Физика лекции (понятные) (Физика лекции 4 сем (PDF)), страница 12

Это условие выполняется приEexp  >> 1 kT считатьили приE >> 1 . Тогда можно записать kT  E exp    A  e kT , kT ENiБ Эгде  А  exp   . kT Отсюда следует, что при малых числах заполнения, или, как говорят, вслучае разреженного газа бозонов распределенияБ – Э переходит вклассическое распределение Максвелла – Больцмана.<N>I – статистическое распределениеМаксвелла – Больцмана;II–статистическое распределениеБозе – ЭйнштейнаГаз, свойства которого в силутождественности частиц в квантовоймеханике отличаются от свойствклассическогоидеальногогаза,называется вырожденным газом.Газбозоновявляетсявырожденным.

Только в случае, когда N Б Э << 1 , вырождение снимается иразреженный бозе–газ ведёт себя подобно классическому газу.Обычные газы, атомы которых являются бозонами, при нормальныхтемпературах и давлениях не являются вырожденными и подчиняютсяклассической статистике. Вырождение для них наступает либо при оченьнизких температурах, либо при очень высоких давлениях, т.е. тогда, когдаэти газы перестают быть идеальными.С помощью распределения Бозе–Эйнштейна описываются свойстватеплового излучения, теплоёмкость кристаллов и многие другие физическиеявления.Для систем бозонов с переменным числом частиц химическийпотенциал равен нулю ( μ = 0 ).

Распределение Бозе–Эйнштейна для системс переменным числом частиц принимает видNiБ Э1. E exp    1 kT Пример: пользуясь распределением Б – Э можно получить формулуПланка для равновесного излучения.Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенкикоторой нагреты до комнатной температуры Т . Это излучение представляетсобой идеальный газ фотонов, т.е. систему бозонов с переменным числомЕ  частиц, распределение по энергиям которых с учётом того, чтоописывается выражениемNф 1  exp  1 kT Плотность квантовых состоянийg(E),т.е.

число состоянийприходящихся на единичный энергетический интервал, для фотоновописывается выражениемg ф E  VE2 ,2 3 3 cгдеV – объём полости; с – скорость света в вакууме; Е/с – импульс фотоновнерелятивистских электронов с импульсом2  те 233/ 2g Э Е  (по аналогии с плотностью квантовых состоянийV Eдляр  2те  Е )Энергия излучения в узком энергетическом интервале от Е до (Е+dE)складывается из энергий отдельных фотонов и равна<Nф>.gф(E).E.dEВ частотном интервале, соответствующему данному энергетическомуинтервалуотЕдо  d    E  dE  можно получить выражение для той же самой энергии с помощью объёмнойспектральной плотности энергии излучения иω,Т , представляющей собойэнергию излучения в одиночном частотном интервале, отнесённую к единицеобъёмаuω,T..V .dω = <Nф>gф(E)E.dE .Тогда, заменивu ,TdEнаdиЕ1V  E2  d 2 3 3 EV  d c  exp  1 kT на  3 2c3получим1.  exp  1 kT Лекция 15Распределение Ферми–ДиракаКвантовая статистика Ферми–Дирака описывает идеальный газ изфермионов – ферми–газ.Распределение Ферми–Дирака – закон , выражающий распределениечастиц по энергетическим состояниям в ферми–газе:при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействиясреднее число частиц в i–ом состоянии с энергией Ei при температуреТ равно:NiФ Д1. Ei   exp  1 kT Из этой формулы следует, что<Ni>Ф-Дне может быть большеединицы.

Это означает, что в одном квантовом состоянии не можетнаходиться более одной ферми–частицы, что согласуется с принципом ПаулиХимический потенциал для фермионов может быть толькоположительным ( μ > 0 ). Иначе при Т  0 числа заполнения стали быравными нулю, чего естественно быть не может.Для случая малых чисел заполнения ( <Ni>Ф-Д << 1 ) получаемEexp   1 kT иE 1kTТогда (пренебрегая единицей в знаменателе) получаем E E  N i  Ф Д  exp    A  exp   ,kT  kT гдеА = ехр   kT Распределение Ферми–Дирака при малых числах заполнения(разреженный газ фермионов) переходит в классическое распределениеМаксвелла–Больцмана.I – статистическое распределениеМаксвелла–Больцмана;II – статистическое распределениеФерми–Дирака.Можно сделать вывод, что разреженныеквантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являютсявырожденными и подчиняются классической статистике.Хотя квантовая статистика в данном случае приводит к тем жерезультатам, что и классическая, квантовая природа частиц газа остаётсянеизменной.Кардинальное различие между статистическими распределениямиМаксвелла–Больцмана и Ферми–Дирака наблюдаютсяприE1 .kTКлассические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянии вбольшом количестве.

Для них <Ni> тем больше, чем меньше их энергия Е.Что же касается фермионов, то максимальное их число в одном квантовомсостоянии не может превышать единицу, что согласуется с принципомПаули.Химический потенциал μ имеет размерность энергии и в случаефермионов его называют энергией Ферми или уровнем Ферми иобозначают EF. При этом распределение Ферми–Дирака принимает вид<Ni>Ф-Д =Энергия Фермитемпературы Т.является1. E  EF exp  1 kT медленноменяющейсяфункциейПодставляя в это выражение Т = 0 (говоря о Т = 0, подразумевают,что температура может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т.е.Т  0 ) получаем<Ni>Ф-Д = 1 при E < EF(0)<Ni>Ф-Д = 0 при E > EF(0)Здесь ЕF(0) – значение энергии Ферми при Т = 0.Полученные результаты показывают, что все квантовые состояния сэнергиями E < EF(0) оказываются занятыми фермионами, а все состоянияс энергиями E > EF(0) – свободными.Физический смысл энергии Ферми заключается в том, что приТ  0 энергия Ферми EF(0) является максимальной энергией , котороймогут обладать фермионы.Ниже приведены графики зависимости(слева) и при Т  0 (справа)<Ni>отЕприТ=0ПриТ = 0распределение Ферми–Дирака представляет собойступенчатую функцию единичной высоты, обрывающуюся при Е = ЕF(0).При температуре отличной от нуля резкий скачок <Ni>Ф-Д от единицыдо нуля становится более размытым и происходит в области энергий, ширинакоторой порядка kT1При любой температуре отличной от нуля N i Ф  Д при E = EF.2Наряду с энергией Ферми EF при анализе поведения ферми-частицвводится также импульс ФермиpFискорость ФермиυF ,определяемые соотношениямиp F  2mo E FиF 2E Fmo .Это максимальные импульс и скорость, которыми может обладатьферми-частица с массой то при температуре Т = 0.Электронный газ в металлахМодель свободных электронов в металлах предполагает, что приобразовании кристаллической решётки от атомов отщепляются некоторыеслабее всего связанные с ними (валентные) электроны.

Эти электроныпроводимости, обеспечивающие электропроводность металлов, в первомприближении можно рассматривать как идеальный газ свободныхэлектронов, для которых металлический образец является потенциальнойямой.В случаеТ = 0электроны располагаются на самых нижнихдоступных для них энергетических уровнях.Согласно принципу Паули, накаждом энергетическом уровнебудет находиться по два электронас различной ориентацией спинов 1  2Если число электронов в металлеравно N, то при Т = 0 будутзаполнены первые N/2 уровней сэнергиейE  Emax  E F . Числозаполненныхисвободныхэнергетических уровней оченьвелико, и они расположены настолько плотно, что энергетический спектрэлектронов можно считать квазинепрерывным.Найдём функцию распределения электронов проводимости поэнергиям.Число электронов dN, энергия которых лежит в интервале от Е доE  dE равноdN  g ( E )  N i Ф Д dE , где32  me 2g (E)  V  E - плотность квантовых состояний электронов в 23металле .

т.е. число состояний, приходящихсяна единичный энергетический интервал.Полное число свободных электронов в металле00N =  dN   g ( E )  N i  Ф Д dE = V32  me 2 E 231dE E  EF exp  1 kT Концентрация электронов п в металлеп=N=V032  me 2 E 231dE . E  EF exp  1 kT Функция3F(E) =называетсяэнергиям.dndE2 me 2 E=  231 E  EF exp  1kTфункцией распределения свободных электроновпоС помощью функции распределения F(E) можно найти среднеезначение любой физической величины Q, зависящей от ЕQ  Q( E )  F ( E )  dE0 F ( E ) dE1noПри Т = 0 функция F(E) имеет вид Q( E )  F ( E ) dE3F(E) = 2 me 2E 230приприE  E F (0)E  E F (0)Распределение электронов по энергиям описывается выражением32 me 2E dE при E  E F (0) 230приE  E F (0)dn = Из физического смысла функциираспределения следует, что площадь подкривой F(E) численно равна концентрациип свободных электронов в металле.Верхний предел интегрирования длявычисления п при Т = 0 нужно братьравным EF(0).

Тогда интегрируя, получаемEF (0)п=032 me 2 2 3332 2 me 22 .E0E dE F2 33  Отсюда находим EF(0):23 2 пEF(0) =2 те23Расчёты показывают, что энергия Ферми электронного газа в металлахсоставляет несколько электрон–вольт.Наряду с энергией Ферми вводитсяпонятиетемпературы ФермиТF,котораяопределяетсяследующимобразом:kTF = EF(0)TF E F (0).kСправапредставленосхематическое распределение электроновпо энергетическим уровням при Т > 0Все состояния, энергия которыхменьше энергии Ферми на величинупорядка kT, заняты электронами.