Физика лекции (понятные) (Физика лекции 4 сем (PDF)), страница 6

В области II ( x > 0)имеется только проходящая волна, поэтому В2 = 0 .Из условия непрерывности Ψ их1 0  2 0 или10  2 0 илихх12в точке х = 0 следует, чтоА1  В1  А2иA1k1  B1k1  A2 k 2ТогдаA22k1B1 k1  k 2иA1 k1  k 2A1 k1  k 2Для определения коэффициентов R и D вводят понятие плотностипотока вероятности j , вектор которого определяется через волновуюфункцию следующим образом: ij  grad     grad2m0В соответствии с видом Ψ-функции для падающей, отражённой ипрошедшей волн имеем:jпад ~ k1A12 , jотр ~ k1B12 и jпрош ~ k2A22Теперь можно записатьдля коэффициента отражения21 1U0 / E jОТР  В1 R    1 1U / E j ПАД  А1 02для коэффициента пропускания24 1U0 / Ejk A 4k1k 2D  ПРОШ  2  2  j ПАДk1  A1 k1  k 2 2 (1  1  U 0 / E ) 2Видно, чтоR + D = 1 , что и должно быть по определению.Коэффициенты R и D не зависят от направления движения частицы: слеванаправо или наоборот.В классическом случае при E > U0 должно быть R = 0.Эффект надбарьерного отражения ( R > O ) является чистоквантовым и объясняется наличием у частицы волновых свойств.2).

Высокий порог ( E < U0 ).В этом случаеКоэффициент отраженияk2 2m0E  U 0 2k  k2R 1k1  k 2является чисто мнимым.2 1 т.к. числитель и знаменатель –величины комплексно-сопряжённые. Таким образом, отражение будетполным, а D = 0.13Но волновая функция приx > 0 не обращается в нуль, т.е.микрочастицы могут проникать в области, которые для макроскопическихчастиц недоступны.Плотность вероятности нахождения частицы в областиIIопределяется выражением22k14kP2 2w2 x  0  2 x   exp  2k 2 x   2 1 2 exp 2m0 U 0  E   xxk1  ik 2k1  k 2 2и зависит от массы т0 , разности ( U0 – E ) и расстояния от границыпорога.Для электрона с(U0 – E) = 1 эВвероятность нахождения нарасстоянии от порога сравнимым с размерами атома( х = 10-10 м )достаточно велика, а на расстоянии в 10 раз большем ( х = 10-9 м ) ничтожномала.Отражение хотя и является полным(R = 1) не обязательнопроисходит на самом пороге.

Частица может проникнуть в область II ,а затем выйти из неё ( аналогично полному внутреннему отражению воптике).Прохождение частицы через потенциальный барьер.Рассмотрим одномерный прямоугольный потенциальный барьерЧастица движется слева направо. Слева от барьера имеем падающую иотраженную волну, а за барьером только прошедшую волну.Уравнение Шрёдингера для областей I, II и III имеет вид: 2 1 х 2 k1 1 x   02х2 2 x 2 k 2 2 x   02x2 3 x 2 k1 3 x   02xГдеk1 2 m0 E,2k2 2m0 U 0  E 2Волновые функции, являющиеся решением этих уравнений1 х   А1e ik1x  B1e ik1x2 x   A2 e k2 x  B2 e  k2 x3 x   A3 e14ik1x B3 eik1xИз решения этой системы уравнений получают, применив некоторыеупрощающие допущения, выражение для коэффициента прозрачности Dпрямоугольного барьера 2aD  exp 2m0 U 0  E  Для потенциального барьера произвольной формы 2 x2D  exp   2m0 U x   E dx  x1Пределы интегрированиях1их2определяют из решенияуравнения U( x ) = E .Туннельный эффектПрохождение частицы через потенциальный барьер, высота которогопревышает энергию частицы, получило название туннельного эффекта(частица, проходя под барьером, как бы движется в туннеле).

Припрохождении через барьер полная энергия частицы Е не меняется.Туннельный эффект представляет собой чисто квантовое явление.Этим эффектом объясняются многие физические явления; например,холодная эмиссия электронов из металла (автоэмиссия), альфа-распад,спонтанное деление ядер и др.На левом рисунке представлен потенциальный барьер треугольнойформы, имеющий место на границе металл-вакуум в явлении холоднойэмиссии электронов из металла. Электрон в металле находится впотенциальной яме глубинойU0 . Если вблизи поверхности металлаЕ , способствующее выходуимеется электрическое поле напряжённостьюэлектронов из металла, то потенциальная энергия электрона вблизиповерхности металла может быть представлена в виде15U x   U 0  e  E  xПри туннелировании электронов через этот барьер происходит ихвыход из металла даже при низких температурах.На правом рисунке представлен потенциальный барьер α-частицы вполе ядра.

На больших расстоянияхrмеждуα-частицей и ядромдействуют силы кулоновского отталкивания и потенциальная энергиячастицыU r  Ze  2e,4 0 r1гдеZe – заряд дочернего ядра; 2е – заряд α-частицы.Внутри ядра (r < r0 ) α-частица находится в потенциальной яме,выйти из которой она может только за счёт туннельного эффекта.Прохождение частицы над барьером( E > U0 )Частица массой т0 падает на прямоугольный потенциальный барьервысотой U0 и шириной а . Энергия частицы Е больше высоты барьера.В этом случае решение системы уравнений Шрёдингера для трёхобластей: I – ( x < 0 ), II – ( 0 < x < a ), III – ( x > a ) даёт следующиезначения для коэффициента прохождения D .1U02m0 E  U 0  2D  1 sin  a 2 4 E E  U 0 Частица беспрепятственно проходит над таким барьером ( D = 1 ) призначениях энергии равныхE 2 2n 2  U 0 , где n = 1, 2, 3, …2m0 a2( sin = 0 )При других значениях энергии существует отличная от нулявероятность отражения частицы от барьера.Пролёт частицы над потенциальной ямой конечной глубины ( E >U0 )Частица пролетает над потенциальной ямой конечной глубины U0 иширины а слева направо вдоль оси ох.16Решая систему уравнений Шрёдингера для трёх областей, получаемвыражение для коэффициента прохожденияD , характеризующеговероятность прохождения частицы над ямой: 2m0 E U0D  1 sin 2  a2  4 E E  U 0 1Коэффициент прохожденияD зависит от соотношения междуэнергией частицы и глубиной потенциальной ямы и в общем случаеоказывается меньше единицы (частица может отразится от потенциальнойямы даже если E > U0 ).

Данное явление, полностью отсутствующее вклассической физике, объясняется наличием у частицы волновыхсвойств.Частица не испытывает отражения на границах ямы ( D = 1 ) толькоесли sin = 0 . Это условие выполняется при значениях энергии частицыE 2 22m0 a2n 2  U 0 , где n = 1, 2, 3, …Рассмотренная модель поведения частицы вблизи симметричнойпрямоугольной потенциальной ямы конечной глубины хорошо качественноописывает движение электрона вблизи атома. В частности, проведённыйанализ даёт квантово-механическое объяснение эффекта Рамзауэра, гденаблюдалась аномальная прозрачность атомов инертных газов для пучкаэлектронов при определённых значениях кинетической энергии (K = E – U0).Б2т0 ЕaпаnУсловиеможно представить в виде22(λБ – длина волны де Бройля электрона внутри ямы ). Это условие определяетгашение за счёт интерференции волн, отражённых от двух границ ямыаналогичнопросветлениюоптикиприинтерференциидвухэлектромагнитных волн от двух сторон просветляющей тонкой плёнки.КОШКА ШРЁДИНГЕРАКошка ( или кот ) Шрёдингера – герой кажущегося парадоксальныммысленного эксперимента Эрвина Шрёдингера, которым он хотелпродемонстрировать неполноту квантовой механики при переходе отсубатомных систем к макроскопическим.17Кошка помещена в закрытый ящик, где на неё направлен ствол ружья.В ящике находится также микрочастица, при попадании которой в курокружья, ружьё стреляет и кошка погибает.Если частица находится в первом квантовом состоянии, описываемомволновой функциейΨ1 , в котором вероятность обнаружить частицу вобласти вблизи курка равна нулю, то кошка в ящике жива.Пусть в состоянииΨ2 вероятность нахождения частицы вблизикурка равна единице.

В этом случае кошка мертва.Согласно принципу суперпозиции121 122И непонятно жива или мертва кошка?Системы, в которых формально объединены как классические таки квантовые объекты не всегда корректны для исследования.Лекция 7Операторы физических величинРанее было сказано, что состояние квантовой частицы определяется некоординатами и импульсом, а заданием Ψ-функции, вид которой зависит отконкретного потенциального поля ( 1-ый постулат квантовой механики ).Волновая функция, описывающая сама по себе распределение покоординатам, определяет также распределение по импульсам и другимдинамическим характеристикам частицы, таким как кинетическая энергия,момент импульса и др.Таким образомΨ-функция полностью определяет не только«положение» частицы, но и все её динамические характеристики.Для получения информации о физических величинах, связанных сдвижущейся частицей, в квантовой механике разработан специальныйматематический аппарат, в котором используют операторыфизических величин и результаты их действия на волновую функцию.18Оператором называют символическое обозначение математическойоперации, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией.Примером оператора могут служить умножение на х , или на какую-либофункциюf(x), дифференцирование похт.е.;х2, операторых 2набла -  , лапласиан -  2 и т.д.В квантовой механике операторы принято обозначать буквами со«шляпкой», например , Q̂ , а его действие на некоторую функцию f( x )записывают как Q̂f x  .Некоторые свойства операторов:1).

Операторы можно складывать:.Действие такогоАˆ  Вˆсуммарного оператора на любую функцию f( x) даёт результатАˆ  Вˆ  f x  Aˆ f x  Bˆf x2). Под произведением операторовпонимают оператор,Аˆ Вˆрезультат действия которого на любую функцию f(x) равенАˆ Вˆ  f x  Aˆ Bˆf x .Т.е. функция f(x) сначала подвергается действию оператора В̂ , а затемполученный результат – действию оператора А̂ .Следует иметь ввиду, что не всегда Аˆ Вˆ  Вˆ Аˆ .

Если такое равенствособлюдается, то это значит, что операторы А̂ и В̂ коммутируют друг сдругом (коммутирующие операторы ).Пример некоммутирующих операторов – это х иf  ,x  f  xx x f  x  f  xf   f  xxx x а:ххх.х х3). Оператор А̂ называют линейным, если для любых двух функцийf1 и f2 и любых постоянных а1 и а2 выполняется соотношениеAˆ a1 f1  a2 f 2   a1 Aˆ f1  a2 Aˆ f 2 .С линейностью операторов связан принцип суперпозиции состояний.Оператором физической величины может быть только линейныйсамосопряжённый (эрмитов) оператор. Самосопряжённым называютоператор, который совпадает со своим сопряжённым оператором.

В этомслучае для произвольных функций 1 и 2 тождественно выполняетсяследующее интегральное равенство f1 ( Аˆ f 2 )dV   f 2 ( Aˆ f1 )dVV4). ЕслиAˆ f  Bˆ fVтоAˆ  Bˆ .Представление физических величин операторамив квантовой механике19Второй постулат квантовой механики – каждой физическойвеличине соответствует определённый линейный эрмитов оператор этойфизической величины. При этом соотношения между операторами вквантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения междусоответствующими им физическими величинами в классической механике.1.

Оператор координатыyˆ  y ; zˆ  rˆ  e x xˆ  e y yˆ  e z zˆ .xˆ  x ;2. Оператор импульса;xz.pˆ z  i ;;yz      ̂p  i  i e x ey e z  .yz  x3. Оператор квадрата импульса 22 222pˆ 2   pˆ x    pˆ y    pˆ z    2  2   2  2  2  2 yz  x4. Оператор момента импульсаex e y ezрˆ х  ipˆ y  i  L  r ; р = xyzpxpypz  Lˆ x  ypˆ z  zpˆ y  i y  z y  z Lˆ y  zpˆ x  xpˆ z  i z  x z  x Lˆ z  xpˆ y  ypˆ x  i x  y x  yВ сферической системе координат (r , , )  ,Lˆ x  i sin  ctg  cos  ,Lˆ y  i cos  ctg  sin  Lˆ z  i.5. Оператор квадрата момента импульсаLˆ2  Lˆ x Lˆ x  Lˆ y Lˆ y  Lˆ z Lˆ zВ cферической системе координат ( r, θ, φ )20Lˆ2   2 2 , , где1   12 ,  sin  sin     sin 2   2в сферической системе координат.2- угловая часть оператора Лапласа6.