Физика лекции (понятные) (Физика лекции 4 сем (PDF)), страница 7

Операторы энергийКинетическая энергия в классической механикет0 2p2К22 m0В соответствии со вторым постулатом получаемрˆ 22 2ˆК .2 т02 т0Для потенциальной энергиив стационарном силовом поле U kx22k 2 kx2ˆU  xˆ  U . Это определение Uˆ  U справедливо неполучаем:22только для гармонического осциллятора но о в общем случае для частицы,движущейся в стационарном силовом поле, где её потенциальная энергияU  U ( x, y, z) определена в любой точке пространства.Оператор полной энергии2 2ˆˆˆH  K U    U x, y, z 2m0Этот оператор называют оператором функции Гамильтона илигамильтонианом, который является основным оператором квантовоймеханики, определяющим все особенности квантовой системы.Уравнение Шрёдингера в операторной форме принимает вид:Временное – Hˆ   itДля стационарных состояний – Н̂  Е  Собственные функции и собственные значения операторовСостояние, в котором физическая величина Q имеет определённоезначение ( так называемое собственное состояние ), описывается Ψфункцией, являющейся решением уравненияQ̂  Q  Примером такого уравнения является уравнение Шрёдингера длястационарного состояния.21Физический смысл могут иметь лишь такие решения этогоуравнения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие.Эти условия называются естественными или стандартными.Функции,являющиесярешениемданногоуравненияиудовлетворяющие естественным условиям называютсясобственнымифункциями оператора Q̂ .Те значения величины Q , при которых эти решения существуют,называются собственными значениями физической величиныQ ,например, собственные значения энергий в потенциальных ямах.Набор (спектр) собственных значений физической величиныQиногда оказывается непрерывным, а иногда дискретным.

Примеромдискретности в микромире являются оптические спектры атомов, которыесостоят из ряда отдельных тонких линий.Рассмотрим несколько задач о нахождении спектров собственныхзначений:1). Координата хх̂  х  хˆ  х их   ; т.е. спектр непрерывный.2). Проекция импульса рхр̂ х   р х   i px  xФункция Ψ определена при всех значенияхзначений рх непрерывен ( р х   ; ). p   C  exp   i x x  рх т.е.

спектр собственных3). Проекция момента импульса LzL̂z   Lz   i Lz   L   C  exp  i z    Собственные функции операторадолжны быть однозначнымиL̂ zфункциями. Так как угловая координатаφявляется циклическойпеременной, то условие однозначности собственной функции сводится кусловию её периодичности :  2    Тогдагде L   2   L L 2 exp  i zexp  i z  exp  i z  1    m  0,1,2,3,... Следовательно спектр дискретный.т    С  exp im  Значение константыC122Lz 2 2  m ,1exp im 2выбрано из условия нормировки0m m d  1224). Квадрат момента импульсаL2Спектр собственных значений оператораоказываетсяL̂222дискретным, т.е.

уравнение Lˆ   L  имеет решения только для значенийL2   2  l l  1 , где l = 0; 1; 2; 3; …Собственные функции оператораl ,m  Yl ,m  ,  L̂2l = 0; 1; 2; 3; …имеют вид:т  0;1;2;3;...  l .ЗадачаНайти собственные значения операторасобственной функции2ˆА   2 , принадлежащеех  С  sin 2 x , где С – постоянная.Решение:Т.к. Q̂  Q   тоНо2 A  .x 2 2 4С  sin 2 xх 2СледовательноА =4 .Лекция 8Измерение физических величин в квантовых системахПусть известна волновая функция, описывающая состояние частицы вквантовой системе. Каков будет результат измерения физической величиныQ в этой системе?Третий постулат квантовой механики: в результате измеренияфизической величиныQв любой квантовой системе могут бытьполучены только такие значения, которые являются собственнымизначениями оператора Q̂ , соответствующего этой величине.Этот постулат устанавливает связь между теорией и возможностью еёэкспериментальной проверки.Так, например, используя найденные спектры собственных значенийоператоров L̂2 и L̂ z , можно утверждать, что при измерении модуля23орбитального момента импульса атомов всегда будут получаться значенияL   l l  1 ( l = 0; 1; 2; … ), а для проекции моментаL  L2 из набораимпульса на направление z в экспериментах будут получены значенияLz  m   , m  0,1,2,...Какое конкретное собственное значение Qn оператора Q̂ будетрезультатом измерения физической величины Q в квантовом состоянии,описываемом волновой функцией Ψ ?Если представить совокупность большого числа одинаковыхнезависимых квантовых систем, в которых тождественные частицы всенаходятся в одинаковых квантовых состояниях (квантовый ансамбль), то,измеряя физическую величину Q в различных системах этого ансамбля,мы всегда будем получать в результате измерения одно и то же значение Qnесли состояние частицы описывается волновой функциейΨn,, котороеявляется одной из собственных функций оператора Q̂ .Если волновая функция не будет являться собственной функциейоператора Q̂ , то в таком квантовом состоянии физическая величина Qне имеет определённого значения, и измерения в различных системахквантового ансамбля будут давать разные значения Q1, Q2, Q3, … Qn .

Приэтом каждое значение Qn в квантовом ансамбле будет обнаруживаться сопределённой вероятностью Рп .Если две разные физические величиныаивмогут бытьодновременно точно измерены, то соответствующие им операторы А̂ и В̂должны быть коммутирующими операторами, т.е. для них должновыполняться соотношение Аˆ Вˆ  Вˆ Аˆ .Определение среднего значения любой физическойвеличиныВ квантовых системах, в которых физическая величина Q не имеетопределённого значения, имеет смысл находить среднее значение, т.е.математическое ожидание результатов измерений в серии из большого числаизмерений Q    Pn Qn .nДля того, чтобы рассчитать вероятностиРп следует разложитьволновую функцию Ψ в ряд по полной системе собственных функций Ψпоператора Q̂ :   С п ппТакое разложение всегда возможно и коэффициенты этого разложениявычисляются по формулеСп пV  dV24Искомая вероятностьРппредставленного выше разложенияравна квадрату модуляРп  С пQn n  Qˆ nС учётом того, чтоСп2из2получаем окончательную формулу   Qˆ  dV ,QV которую частомеханики.рассматриваюткакчетвёртый постулат квантовой Q     Qˆ dx .Для одномерного случая :Отметим, что если Ψ =Ψп , то получаем естественный результатQnV Qˆ  dV  Q    dV  QnnnnnV Квантовая механика позволяет дать численную оценку потенциальныхвозможностей того или иного поведения квантового объекта.

И хотявероятность того или иного результата измерения в квантовой механикеотносится к отдельному объекту, для экспериментального определениячисленного значения этой вероятности необходимо многократноеповторение измерений в квантовом ансамбле одинаковых систем.Задача 1В некоторый момент частица находится в состоянии, описываемомΨ-функцией, координатная часть которой х  А  ехр ikx  x 2 / a 2  , где Аи а - неизвестные постоянные.Найти средние значения координаты х и проекции импульса рх .Решение:а) в соответствии с 4-ым постулатом квантовой механикиx2  x   x dx  AA  x  exp   2 2 dxa Поскольку подинтегральная функция нечётная, то интеграл равен нулюСледовательно<x>=0б)рˆ x   i, гдеxx  x    ik  2 2  .xa 25Тогда в соответствии с 4-ым постулатом квантовой механики x x2   p x      pˆ x  dx      idx  iAA   ik  2 2  exp   2 2 dx x a a x2 xx2 x2  iAA  ik  exp   2 2 dx  iAA  2 2 exp   2 2 dx  iAA  ik  exp   2 2 dx  0a a a  a(во втором интеграле подинтегральная функция нечётная).Из условия нормировки Ψ-функции следует, чтоx2  dx  AA exp   2 a 2 dx  1В результате окончательно получаем р х   k .Задача 2В момент времени t = 0 волновая функция частицы в одномернойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид 7x  3x ( x)  A  sin  cos.2a2aСчитая, что масса частицы равна т0, найдите среднюю кинетическуюэнергию частицы в данном состоянии.

Укажите, суперпозицией какихсостояний частицы в потенциальной яме является данное состояние. Найдитеволновую функцию ( x, t ).Решение :Воспользуемся формулой Эйлера:267xi i 72ax e  e 2a 7x  3x  ( x)  A  sin cosA2i 2a  2a 3xi  i 32ax  e  e 2a2  xxi 2i 2  i ax 5 i ax 5Aeee a  e a  A   x  x   sin2sin  5  .22i2i2a a Постоянный множитель А находим из условия нормировки:A2  2 2xA2a42 5x 1   х  dx sinsindx2A.4 0 aa 42a0Для частицы массы т0 в одномерной потенциальной яме с бесконечновысокими непроницаемыми стенкамиaa2n x  2  x sin  n a a иEn  2  22m0 a2 n2 .Таким образом, функция х  принимает следующий окончательный вид:n x  1  xx  12 x   5 x. sin  2  sin  5  aaa 2В силу ортонормированности волновых функцийп вероятностьобнаружения частицы в состоянии с волновой функцией п равна квадратукоэффициента при п .

В данном случае С2 = С5 =1и Р2 = Р5 = ½.2Тогда 29  2  21   2 2 2 2К  Е  Р2  Е2  Р5  Е5  4 25   .222.2  2т0 а2т0 а 2 2т0 аВолновая функциястационарного состоянияx, t определяется из условия , что дляп x, t   eТ.е.i Ent n x .27ii E5 t1    E2 t  x, t   2 x   e 5 x .e2КВАНТОВАЯ 3Лекция 9Ядерная модель атомаРезерфорд на основании результатов эксперимента по рассеяниюα-частиц на атомах металлической фольги обосновал планетарную модельстроения атома.Согласно этой модели, атом состоит из тяжёлого положительнозаряженного ядра очень малых размеров (~ 10-15 м ), вокруг которого понекоторым орбитам движутся электроны.

Радиусы этих орбит имеютразмеры ~ 10-10 м.Наличие у электрона заряда делает планетарную модельпротиворечивой с точки зрения классической физики, т.к. вращающийсявокруг ядра электрон, как и любая ускоренно движущаяся заряженнаячастица должен излучать электромагнитные волны. Спектр такого излучениядолжен быть непрерывным.

В опытах наблюдается линейчатый спектризлучения атомов. Кроме того, непрерывное излучение уменьшает энергиюэлектрона, и он из-за уменьшения орбиты обязан был бы упасть на ядро.Постулаты Нильса БораНильс Бор «спас» планетарную модель для атома водорода,сформулировав три постулата.1.

Электрон в атоме может двигаться только по определённымстационарным орбитам с определённым номеромп = 1; 2; 3; …Движущийся по стационарной замкнутой орбите электрон обладаетнеизменной полной энергией Еп .2. Разрешёнными стационарными орбитами являются только те, длякоторых угловой момент импульса электрона равен целому кратномузначению постоянной ПланкаLn  n ( п = 1; 2; 3; … ) .3.Испускание или поглощение кванта излучения происходит припереходе атома из одного стационарного состояния вдругое.Частота излучения пк Ек  ЕпРасчёт атома водорода по Н.Боруе 2 me 2 п4 0 rn2rn1те - масса электронаme п  rn  nп = 1; 2; 3; …Решая систему из этих двух уравнений получаем:4 0  2 2rn n  an 2 ,2me eгдеа = 0,529 .