . Следовательно спин ядра42Неравен 2 и это ядро является бозоном.3Ядро лёгкого изотопасостоит из двух протонов и одного2 Ненейтрона (три фермиона) . Спин этого ядра3211. Следовательно2ядроНе  фермион.Принцип Паули ( запрет Паули )В системе тождественных фермионов не может быть двух частиц,находящихся в одном и том же квантовом состоянии.Что же касается системы, состоящей из бозонов, то принципсимметрии волновых функций не некладывает каких либо ограничений насостояния системы. В одном и том же состоянии может находиться любоечисло тождественных бозонов.Периодическая система элементовНа первый взгляд представляется, что в атоме все электроны должнызаполнить уровень с наименьшей возможной энергией. Опыт же показывает,что это не так.В соответствии с принципом Паули, в атоме не может быть электроновс одинаковыми значениями всех четырёх квантовых чисел.Каждому значению главного квантового числа п соответствует 2п2состояний, отличающихся друг от друга значениями квантовых чисел l , mи mS .Совокупность электронов атома с одинаковыми значения квантовогочисла п образует так называемую оболочку.

В соответствии с номером пЗначение пОболочкаЧисло возможных состояний1К22L83M184N325O50Оболочки подразделяются на подоболочки , отличающиеся квантовымчислом l . Число состояний в подоболочке равно 2(2l + 1).Различные состоянияквантовых чисел т и mS .ОболочкаКПодоболочка 1sт0в2s0L2p+1 0тSЧислоэлектронов226подоболочкеотличаютсязначениямиM-13s03p+1 0 -13d+2 +1 0 -1-22610Понимание периодической системы элементов основано на идее обоболочечной структуре электронного облака атома.Каждый следующий атом получается из предыдущего добавлениемзаряда ядра на единицу (е) и добавлением одного электрона, которыйпомещают в разрешённое принципом Паули состояние с наименьшейэнергией.Лекция 14Квантовые статистические распределенияОсобенности поведения частиц, связанные с неразличимостьютождественных частиц в квантовой механике, проявляются и встатистических свойствах систем, состоящих из одинаковых частиц.

Этоприводит к тому, что статистические распределения частиц в квантовоймеханике отличаются от статистических распределений, известных изклассической физики. Кроме того, статистические свойства бозонов ифермионов в силу кардинального отличия в поведении этих частиц такжеоказываются различными.В классической физике распределение частиц по энергиям описываетсяхорошо известными из курса молекулярной физикираспределениемМаксвеллаdN M  AM  eKkTdp x  dp y  dp zираспределением БольцманаdN Б  АБ  еUkTdx  dy  dz ,гдеАМ и АБ – нормировочные константы;К и U – кинетическая и потенциальная энергия частиц.В классической физике при выводе распределений считается, чтоодинаковые частицы принципиально различимы.Проиллюстрируем различие в распределении классических иквантовых частиц на следующем примере.

Пусть нужно распределить двечастицы по трём состояниям (ячейкам). Классические частицы будемотмечать номерами 1 и 2 , а квантовые в силу тождественностиодинаковыми кружками.Фермионы в соответствии с принципом Паули могут находиться вкаждой ячейке только поодиночке. Для бозонов никаких ограничений нараспределение их по ячейкам не накладывается.Для классических частиц число возможных распределений равнодевяти (вероятность каждого распределения – 1/9).

Для бозе–частицполучается шесть распределений (вероятность – 1/6). Для ферми–частицреализуется только три распределения с вероятностью выпадения каждого изних, равной 1/3.Распределение Бозе – ЭйнштейнаИдеальный газ из бозонов (бозе–газ) – описывается квантовойстатистикой Бозе –Эйнштейна.Распределение Бозе–Эйнштейна – закон, выражающий распределениечастиц по энергетическим состояниям в бозе–газе: при статистическомравновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i - омсостоянии с энергией Еi при температуре системы Т равно1N i Б-Э =E exp  i 1kT,гдеk – постоянная Больцмана,T – термодинамическая температура,μ – химический потенциал – термодинамическая функция состояния,определяющая изменение внутренней энергии системы.Одним из условий термодинамического равновесия системы являетсяравенство химического потенциала для всех частей системы.Для систем бозонов с постоянным числом частиц химическийпотенциал может принимать только отрицательные значения ( μ < 0 ).Величину N iназывают также числом заполнения энергетическогоуровня с энергией Еi ( далее будем для краткости писать просто Е ).Из анализа распределенияБ – Эследует, что число бозонов,находящихся на одном энергетическом уровне ( в одном состоянии ), ничемEне ограничено и при малых значениях параметра  может оказаться kT очень большим, а при Е = 0 в системе бозонов может происходить бозе –конденсация , с которой связаны такие явления, как сверхпроводимость исверхтекучесть.Рассмотрим случай малых чисел заполнения ( будемNiБ Э<< 1 ).